WikiDer > Пупочная точка

Umbilical point
Линии кривизны на эллипсоиде с пупочными точками (красные).

в дифференциальная геометрия поверхностей в трех измерениях, пуповина или же пупочные точки - это точки на поверхности, которые являются локально сферическими. В такие моменты нормальная кривизна во всех направлениях равны, следовательно, оба основные кривизны равны, и каждый касательный вектор является главное направление. Название «пуповина» происходит от латинского пупок - пупок.

Точки пупка обычно встречаются как изолированные точки в эллиптической области поверхности; то есть где Гауссова кривизна положительный.

Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в математике:
Имеет ли каждая гладкая топологическая сфера в евклидовом пространстве хотя бы две омбилики?
(больше нерешенных задач по математике)

В сфера - единственная поверхность с ненулевой кривизной, каждая точка которой омбилическая. Плоская омбилика - это омбилика с нулевой гауссовой кривизной. В седло обезьяны является примером поверхности с плоским шлангом и на самолет каждая точка - плоская пуповина. А тор может не иметь омбиликов, но каждая замкнутая поверхность ненулевого Эйлерова характеристика, плавно встраиваемый в Евклидово пространство, имеет хотя бы один шлангокабель. Недоказанный догадка из Константин Каратеодори утверждает, что каждая гладкая топологическая сфера в евклидовом пространстве имеет по крайней мере две омбилики.[1]

Тремя основными типами омбилических точек являются эллиптическая омбилика, параболическая омбилика и гиперболическая омбилика. Эллиптические шланги имеют три гребень линии, проходящие через омбилическую и гиперболическую омбилики, имеют только одну. Параболические омбилики - это переходный случай с двумя выступами, один из которых особенный. Для переходных случаев возможны другие конфигурации. Эти случаи соответствуют D4, D5 и D4+ элементарные катастрофы Рене Тома теория катастроф.

Пуповину также можно охарактеризовать рисунком основного направления векторное поле вокруг пупка, которые обычно образуют одну из трех конфигураций: звезда, лимон и лимонная звезда (или монстар). В индекс векторного поля равно −½ (звезда) или ½ (лимон, монстар). Эллиптические и параболические пуповины всегда имеют звездный узор, в то время как гиперболические пуповины могут быть звездными, лимонными или монозвездными. Эта классификация была впервые связана с Дарбу И имена происходят от Ханнея.[2]

Для поверхностей с род 0 с изолированными шлангами, например эллипсоида, индекс главного поля вектора направления должен быть равен 2 на Теорема Пуанкаре – Хопфа. Поверхности общего рода 0 имеют по крайней мере четыре омбилики индекса ½. Эллипсоид вращения имеет две необщие омбилики, каждая из которых имеет индекс 1.[3]

Классификация пуповины

Кубические формы

Классификация пуповины тесно связана с классификацией настоящих кубические формы . Кубическая форма будет иметь несколько корневых линий такая, что кубическая форма равна нулю для всех действительных . Есть несколько возможностей, включая:

  • Три четкие линии: эллиптическая кубическая форма, стандартная модель .
  • Три линии, две из которых совпадают: параболическая кубическая форма, стандартная модель .
  • Единственная реальная линия: a гиперболическая кубическая форма, стандартная модель .
  • Три совпадающие линии, стандартная модель .[4]

Классы эквивалентности таких кубик при равномерном масштабировании образуют трехмерное реальное проективное пространство, а подмножество параболических форм определяют поверхность, называемую пуповина браслет к Кристофер Зееман.[4] Взятие классов эквивалентности при повороте системы координат удаляет еще один параметр, и кубические формы могут быть представлены комплексной кубической формой с одним комплексным параметром . Параболические формы возникают при , внутренняя дельтовидная, эллиптическая - внутри дельтовидной, а гиперболическая - снаружи. Если и не является кубическим корнем из единицы, тогда кубическая форма является прямоугольная кубическая форма которые играют особую роль для пуповины. Если тогда две корневые линии ортогональны.[5]

Вторая кубическая форма, Якобиан формируется путем принятия Определитель якобиана векторной функции , . С точностью до постоянного кратного это кубическая форма . Используя комплексные числа, якобиан является параболической кубической формой, когда , внешний дельтовид на классификационной диаграмме.[5]

Пупочная классификация

Пупочная классификация, -самолет. Внутренняя дельтовидная мышца образует параболическую пуповину, разделяет эллиптическую и гиперболическую пуповины. Бугорки на внутренней дельтовидной мышце: кубическая пуповина. Внешний круг, рождение пуповины, разделяет звездные и монзвездные конфигурации. Наружная дельтовидная, отделяющая конфигурацию монстара и лимона. Диагонали и горизонтальная линия - симметричные пуповины с зеркальной симметрией.

Любую поверхность с изолированной омбилической точкой в ​​начале координат можно представить как Форма Монжа параметризация , куда - единственная главная кривизна. Тип омбилики классифицируется по кубической форме от кубической части и соответствующей кубической форме Якоби. Хотя главные направления не определены однозначно в омбилике, пределы главных направлений при следовании по гребню на поверхности могут быть найдены, и они соответствуют корневым линиям кубической формы. Характер линий кривизны определяется якобианом.[5]

Классификация точек пупка следующая:[5]

  • Внутренняя часть дельтовидной мышцы - эллиптическая пуповина
    • На внутреннем круге - две касательные линии гребня.
  • На внутреннюю дельтовидную мышцу - параболическая пупка
  • Наружная внутренняя дельтовидная мышца - гиперболическая пупка
    • Внутри внешнего круга - звездный узор
    • На внешнем круге - рождение пуповины
    • Между внешним кругом и наружной дельтовидной мышцей - паттерн Монстар
    • Наружная наружная дельтовидная мышца - лимонный узор
  • Бугорки внутренней дельтовидной мышцы - кубическая (символическая) пуповина
  • По диагоналям и горизонтальной линии - симметричные омбилики с зеркальной симметрией.

В общем семействе поверхностей омбилики могут создаваться или уничтожаться парами: рождение пуповины переход. Обе пуповины будут гиперболическими, одна с рисунком звезды, а другая - с рисунком монстра. Внешний круг на диаграмме, прямоугольная кубическая форма, дает эти переходные случаи. Символическая пуповина - частный случай этого.[5]

Фокусная поверхность

Поверхность с эллиптической омбиликой и ее фокальная поверхность.
Поверхность с гиперболической омбиликой и ее фокальной поверхностью.

Эллиптическая омбилика и гиперболическая омбилика заметно отличаются друг от друга. фокальные поверхности. Гребень на поверхности соответствует куспидальные края таким образом, каждый лист эллиптической фокальной поверхности будет иметь три ребра возврата, которые сходятся в пупочном фокусе и затем переключаются на другой лист. У гиперболической пуповины есть единственная куспидальная кромка, которая переключается с одного листа на другой.[5]

Определение в высшей размерности в римановых многообразиях

Точка п в Риманово подмногообразие пуповина, если при п, (векторнозначные) Вторая фундаментальная форма - некоторый нормальный векторный тензор индуцированной метрики (Первая фундаментальная форма). Эквивалентно для всех векторов UV в п, II (UV) = граммп(UV), куда - вектор средней кривизны прип.

Подмногообразие называется омбилическим (или всеумбилическим), если это условие выполняется в каждой точке «p». Это равносильно тому, что подмногообразие можно сделать полностью геодезическим путем соответствующей конформной замены метрики окружающего («объемлющего») многообразия. Например, поверхность в евклидовом пространстве омбилическая тогда и только тогда, когда она является частью сферы.

Смотрите также

Рекомендации

  • Дарбу, Гастон (1887,1889,1896), Leçons sur la théorie génerale des поверхностей: Том I, Том II, Том III, Том IV, Готье-Виллар Проверить значения даты в: | год = (помощь); Внешняя ссылка в | название = (помощь)
  • Фотографии звезды, лимона, монстара и другие ссылки
  1. ^ Бергер, Марсель (2010), "Гипотеза Карадеодори", Геометрия раскрыта, Springer, Heidelberg, стр. 389–390, Дои:10.1007/978-3-540-70997-8, ISBN 978-3-540-70996-1, МИСТЕР 2724440.
  2. ^ Берри, М. В.; Хэнней, Дж. Х (1977). «Омбилические точки на гауссовских случайных поверхностях». J. Phys. А. 10: 1809–21.
  3. ^ Портеус, стр. 208
  4. ^ а б Постон, Тим; Стюарт, Ян (1978), Теория катастроф и ее приложения, Питман, ISBN 0-273-01029-8
  5. ^ а б c d е ж Портеус, Ян Р. (2001), Геометрическая дифференциация, Cambridge University Press, стр. 198–213, ISBN 0-521-00264-8