WikiDer > Форма припоя - Википедия

В математика, точнее в дифференциальная геометрия, а пайка (или иногда форма припоя) из пучок волокон к гладкое многообразие представляет собой способ прикрепления волокон к коллектору таким образом, чтобы их можно было рассматривать как касательные. Интуитивно пайка в абстрактных терминах выражает идею о том, что коллектор может иметь точку контакт с определенной моделью Геометрия Клейна в каждой точке. В внешней дифференциальной геометрии пайка просто выражается касанием модельного пространства к коллектору. Во внутренней геометрии необходимы другие методы, чтобы выразить это. В этом общем виде пайка была введена Чарльз Эресманн в 1950 г.^[1]

Пайка жгута волокон

Позволять M - гладкое многообразие, а грамм а Группа Ли, и разреши E быть гладким расслоением над M со структурной группой грамм. Предположим, что грамм действует транзитивно на типичном волокне F из E, и это тускло F = тусклый M. А пайка из E к M состоит из следующих данных:

1. Выдающийся раздел о : M → E.
2. Линейный изоморфизм векторных расслоений θ: TM → о^*VE от касательный пучок из M к откат из вертикальный пучок из E вдоль выделенного участка.

В частности, это последнее условие можно интерпретировать как утверждение, что θ определяет линейный изоморфизм

${ displaystyle theta _ {x}: T_ {x} M rightarrow V_ {o (x)} E}$

из касательного пространства M в Икс к (вертикальному) касательному пространству волокна в точке, определяемой выделенным сечением. Форма θ называется форма припоя для пайки.

Особые случаи

По соглашению, когда выбор пайки уникален или канонически определен, форма припоя называется канонической формой или тавтологической формой.

Аффинные расслоения и векторные расслоения

Предположим, что E аффинный векторный набор (векторное расслоение без выбора нулевого сечения). Затем пайка на E указывает сначала выдающийся раздел: то есть выбор нулевой секции о, так что E может быть идентифицировано как векторное расслоение. Форма припоя тогда является линейным изоморфизмом

${ Displaystyle тета двоеточие TM к V_ {o} E,}$

Однако для векторного расслоения существует канонический изоморфизм между вертикальным пространством в начале координат и слоем V_оE ≈ E. При такой идентификации форма припоя определяется линейным изоморфизмом

${ displaystyle TM to E.}$

Другими словами, пайка на аффинный пучок E является выбором изоморфизма E с касательным пучком M.

Часто говорят о форма припоя на векторном пучке, где это понимается априори что выделенный участок пайки - это нулевой участок жгута. В этом случае структурная группа векторного расслоения часто неявно расширяется на полупрямой продукт из GL(п) с типичным волокном E (который является представлением GL(п)).^[2]

Примеры

• В качестве особого случая, например, сама касательная связка имеет каноническую форму припоя, а именно тождество.
• Если M имеет Риманова метрика (или же псевдориманова метрика), то ковариантный метрический тензор дает изоморфизм ${ displaystyle g двоеточие TM to T ^ {*} M}$ от касательного пучка к котангенсный пучок, который представляет собой припой.
• В Гамильтонова механикаформа припоя известна как тавтологический однообразный, или поочередно как Лиувилля одноформный, то Одна форма Пуанкаре, то каноническая одноформа, или симплектический потенциал.

Приложения

• Форма припоя на векторном пучке позволяет определить кручение и тензоры искривления из связь.

• Формы припоя встречаются в сигма модель, где они склеивают касательное пространство пространственно-временного многообразия с касательным пространством полевого многообразия.

• Vielbeins, или же тетрады в общей теории относительности выглядят как формы припоя в том смысле, что они склеивают вместе координатные диаграммы на пространственно-временном многообразии с предпочтительным, обычно ортонормированным базисом на касательном пространстве, где вычисления могут быть значительно упрощены. То есть карты координат являются ${ displaystyle TM}$ в определениях выше, а поле кадра - это вертикальный пучок ${ displaystyle VE}$. В сигма-модели реперы явно являются формами припоя.

Основные пакеты

На языке основных расслоений a форма припоя на гладком главный грамм-пучок п через гладкое многообразие M является горизонтальным и грамм-эквивариантный дифференциальная 1-форма на п со значениями в линейное представление V из грамм так что связанный карта пакета от касательный пучок TM к связанный пакет п×_грамм V это изоморфизм расслоения. (Особенно, V и M должен иметь такой же размер.)

Хорошим примером формы припоя является тавтологическая или основная форма на комплект кадров многообразия.

Причина названия в том, что форма припоя припаивает (или прикрепляет) абстрактную главную связку к коллектору. M путем идентификации связанного пучка с касательным пучком. Формы припоя предоставляют метод для изучения грамм-конструкции и важны в теории Картановые соединения. Терминология и подход особенно популярны в физической литературе.

Примечания

Рекомендации

• Эресманн, К. (1950). "Les Connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiel". Коллок де Топология, Брюссель: 29–55.
• Кобаяси, Шошичи (1957). «Теория связей». Анна. Мат. Pura Appl. 43 (1): 119–194. Дои:10.1007 / BF02411907.
• Кобаяси, Шошичи и Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 и 2 (Новое изд.). Wiley Interscience. ISBN 0-471-15733-3.