WikiDer > Сильная топология (полярная топология)

В функциональный анализ и смежные области математика то сильная топология на непрерывное двойное пространство из топологическое векторное пространство (TVS) Икс это лучший полярная топология, то топология с большинством открытые наборы, на двойная пара. В самый грубый полярная топология называется слабая топология. Когда непрерывное двойное пространство ТВС Икс наделен этой топологией, то она называется сильное двойное пространство из Икс.

Определение

Позволять ${ displaystyle (X, Y, langle, rangle)}$ быть двойная пара векторных пространств над полем ${ Displaystyle { mathbb {F}}}$ настоящих (${ Displaystyle { mathbb {R}}}$) или сложный (${ Displaystyle { mathbb {C}}}$) числа. Обозначим через ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ система всех подмножеств ${ Displaystyle B substeq X}$ ограничен элементами Y в следующем смысле:

${ displaystyle forall y in Y qquad sup _ {x in B} | langle x, y rangle | < infty.}$

Тогда сильная топология ${ Displaystyle бета (Y, X)}$ на ${ displaystyle Y}$ определяется как локально выпуклая топология на Y порожденные полунормами вида

${ displaystyle || y || _ {B} = sup _ {x in B} | langle x, y rangle |, qquad y in Y, qquad B in { mathcal {B} }.}$

В частном случае, когда Икс это локально выпуклое пространство, то сильная топология на (непрерывном) двойное пространство ${ displaystyle X '}$ (т.е. на пространстве всех непрерывных линейных функционалов ${ displaystyle f: X to { mathbb {F}}}$) определяется как сильная топология ${ Displaystyle бета (X ', X)}$, и совпадает с топологией равномерной сходимости на ограниченные множества в Икс, т.е. с топологией на ${ displaystyle X '}$ порожденные полунормами вида

${ Displaystyle || е || _ {B} = sup _ {x in B} | f (x) |, qquad f in X ',}$

куда B проходит через семью всех ограниченные множества в Икс. Космос ${ displaystyle X '}$ с этой топологией называется сильное двойное пространство пространства Икс и обозначается ${ displaystyle X '_ { beta}}$.

Примеры

• Если Икс это нормированное векторное пространство, то его (непрерывная) двойное пространство ${ displaystyle X '}$ с сильной топологией совпадает с Двойное банахово пространство ${ displaystyle X '}$, т.е. с пробелом ${ displaystyle X '}$ с топологией, индуцированной норма оператора. Наоборот ${ Displaystyle бета (X, X ')}$-топология на Икс идентична топологии, индуцированной норма на Икс.

Характеристики

• Если Икс это ствольное пространство, то его топология совпадает с сильной топологией ${ Displaystyle бета (X, X ')}$ на ${ displaystyle X}$ и с Топология Макки на Икс генерируется спариванием ${ displaystyle (X, X ')}$.

Смотрите также

• Двойная топология
• Двойная система
• Рефлексивное пространство
• Полярная топология - Топология двойственного пространства с равномерной сходимостью на некотором поднаборе ограниченных подмножеств
• Полурефлексивное пространство
• Сильное двойное пространство - Непрерывное сопряженное пространство с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах.
• Топологии на пространствах линейных отображений

Рекомендации

• Шефер, Хельмут Х. (1966). Топологические векторные пространства. Нью-Йорк: Компания MacMillan. ISBN 0-387-98726-6.