WikiDer > Стабильная теория

Stable theory
Для дифференциальных уравнений см. Теория устойчивости.

В математической области теория моделей, а полная теория называется стабильный если его не слишком много типы. Одна цель теория классификации состоит в том, чтобы разделить все законченные теории на те, чьи модели можно классифицировать и те, модели которых слишком сложны для классификации, а также классифицировать все модели в тех случаях, когда это можно сделать. Грубо говоря, если теория нестабильна, то ее модели слишком сложны и многочисленны, чтобы их можно было классифицировать, в то время как, если теория стабильна, может быть некоторая надежда на классификацию ее моделей, особенно если теория сверхстабильный или же полностью трансцендентный.

Теория устойчивости была начата Морли (1965), который представил несколько фундаментальных концепций, таких как полностью трансцендентальные теории и Ранг Морли. Стабильные и сверхстабильные теории были впервые представлены Шелах (1969), ответственный за большую часть развития теории устойчивости. Окончательный справочник по теории устойчивости: (Шела 1990), хотя это, как известно, трудно прочитать даже экспертам, как упоминалось, например, в (Гроссберг, Иовино и Лессманн, 2002 г., п. 542).

Определения

Т будет полная теория на каком-то языке.

  • Т называется κ-стабильный (для бесконечного кардинал κ) если для каждого набора А мощности κ набор полные типы над А имеет мощность κ.
  • ω-стабильный альтернативное название для ℵ0-стабильный.
  • Т называется стабильный если это κ-стабильна для некоторого бесконечного кардинала κ.
  • Т называется неустойчивый если это не κ-стабильна для любого бесконечного кардинала κ.
  • Т называется сверхстабильный если это κ-устойчивый для всех достаточно крупных кардиналов κ.
  • Совершенно трансцендентный теории таковы, что каждая формула имеет Ранг Морли меньше ∞.

Как обычно, говорят, что модель некоторого языка обладает одним из этих свойств, если полная теория модели имеет это свойство.

Неполная теория определяется как обладающая одним из этих свойств, если каждое завершение или, что эквивалентно, каждая модель имеет это свойство.

Неустойчивые теории

Грубо говоря, теория неустойчива, если ее можно использовать для кодирования заказанный набор натуральных чисел. Точнее если есть модель M и формула Φ (Икс,Y) в 2п переменные Икс = Икс1,...,Иксп и Y = у1,...,уп определение отношения на Mп с бесконечным полностью заказанный подмножество, то теория неустойчива. (Любое бесконечное полностью упорядоченное множество имеет подмножество, изоморфное положительным или отрицательным целым числам в обычном порядке, поэтому можно предположить, что полностью упорядоченное подмножество упорядочено, как положительные целые числа.) Полностью упорядоченное подмножество не обязательно должно быть определимым в теории.

Количество моделей неустойчивой теории Т любой бесчисленной мощности κ ≥ |Т| это максимально возможное число 2κ.

Примеры:

  • Наиболее сложные теории, такие как теории множеств и Арифметика Пеано, нестабильны.
  • Теория рациональных чисел, рассматриваемых как упорядоченное множество, неустойчива. Его теория - это теория плотные общие заказы без конечных точек. В более общем смысле, теория каждого бесконечного общий заказ нестабильно.
  • В теория сложения натуральных чисел нестабильно.
  • Любой бесконечный Булева алгебра нестабильно.
  • Любой моноид с отменой это не группа нестабильна, потому что если а является элементом, который не является единицей, то степени а образуют бесконечное вполне упорядоченное множество по отношению делимость. По той же причине любой область целостности это не поле нестабильно.
  • Есть много нестабильных нильпотентные группы. Одним из примеров является бесконечномерная Группа Гейзенберга над целыми числами: это генерируется элементами Икся, уя, z для всех натуральных чисел я, с отношениями, которые коммутируют любые из этих двух генераторов, за исключением того, что Икся и уя есть коммутатор z для любого я. Если ая это элемент Икс0Икс1...Икся−1уя тогда ая и аj есть коммутатор z когда именно я < j, поэтому они образуют бесконечный полный порядок при определенном отношении, поэтому группа нестабильна.
  • Реальные закрытые поля нестабильны, так как они бесконечны и имеют определяемый общий порядок.

Стабильные теории

Т называется стабильный если это κ-стабильно для некоторых кардинальных κ. Примеры:

  • Теория любого модуль через звенеть стабильно.
  • Теория счетного числа отношений эквивалентности, (Eп)п∈N, такое, что каждое отношение эквивалентности имеет бесконечное число классов эквивалентности и каждый класс эквивалентности Eп представляет собой объединение бесконечного числа различных классов Eп+1 стабильно, но не сверхстабильно.
  • Села (2006) показало, что бесплатные группы, и в более общем плане без кручения гиперболические группы, стабильны. Свободные группы с более чем одним генератором не являются сверхстабильными.
  • А дифференциально замкнутое поле стабильно. Если он ненулевой характеристика он не является сверхстабильным, а если он имеет нулевые характеристики, он полностью трансцендентен.

Сверхстабильные теории

Т называется сверхстабильный если она устойчива для всех достаточно больших кардиналов, значит, все сверхустойчивые теории устойчивы. Для счетного Т, сверхстабильность эквивалентна устойчивости для всех κ ≥ 2ω.Следующие условия теории Т эквивалентны:

  • Т суперстабильно.
  • Все виды Т ранжируются по крайней мере по одному понятию ранга.
  • Т является κ-устойчивый для всех достаточно крупных кардиналов κ
  • Т является κ-стабильно для всех кардиналов κ что по крайней мере 2|Т|.

Если теория сверхстабильна, но не полностью трансцендентна, ее называют строго сверхстабильный.

Количество счетных моделей счетной сверхустойчивой теории должно быть равно 1, ℵ0, ℵ1, или 2ω. Если количество моделей равно 1, теория полностью трансцендентна. Есть примеры с 1, ℵ0 или 2ω моделей, и неизвестно, есть ли примеры с ℵ1 модели, если гипотеза континуума не держит. Если теория Т не сверхстабильно, то количество моделей мощности κ > |Т| 2κ.

Примеры:

  • Аддитивная группа целых чисел сверхстабильна, но не полностью трансцендентна. Имеет 2ω счетные модели.
  • Теория со счетным числом унарных соотношений пя с моделью положительные целые числа, где пя(п) интерпретируется как высказывание п делится на ппростое число сверхстабильно, но не полностью трансцендентно.
  • An абелева группа А суперстабильно тогда и только тогда, когда существует только конечное число пар (п,п) с п основной, п натуральное число, с ппА/пп+1А бесконечно.

Совершенно трансцендентные теории и ω-стабильные

  • Совершенно трансцендентный теории таковы, что каждая формула имеет Ранг Морли меньше ∞. Абсолютно трансцендентальные теории устойчивы в λ всякий раз, когда λ ≥ |Т|, поэтому они всегда сверхстабильны. ω-стабильный альтернативное название для ℵ0-стабильный. Ω-стабильные теории счетного языка: κ-стабильна для всех бесконечных кардиналов κ. Если |Т| счетно, тогда Т полностью трансцендентна тогда и только тогда, когда она ω-стабильна. В более общем смысле, Т полностью трансцендентален тогда и только тогда, когда каждое ограничение Т к счетному языку ω-стабильна.

Примеры:

Смотрите также

Рекомендации

  • J.T. Болдуин, "Основы теории устойчивости", Springer (1988)
  • Болдуин, Дж. Т. (2001) [1994], «Теория устойчивости (в логике)», Энциклопедия математики, EMS Press
  • Бюхлер, Стивен (1996), Основная теория устойчивости, Перспективы математической логики, Берлин: Springer-Verlag, стр. Xiv + 355, Дои:10.1007/978-3-642-80177-8, ISBN 978-3-540-61011-3, МИСТЕР 1416106
  • Рами Гроссберг, Хосе Иовино, Оливье Лессманн, «Букварь простых теорий», Arch. Математика. Логика 41, 541–580 (2002) doi: 10.1007 / s001530100126
  • Ходжес, Уилфрид (1993), Теория моделей, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-30442-9
  • Д. Ласкар, "Устойчивость в теории моделей", Wiley (1987)
  • Маркер, Дэвид (2002), Теория моделей: введение, Тексты для выпускников по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98760-6
  • Морли, Майкл (1965), «Категоричность власти», Труды Американского математического общества, 114 (2): 514–538, Дои:10.2307/1994188, JSTOR 1994188
  • Мустафин Т. Г. Устойчивые теории, Караганда (1981).
  • Мустафин, Т. Г. (1980), "Ранговые функции в стабильных теориях", Сибирский математический журнал, 21 (6): 815–824, Дои:10.1007 / BF00968468, S2CID 120691664
  • Мустафин, Т. Г. (1985), "Классификация сверхстабильных теорий по функциям ранга", Алгебра и логика, 24 (1): 27–40, Дои:10.1007 / BF01978704, S2CID 123218263
  • Мустафин, Т. Г. (1990), "Новые концепции устойчивости теорий", Proc. Советско – французский сб. Теория моделей, Караганда: 112–125
  • Палютин Э.А. Тайцлин, М.А. (2001) [1994], «Стабильные и нестабильные теории», Энциклопедия математики, EMS Press
  • Ананд Пиллэй, "Введение в теорию устойчивости", Clarendon Press (1983)
  • Пойза, Бруно (2001), Стабильные группы, Математические обзоры и монографии, 87, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. Xiv + 129, Дои:10.1090 / Surv / 087, ISBN 978-0-8218-2685-0, МИСТЕР 1827833 (Перевод с французского оригинала 1987 г.)
  • Скэнлон, Томас (2002), "Обзор" стабильных групп"", Бык. Амер. Математика. Soc., 39 (4): 573–579, Дои:10.1090 / S0273-0979-02-00953-9
  • Села, Злиль (2006). «Диофантова геометрия над VIII группами: устойчивость». arXiv:математика / 0609096.
  • Шела, Сахарон (1969), «Стабильные теории», Israel J. Math., 7 (3): 187–202, Дои:10.1007 / BF02787611, МИСТЕР 0253889, S2CID 189780839
  • Шелах, Сахарон (1990) [1978], Теория классификации и ряд неизоморфных моделей, Исследования по логике и основам математики (2-е изд.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9

внешняя ссылка