WikiDer > Картановое соединение

В математической области дифференциальная геометрия, а Картановое соединение является гибким обобщением понятия аффинная связь. Его также можно рассматривать как специализацию общей концепции основная связь, в котором геометрия основной пакет привязана к геометрии базового многообразия с помощью форма припоя. Связи Картана описывают геометрию многообразий, смоделированных на однородные пространства.

Теория картановских связей была разработана Эли Картан, как часть (и способ формулирования) его метод перемещения кадров (ремонт мобильного).^[1] Основная идея - разработать подходящее понятие формы подключения и кривизна с использованием движущихся рам, адаптированных к конкретной геометрической задаче. В теории относительности или римановой геометрии ортонормированные рамки используются для получения описания Леви-Чивита связь как связь Картана. Для групп Ли Рамы Маурера – Картана используются для просмотра Форма Маурера – Картана группы как связность Картана.

Картан переформулировал дифференциальную геометрию (псевдо) Риманова геометрия, а также дифференциальная геометрия коллекторы оснащен некоторой неметрической структурой, в том числе Группы Ли и однородные пространства. Термин «связь Картана» чаще всего относится к формулировке Картана (псевдо) риманова, аффинный, проективный, или же конформная связь. Хотя это наиболее часто используемые соединения Картана, они являются частными случаями более общей концепции.

Подход Картана поначалу кажется координатно-зависимым из-за выбора фреймов, которые он включает. Однако это не так, и это понятие можно точно описать на языке основных связок. Связности Картана индуцируют ковариантные производные и другие дифференциальные операторы на некоторых ассоциированных связках, отсюда и понятие параллельного переноса. У них много приложений в геометрии и физике: см. метод перемещения кадров, Картановский формализм и Теория Эйнштейна – Картана для некоторых примеров.

Вступление

По своей сути, геометрия состоит из понятия соответствие между разными объектами в пространстве. В конце 19 века представления о конгруэнтности обычно обеспечивались действием Группа Ли в космосе. Группы Ли обычно действуют довольно жестко, и поэтому геометрия Картана является обобщением этого понятия конгруэнтности, позволяющим учитывать кривизна присутствовать. В плоский Геометрии Картана - геометрии с нулевой кривизной - локально эквивалентны однородным пространствам, следовательно, геометрии в смысле Клейна.

А Геометрия Клейна состоит из группы Ли грамм вместе с подгруппой Ли ЧАС из грамм. Вместе грамм и ЧАС определить однородное пространство грамм/ЧАС, на котором группа грамм действует левым переводом. Целью Кляйна было изучение объектов, живущих в однородном пространстве, которые были конгруэнтный действием грамм. Геометрия Картана расширяет понятие геометрии Клейна, прикрепляя к каждой точке многообразие копия геометрии Клейна, и рассматривать эту копию как касательная к коллектору. Таким образом, геометрия многообразия бесконечно мало идентична геометрии Клейна, но глобально может быть совершенно иной. В частности, геометрии Картана больше не имеют четко определенного действия грамм на них. Однако Картановое соединение обеспечивает способ соединения инфинитезимальных модельных пространств внутри многообразия с помощью параллельный транспорт.

Мотивация

Считайте гладкую поверхность S в трехмерном евклидовом пространстве р³. Рядом с любой точкой, S можно аппроксимировать его касательной плоскостью в этой точке, которая является аффинное подпространство евклидова пространства. Аффинные подпространства модель Поверхности - это простейшие поверхности в р³, и однородны относительно евклидовой группы плоскости, следовательно, они Геометрии Клейна в смысле Феликс Кляйнс Программа Эрланген. Каждая гладкая поверхность S имеет единственную касательную к нему аффинную плоскость в каждой точке. Семейство всех таких самолетов в р³, по одному к каждой точке S, называется соответствие касательных плоскостей. Касательную плоскость можно «катить» по S, и при этом точка контакта очерчивает кривую на S. Наоборот, если задана кривая на S, касательную плоскость можно катить по этой кривой. Это дает возможность идентифицировать касательные плоскости в разных точках вдоль кривой с помощью аффинных (фактически евклидовых) преобразований и является примером связности Картана, называемой связностью Картана. аффинная связь.

Другой пример получается заменой плоскостей в качестве модельных поверхностей сферами, которые однородны относительно группы конформных преобразований Мёбиуса. Больше не существует уникальной касательной к гладкой поверхности сферы. S в каждой точке, так как радиус сферы не определен. Это можно исправить, предположив, что сфера имеет такой же средняя кривизна в качестве S в точке контакта. Такие сферы снова можно катать по кривым на S, и это оснащает S с другим типом соединения Картана, называемым конформная связь.

Дифференциальные геометры в конце 19 - начале 20 веков очень интересовались использованием семейств моделей, таких как плоскости или сферы, для описания геометрии поверхностей. Семейство пространств модели, прикрепленных к каждой точке поверхности. S называется соответствие: в предыдущих примерах есть канонический выбор такого сравнения. Связь Картана обеспечивает идентификацию между модельными пространствами в сравнении вдоль любой кривой в S. Важной особенностью этих отождествлений является то, что точка контакта модельного пространства с S всегда движется с кривой. Это общее условие характерно для картановских связностей.

В современной трактовке аффинных связей точка контакта рассматривается как источник в касательной плоскости (которая в этом случае является векторным пространством), и перемещение начала координат корректируется смещением, поэтому связи Картана не нужны. Однако в целом нет канонического способа сделать это: в частности, для конформного соединения конгруэнтности сфер невозможно естественным образом отделить движение точки контакта от остального движения.

В обоих этих примерах модельное пространство представляет собой однородное пространство. грамм/ЧАС.

• В первом случае грамм/ЧАС аффинная плоскость, с грамм = Aff (р²) аффинная группа самолета, и ЧАС = GL (2) соответствующая полная линейная группа.
• Во втором случае грамм/ЧАС конформный (или небесный) сфера, с грамм = O⁺(3,1) (ортохронная) группа Лоренца, и ЧАС то стабилизатор нулевой строки в р^3,1.

Картановская геометрия S состоит из копии пространства модели грамм/ЧАС в каждой точке S (с отмеченной точкой соприкосновения) вместе с понятием «параллельного перемещения» по кривым, которое идентифицирует эти копии с помощью элементов грамм. Это понятие параллельного переноса является общим в интуитивном смысле, поскольку точка контакта всегда перемещается по кривой.

В общем, пусть грамм быть группой с подгруппой ЧАС, и M многообразие той же размерности, что и грамм/ЧАС. Тогда, грубо говоря, связь Картана на M это грамм-связь, общая по отношению к редукции к ЧАС.

Аффинные связи

An аффинная связь на коллекторе M это связь на комплект кадров (основной комплект) из M (или эквивалентно связь на касательное расслоение (векторное расслоение) из M). Ключевым аспектом точки зрения Картана является разработка этого понятия в контексте основные связки (которую можно было бы назвать «общей или абстрактной теорией фреймов»).

Позволять ЧАС быть Группа Ли, ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ это Алгебра Ли. Затем главный ЧАС-пучок это пучок волокон п над M с гладкой действие из ЧАС на п которая свободна и транзитивна на волокнах. Таким образом п - гладкое многообразие с гладким отображением π: п → M который выглядит локально словно тривиальная связка M × ЧАС → M. Комплект кадров из M является главной GL (п) -бандл, а если M это Риманово многообразие, то пучок ортонормированных кадров является главным O (п)-пучок.

Позволять р_час обозначают (правое) действие час ∈ H на п. Производная этого действия определяет вертикальный вектор поле на п для каждого элемента ξ из ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$: если час(т) - однопараметрическая подгруппа с час(0)=е (элемент идентичности) и час '(0)=ξ, то соответствующее вертикальное векторное поле есть

${ displaystyle X _ { xi} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} R_ {h (t)} { biggr |} _ {t = 0}. ,}$

А главный ЧАС-связь на п это 1-форма ${ displaystyle omega двоеточие TP to { mathfrak {h}}}$ на п, со значениями в Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ из ЧАС, так что

1. ${ displaystyle { hbox {Ad}} (h) (R_ {h} ^ {*} omega) = omega}$
2. для любого ${ displaystyle xi in { mathfrak {h}}}$, ω(Икс_ξ) = ξ (идентично на п).

Интуитивная идея заключается в том, что ω(Икс) обеспечивает вертикальный компонент из Икс, используя изоморфизм слоев π с ЧАС идентифицировать вертикальные векторы с элементами ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$.

Пучки кадров имеют дополнительную структуру, называемую форма припоя, который можно использовать для расширения основного соединения на п к тривиализации касательного расслоения к п называется абсолютный параллелизм.

В общем, предположим, что M имеет размер п и ЧАС действует на р^п (это может быть любой п-мерное вещественное векторное пространство). А форма припоя по принципу ЧАС-пучок п над M является р^п-значная 1-форма θ: Тп → р^п который является горизонтальным и эквивариантным, так что он индуцирует гомоморфизм расслоения от ТM к связанный пакет п ×_ЧАС р^п. Кроме того, требуется, чтобы это был изоморфизм расслоения. Пучки рамок имеют форму припоя (каноническую или тавтологическую), которая посылает касательный вектор Икс ∈ T_пп в координаты dπ_п(Икс) ∈ T_π(п)M относительно рамы п.

Пара (ω, θ) (основное соединение и форма пайки) определяет 1-форму η на п, со значениями в алгебре Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из полупрямой продукт грамм из ЧАС с р^п, обеспечивающий изоморфизм каждого касательного пространства T_пп с ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Это вызывает принципиальную связь α по ассоциированному принципалу грамм-пучок п ×_ЧАС грамм. Это связь Картана.

Связности Картана обобщают аффинные связи двумя способами.

• Действие ЧАС на р^п не обязательно быть эффективным. Это позволяет, например, включить в теорию спиновые связи, в которых ЧАС это вращательная группа Вращение(п), а не ортогональная группа O (п).
• Группа грамм не обязательно быть полупрямым продуктом ЧАС с р^п.

Геометрии Клейна как модельные пространства

Кляйна Программа Эрланген предположил, что геометрию можно рассматривать как исследование однородные пространства: в частности, это исследование многих геометрий, представляющих интерес для геометров 19 века (и ранее). Геометрия Клейна состояла из пространства вместе с законом движения в пространстве (аналогично Евклидовы преобразования классических Евклидова геометрия) выражается как Группа Ли из трансформации. Эти обобщенные пространства оказываются однородными гладкие многообразия диффеоморфен факторное пространство группы Ли Подгруппа Ли. Дополнительная дифференциальная структура, которой обладают эти однородные пространства, позволяет изучать и обобщать их геометрию с помощью исчисления.

Общий подход Картана состоит в том, чтобы начать с такого гладкая геометрия Клейна, заданный группой Ли грамм и подгруппа Ли ЧАС, с ассоциированными алгебрами Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$, соответственно. Позволять п быть основным главное однородное пространство из грамм. Геометрия Клейна - это однородное пространство, заданное фактором п/ЧАС из п правильным действием ЧАС. Есть право ЧАС-действие на волокна канонической проекции

π: п → п/ЧАС

данный р_часграмм = gh. Более того, каждый волокно из π это копия ЧАС. п имеет структуру главный ЧАС-пучок над п/ЧАС.^[2]

Векторное поле Икс на п является вертикальный если dπ(Икс) = 0. Любое ξ ∈ ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ дает каноническое вертикальное векторное поле Икс_ξ взяв производную от правого действия однопараметрической подгруппы группы ЧАС связанный с ξ. В Форма Маурера-Картана η из п это ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$однозначная форма на п который отождествляет каждое касательное пространство с алгеброй Ли. Обладает следующими свойствами:

1. Объявление(час) р_час^*η = η для всех час в ЧАС
2. η(Икс_ξ) = ξ для всех ξ в ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$
3. для всех грамм∈п, η ограничивает линейный изоморфизм T_граммп с ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ (η - абсолютный параллелизм на п).

В дополнение к этим свойствам, η удовлетворяет структура (или же структурный) уравнение

${ displaystyle d eta + { tfrac {1} {2}} [ eta, eta] = 0.}$

Наоборот, можно показать, что для многообразия M и главный ЧАС-пучок п над M, и 1-форма η с этими свойствами, то п локально изоморфен как ЧАС-расслоение к главному однородному расслоению грамм→грамм/ЧАС. Структурное уравнение - это условие интегрируемости для существования такого локального изоморфизма.

Геометрия Картана - это обобщение гладкой геометрии Клейна, в которой структурное уравнение не предполагается, но вместо этого используется для определения понятия кривизна. Таким образом, геометрии Клейна называются плоские модели для геометрий Картана.^[3]

Псевдогруппы

Картановые связи тесно связаны с псевдогруппа структур на многообразии. Каждый считается по образцу геометрия Клейна грамм/ЧАС, аналогично тому, как Риманова геометрия по образцу Евклидово пространство. На многообразии M, можно представить, что к каждой точке M копия пространства модели грамм/ЧАС. Затем симметрия модельного пространства встраивается в геометрию Картана или структуру псевдогруппы, утверждая, что модельные пространства ближайших точек связаны преобразованием в грамм. Основное различие между геометрией Картана и геометрией псевдогруппы состоит в том, что симметрия для геометрии Картана связывает бесконечно мало близкие точки бесконечно малый преобразование в грамм (т.е. элемент алгебры Ли грамм), и аналогичное понятие симметрии для структуры псевдогруппы применяется к точкам, которые физически разделены внутри многообразия.

Процесс прикрепления пространств к точкам и сопутствующие симметрии могут быть конкретно реализованы с помощью специальных системы координат.^[4] К каждой точке п ∈ M, а район U_п из п задается вместе с отображением φ_п : U_п → грамм/ЧАС. Таким образом, пространство модели прикрепляется к каждой точке M осознавая M локально в каждой точке как открытое подмножество грамм/ЧАС. Мы думаем об этом как о семействе систем координат на M, параметризованные точками M. Две такие параметризованные системы координат φ и φ ′: ЧАС-связано, если есть элемент час_п ∈ ЧАС, параметризованный п, так что

φ ′_п = час_п φ_п.^[5]

Эта свобода примерно соответствует представлению физиков о измерять.

Ближайшие точки соединяются между собой кривой. Предположим, что п и п′ Две точки в M соединенный кривой п_т. потом п_т дает представление о перемещении модельного пространства по кривой.^[6] Пусть τ_т : грамм/ЧАС → грамм/ЧАС быть (локально определенной) составной картой

τ_т = φ_пт o φ_п0⁻¹.

Интуитивно τ_т это транспортная карта. Структура псевдогруппы требует, чтобы τ_т быть симметрия модельного пространства для каждого т: τ_т ∈ грамм. Для подключения Картана требуется только, чтобы производная из τ_т - симметрия модельного пространства: τ ′₀ ∈ грамм, алгебра Ли грамм.

Типичным для Картана мотивацией для введения понятия связи Картана было изучение свойств псевдогрупп с бесконечно малой точки зрения. Связность Картана определяет псевдогруппу именно тогда, когда производная транспортного отображения τ ′ может быть интегрированный, таким образом восстанавливая истинное (грамм-значная) транспортная карта между системами координат. Таким образом, существует условие интегрируемости на работе, а метод Картана для реализации условий интегрируемости заключался во введении дифференциальная форма.

В этом случае τ ′₀ определяет дифференциальную форму в точке п следующее. Для кривой γ (т) = п_т в M начинается с п, мы можем связать касательный вектор Икс, а также транспортную карту τ_т^γ. Взяв производную, мы получаем линейное отображение

${ Displaystyle X mapsto left. { frac {d} {dt}} tau _ {t} ^ { gamma} right | _ {t = 0} = theta (X) in { mathfrak {грамм}}.}$

Итак, θ определяет грамм-значный дифференциал 1-формы на M.

Эта форма, однако, зависит от выбора параметризованной системы координат. Если час : U → ЧАС является ЧАС-связь между двумя параметризованными системами координат φ и φ ′, то соответствующие значения θ также связаны соотношением

${ displaystyle theta _ {p} ^ { prime} = Ad (h_ {p} ^ {- 1}) theta _ {p} + h_ {p} ^ {*} omega _ {H},}$

где ω_ЧАС это форма Маурера-Картана ЧАС.

Формальное определение

Геометрия Картана на однородном пространстве грамм/ЧАС можно рассматривать как деформация этой геометрии, которая допускает наличие кривизна. Например:

• а Риманово многообразие можно рассматривать как деформацию Евклидово пространство;
• а Лоренцево многообразие можно рассматривать как деформацию Пространство Минковского;
• а конформное многообразие можно рассматривать как деформацию конформная сфера;
• коллектор, оборудованный аффинная связь можно рассматривать как деформацию аффинное пространство.

Есть два основных подхода к определению. В обоих подходах M гладкое многообразие размерности п, ЧАС группа Ли размерности м, с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$, и грамм группа Ли размерности п+м, с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, содержащий ЧАС как подгруппа.

Определение через калибровочные переходы

А Картановое соединение состоит^[7][8] из координатный атлас открытых наборов U в Mвместе с ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-значная 1-форма θ_U определен на каждой карте таким образом, что

1. θ_U : ТU → ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.
2. θ_U мод ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ : Т_тыU → ${ displaystyle { mathfrak {g}} / { mathfrak {h}}}$ является линейным изоморфизмом для любого ты ∈ U.
3. Для любой пары графиков U и V в атласе есть гладкое отображение час : U ∩ V → ЧАС такой, что

${ displaystyle theta _ {V} = Ad (h ^ {- 1}) theta _ {U} + h ^ {*} omega _ {H}, ,}$

где ω_ЧАС это Форма Маурера-Картана из ЧАС.

По аналогии со случаем, когда θ_U пришли из систем координат, условие 3 означает, что φ_U связана с φ_V к час.

Кривизна связи Картана состоит из системы 2-форм, определенных на диаграммах, заданных формулой

${ displaystyle Omega _ {U} = d theta _ {U} + { tfrac {1} {2}} [ theta _ {U}, theta _ {U}].}$

Ω_U удовлетворяют условию совместимости:

Если формы θ_U и θ_V связаны функцией час : U ∩ V → ЧАС, как и выше, то Ω_V = Объявление (час⁻¹) Ω_U

Определение можно сделать независимым от систем координат, сформировав факторное пространство

${ Displaystyle P = ( coprod _ {U} U times H) / sim}$

несвязного союза над всеми U в атласе. В отношение эквивалентности ~ определено на парах (Икс,час₁) ∈ U₁ × ЧАС и (Икс, час₂) ∈ U₂ × ЧАС, к

(Икс,час₁) ~ (Икс, час₂) если и только если Икс ∈ U₁ ∩ U₂, θ_U1 связано с θ_U2 к час, и час₂ = час(Икс)⁻¹ час₁.

потом п это главный ЧАС-пучок на M, а условие совместности форм связности θ_U означает, что они поднимаются до ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-значная 1-форма η, определенная на п (Смотри ниже).

Определение через абсолютный параллелизм

Позволять п быть главным ЧАС связать M. Затем Картановое соединение^[9] это ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-значная 1-форма η на п такой, что

1. для всех час в ЧАС, Ad (час)р_час^*η = η
2. для всех ξ в ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$, η(Икс_ξ) = ξ
3. для всех п в п, ограничение η определяет линейный изоморфизм касательного пространства T_пп к ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Последнее условие иногда называют Условие Картана: это означает, что η определяет абсолютный параллелизм на п. Из второго условия следует, что η уже инъективен на вертикальных векторах и что 1-форма η мод ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$, со значениями в ${ Displaystyle { mathfrak {g}} / { mathfrak {h}}}$, горизонтально. Векторное пространство ${ displaystyle { mathfrak {g}} / { mathfrak {h}}}$ это представление из ЧАС используя присоединенное представление ЧАС на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, а из первого условия следует, что η мод ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ эквивариантно. Следовательно, он определяет гомоморфизм расслоения из TM в связанный пакет ${ displaystyle P times _ {H} { mathfrak {g}} / { mathfrak {h}}}$Условие Картана эквивалентно тому, что этот гомоморфизм расслоения является изоморфизмом, так что η мод ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ это форма припоя.

В кривизна связи Картана - это ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-значная 2-форма Ω определяется

${ displaystyle Omega = d eta + { tfrac {1} {2}} [ eta wedge eta].}$

Обратите внимание, что это определение соединения Картана очень похоже на определение соединения Картана. основная связь. Однако есть несколько важных отличий. Во-первых, 1-форма η принимает значения в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, но эквивариантен только под действием ЧАС. Действительно, он не может быть эквивариантным относительно полной группы грамм потому что нет грамм связка и нет грамм действие. Во-вторых, 1-форма - это абсолютный параллелизм, который интуитивно означает, что η дает информацию о поведении дополнительных направлений в главном пучке (а не просто является оператором проекции на вертикальное пространство). Конкретно, наличие припоя связывает (или припаивает) соединение Картана к нижележащему дифференциальная топология коллектора.

Интуитивная интерпретация связи Картана в этой форме состоит в том, что она определяет трещина тавтологического главного расслоения, ассоциированного с геометрией Клейна. Таким образом, геометрии Картана являются деформированными аналогами геометрии Клейна. Эта деформация - примерно рецепт для прикрепления копии пространства модели. грамм/ЧАС к каждой точке M и думая об этом модельном пространстве как о касательная к (и бесконечно идентичный с) коллектор в точке соприкосновения. Волокно тавтологического пучка грамм → грамм/ЧАС геометрии Клейна в точке контакта отождествляется со слоем пучка п. Каждое такое волокно (в грамм) имеет форму Маурера - Картана для грамм, а связность Картана - это способ сборки этих форм Маурера-Картана, собранных из точек контакта, в когерентную 1-форму η, определенную на всем расслоении. Дело в том, что только элементы ЧАС вносят вклад в уравнение Маурера-Картана Ad (час)р_час^*η = η имеет интуитивную интерпретацию, что любые другие элементы грамм переместит пространство модели от точки контакта и больше не будет касаться коллектора.

Из связности Картана, определенной в этих терминах, можно восстановить связность Картана как систему 1-форм на многообразии (как в определении калибровки), взяв набор локальные тривиализации из п даны как разделы s_U : U → п и положив θ_U = s^*η быть откаты соединения Картана по секциям.

Как основные связи

Другой способ определить соединение Картана - это основная связь по определенному принципу грамм-пучок. С этой точки зрения соединение Картана состоит из

• директор грамм-пучок Q над M
• директор грамм-связь α на Q (связь Картана)
• директор ЧАС-подвязка п из Q (т.е. редукция структурной группы)

так что откат η из α к п удовлетворяет условию Картана.

Принципиальная связь α на Q можно восстановить из формы η принимая Q быть связанным пакетом п ×_ЧАС грамм. Наоборот, форму η можно восстановить по α, потянув назад по включению п ⊂ Q.

С α является главной связностью, она индуцирует связь на любом связанный пакет к Q. В частности, комплект Q ×_грамм грамм/ЧАС однородных пространств над M, волокна которого являются копиями модельного пространства грамм/ЧАС, есть связь. Приведение структурной группы к ЧАС эквивалентно задается сечением s из E = Q ×_грамм грамм/ЧАС. Волокно ${ displaystyle P times _ {H} { mathfrak {g}} / { mathfrak {h}}}$ над Икс в M можно рассматривать как касательное пространство на s(Икс) к волокну Q ×_грамм грамм/ЧАС над Икс. Следовательно, условие Картана имеет интуитивно понятную интерпретацию, согласно которой модельные пространства касаются M вдоль раздела s. Поскольку это отождествление касательных пространств индуцировано связностью, отмеченные точки, заданные формулой s всегда перемещайтесь под параллельным транспортом.

Определение связностью Эресмана

Еще один способ определить связь Картана - это Связь Ehresmann на пачке E = Q ×_грамм грамм/ЧАС из предыдущего раздела.^[10] Тогда соединение Картана состоит из

• А пучок волокон π: E → M с волокном грамм/ЧАС и вертикальное пространство VE ⊂ TE.
• Секция s : M → E.
• А G-соединение θ: ТE → VE такой, что

s^*θ_Икс : Т_ИксM → V_s(Икс)E является линейным изоморфизмом векторных пространств для всех Икс ∈ M.

Это определение усложняет интуитивные идеи, представленные во введении. Во-первых, предпочтительный раздел s можно рассматривать как определение точки соприкосновения коллектора и касательного пространства. Последнее условие, в частности, означает, что касательное пространство M в Икс изоморфна касательному пространству модельного пространства в точке контакта. Таким образом, модельные пространства касаются многообразия.

Развёртка кривой в пространство модели при Икс₀

Это определение также делает акцент на идее разработка. Если Икс_т кривая в M, то связность Эресмана на E поставляет связанный параллельный транспорт карта τ_т : E_Икст → E_Икс0 от волокна над концом кривой до волокна над начальной точкой. В частности, поскольку E оснащен предпочтительной секцией s, точки s(Икс_т) транспортировка обратно к волокну через Икс₀ и начертите кривую в E_Икс0. Эта кривая тогда называется разработка кривой Икс_т.

Чтобы показать, что это определение эквивалентно другим, приведенным выше, необходимо ввести подходящее понятие подвижная рама для связки E. В общем, это возможно для любого грамм-связь на пучке волокон со структурной группой грамм. Видеть Подключение Ehresmann # Связанные пакеты Больше подробностей.

Специальные соединения Картана

Редукционные соединения Картана

Позволять п быть главным ЧАС-бандл на M, снабженный соединением Картана η: Tп → ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ это восстановительный модуль за ЧАС, означающий, что ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ допускает объявление (ЧАС) -инвариантное расщепление векторных пространств ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {h}} oplus { mathfrak {m}}}$, то ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$-компонента η обобщает форму припоя для аффинная связь.^[11]Подробно η распадается на ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ составные части:

η = η_{${ displaystyle { mathfrak {h}}}$} + η_{${ displaystyle { mathfrak {m}}}$}.

Отметим, что 1-форма η_{${ displaystyle { mathfrak {h}}}$} является основным ЧАС-подключение на оригинальную комплектацию Картана п. Более того, 1-форма η_{${ displaystyle { mathfrak {m}}}$} удовлетворяет:

η_{${ displaystyle { mathfrak {m}}}$}(Икс) = 0 для каждого вертикального вектора Икс ∈ Tп. (η_{${ displaystyle { mathfrak {m}}}$} является горизонтальный.)

р_час^*η_{${ displaystyle { mathfrak {m}}}$} = Объявление (час⁻¹) η_{${ displaystyle { mathfrak {m}}}$} для каждого час ∈ ЧАС. (η_{${ displaystyle { mathfrak {m}}}$} является эквивариантный под правым ЧАС-действие.)

Другими словами, η является форма припоя для связки п.

Следовательно, п снабженный формой η_{${ displaystyle { mathfrak {m}}}$} определяет (первый порядок) ЧАС-структура на M. Форма η_{${ displaystyle { mathfrak {h}}}$} определяет соединение на ЧАС-структура.

Параболические соединения Картана

Если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ это полупростая алгебра Ли с параболическая подалгебра ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ (т.е. ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ содержит максимальная разрешимая подалгебра из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$) и грамм и п являются ассоциированными группами Ли, то связность Картана, смоделированная на (грамм,п,${ displaystyle { mathfrak {g}}}$,${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$) называется параболическая геометрия Картана, или просто параболическая геометрия. Отличительной чертой параболических геометрий является структура алгебры Ли на ее котангенсные пространства: это возникает потому, что перпендикулярное подпространство ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$^⊥ из ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ с уважением к Форма убийства из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является подалгеброй ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$, а форма Киллинга индуцирует естественную двойственность между ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$^⊥ и ${ Displaystyle { mathfrak {g}} / { mathfrak {p}}}$. Таким образом, связка, связанная с ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$^⊥ изоморфен котангенсный пучок.

Параболические геометрии включают в себя многие из тех, которые представляют интерес для исследования и применения связей Картана, например, следующие примеры:

• Конформные соединения: Здесь грамм = ТАК(п+1,q+1), и п является стабилизатором нулевого луча в р^{п + 2}.
• Проективные связи: Здесь грамм = PGL(n + 1) и п является стабилизатором точки в RP^п.
• Структуры CR и связи Картан-Черн-Танака: грамм = БП(п+1,q+1), п = стабилизатор точки на проективном нуле гиперквадрик.
• Контактные проективные связи:^[12] Здесь грамм = SP(2n + 2) и п является стабилизатором луча, порожденного первым стандартным базисным вектором в р^{п + 2}.
• Типичные распределения ранга 2 на 5-многообразиях: Здесь грамм = Aut(О_s) - группа автоморфизмов алгебры О_s из разбить октонионы, а закрытая подгруппа из ТАК(3,4) и п является пересечением G со стабилизатором изотропной прямой, натянутой на первый стандартный базисный вектор в р⁷ рассматриваются как чисто воображаемые расщепленные октонионы (ортогональное дополнение единичного элемента в О_s).^[13]

Ассоциированные дифференциальные операторы

Ковариантная дифференциация

Предположим, что M является геометрией Картана, смоделированной на грамм/ЧАС, и разреши (Q,α) быть главным грамм-бандл с подключением, и (п,η) соответствующее приведение к ЧАС с η равно откату α. Позволять V а представление из грамм, и образуют векторное расслоение V = Q ×_грамм V над M. Тогда главный грамм-связь α на Q вызывает ковариантная производная на V, что является первым порядком линейный дифференциальный оператор

${ Displaystyle набла двоеточие Omega _ {M} ^ {0} ( mathbf {V}) to Omega _ {M} ^ {1} ( mathbf {V}),}$

куда ${ Displaystyle Omega _ {M} ^ {k} ( mathbf {V})}$ обозначает пространство k-форма на M со значениями в V так что${ Displaystyle Omega _ {M} ^ {0} ( mathbf {V})}$ это пространство секций V и ${ Displaystyle Omega _ {M} ^ {1} ( mathbf {V})}$ пространство сечений Hom (TM,V). Для любого раздела v из V, сжатие ковариантной производной ∇v с векторным полем Икс на M обозначается ∇_Иксv и удовлетворяет следующему правилу Лейбница:

${ displaystyle nabla _ {X} (fv) = df (X) v + f nabla _ {X} v}$

для любой гладкой функции ж на M.

Ковариантная производная также может быть построена из связности Картана η на п. Фактически, построение его таким образом является немного более общим в том смысле, что V не обязательно быть полноценным представлением грамм.^[14] Предположим вместо этого, что V это (${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, ЧАС) -модуль: представление группы ЧАС с согласованным представлением алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Напомним, что раздел v индуцированного векторного расслоения V над M можно рассматривать как ЧАС-эквивариантное отображение п → V. Это наша точка зрения. Позволять Икс быть векторным полем на M. Выбираем любой правоинвариантный лифт ${ displaystyle { bar {X}}}$ к касательному пучку п. Определять

${ displaystyle nabla _ {X} v = dv ({ bar {X}}) + eta ({ bar {X}}) cdot v}$.

Чтобы показать, что ∇v четко определен, он должен:

1. не зависеть от выбранного подъемника ${ displaystyle { bar {X}}}$
2. быть эквивариантным, так что он спускается до раздела пучка V.

Для (1) неоднозначность выбора правоинвариантного лифта Икс это преобразование вида ${ Displaystyle X mapsto X + X _ { xi}}$ куда ${ displaystyle X _ { xi}}$ - правоинвариантное вертикальное векторное поле, индуцированное ${ displaystyle xi in { mathfrak {h}}}$. Итак, вычисляя ковариантную производную через новую подъемную силу ${ displaystyle { bar {X}} + X _ { xi}}$, надо

${ displaystyle nabla _ {X} v = dv ({ bar {X}} + X _ { xi}) + eta ({ bar {X}} + X _ { xi})) cdot v}$

${ displaystyle = dv ({ bar {X}}) + dv (X _ { xi}) + eta ({ bar {X}}) cdot v + xi cdot v}$

${ displaystyle = dv ({ bar {X}}) + eta ({ bar {X}}) cdot v}$

поскольку ${ Displaystyle xi cdot v + dv (X _ { xi}) = 0}$ взяв дифференциал свойства эквивариантности ${ Displaystyle ч cdot R_ {ч} ^ {*} v = v}$ в час равный элементу идентичности.

Для (2) заметим, что, поскольку v эквивариантно и ${ displaystyle { bar {X}}}$ правоинвариантно, ${ displaystyle dv ({ bar {X}})}$ эквивариантно. С другой стороны, поскольку η также эквивариантно, отсюда следует, что ${ displaystyle eta ({ bar {X}}) cdot v}$ также эквивариантно.

Фундаментальная или универсальная производная

Предположим, что V является лишь представлением подгруппы ЧАС и не обязательно большая группа грамм. Позволять ${ displaystyle Omega ^ {k} (P, V)}$ быть пространством V-значный дифференциал k-форма на п. При наличии картановской связности существует канонический изоморфизм

${ Displaystyle varphi двоеточие Omega ^ {k} (P, V) cong Omega ^ {0} (P, V otimes bigwedge nolimits ^ {k} { mathfrak {g}} ^ {* })}$

данный${ displaystyle varphi ( beta) ( xi _ {1}, xi _ {2}, dots, xi _ {k}) = beta ( eta ^ {- 1} ( xi _ { 1}), точки, eta ^ {- 1} ( xi _ {k}))}$ куда ${ Displaystyle бета в Omega ^ {k} (P, V)}$ и ${ displaystyle xi _ {j} in { mathfrak {g}}}$.

Для каждого k, внешняя производная - операторно-дифференциальный оператор первого порядка

${ Displaystyle d двоеточие Omega ^ {k} (P, V) rightarrow Omega ^ {k + 1} (P, V) ,}$

и так, для k= 0, он определяет дифференциальный оператор

${ Displaystyle varphi circ d двоеточие Omega ^ {0} (P, V) rightarrow Omega ^ {0} (P, V otimes { mathfrak {g}} ^ {*}). , }$

Потому что η эквивариантно, если v эквивариантен, поэтому Dv := φ(dv). Отсюда следует, что эта композиция спускается к дифференциальному оператору первого порядка D из разделов V=п×_ЧАСV к разделам пакета ${ displaystyle P times _ {H} ( mathbf {V} otimes { mathfrak {g}} ^ {*})}$. Это называется фундаментальной или универсальной производной или фундаментальным D-оператором.

Примечания

Рекомендации

• Чап, Андреас; Говер, А. Род (2002), «Тракторные расчеты для параболической геометрии]» (PDF), Труды Американского математического общества, 354 (4): 1511–1548, Дои:10.1090 / S0002-9947-01-02909-9, заархивировано из оригинал (PDF) на 2017-08-11.
• Čap, A .; Сагершниг, К. (2009), «О конформной структуре Нуровского, связанной с общим распределением ранга два в измерении пять», Журнал геометрии и физики, 59 (7): 901–912, arXiv:0710.2208, Bibcode:2007arXiv0710.2208C, Дои:10.1016 / j.geomphys.2009.04.001.
• Картан, Эли (1910), "Les systèmes de Pfaff à cinq variables et les équations aux dérivées partielles du second ordre", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, 27: 109–192, Дои:10.24033 / asens.618.
• Картан, Эли (1923), "Sur les varétés à affine affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie)", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, 40: 325–412, Дои:10.24033 / asens.751.
• Картан, Эли (1924), "Sur les Variétés à Connexion projective", Bulletin de la Société Mathématique de France, 52: 205–241, Дои:10.24033 / bsmf.1053.
• Картан, Эли (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica, 48 (1–2): 1–42, Дои:10.1007 / BF02629755.
• Картан, Эли (1951), с приложениями Роберта Херманна (ред.), Геометрия римановых пространств (перевод Джеймса Глейзбрука из Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann, 2-е изд.), Math Sci Press, Massachusetts (опубликовано в 1983 г.), ISBN 978-0-915692-34-7.
• Шевалле, К. (1946), Теория групп Ли, Издательство Принстонского университета, ISBN 0-691-08052-6.
• Эресманн, К. (1950), "Бесконечные связи в непространстве различающихся волокон", Коллок де Топология, Брюссель: 29–55, МИСТЕР 0042768.
• Фокс, Д.Дж.Ф. (2005), «Контактные проективные структуры», Математический журнал Университета Индианы, 54 (6): 1547–1598, arXiv:математика / 0402332, Дои:10.1512 / iumj.2005.54.2603.
• Гриффитс, Филипп (1974), "О методе Картана групп Ли и подвижных реперах применительно к вопросам единственности и существования в дифференциальной геометрии", Математический журнал герцога, 41 (4): 775–814, Дои:10.1215 / S0012-7094-74-04180-5, S2CID 12966544.
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии. 1 и 2 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• Кобаяси, Шошичи (1970), Группы преобразований в дифференциальной геометрии (1-е изд.), Springer, ISBN 3-540-05848-6.
• Кобаяси, Шошичи (1957), «Теория связей», Annali di Matematica Pura ed Applicata, Серия 4, 43: 119–194, Дои:10.1007 / BF02411907.
• Lumiste, Ü. (2001a), «Конформное соединение», в Хазевинкель, Михиэль (ред.), Энциклопедия математики, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Lumiste, Ü. (2001b), «Подключения на коллекторе», в Хазевинкель, Михиэль (ред.), Энциклопедия математики, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Сагершниг, К. (2006), «Разделение октонионов и общие распределения ранга два в измерении пять», Archivum Mathematicum, 42 (Дополнение): 329–339.
• Шарп, Р. В. (1997), Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9.
• Словак, Ян (1997), Параболическая геометрия (PDF), Аналитические записки, Часть докторской диссертации, Масариковский университет^{[постоянная мертвая ссылка]}.

Книги

• Кобаяси, Шошичи (1972), Группы преобразований в дифференциальной геометрии (Classics in Mathematics ed., 1995), Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-58659-3.

Секция 3. Соединения Картана [страницы 127–130] рассматривает конформные и проективные связи единообразно.

внешняя ссылка

• Ü. Lumiste (2001) [1994], «Аффинная связь», Энциклопедия математики, EMS Press