WikiDer > Вейвлет-преобразование

Wavelet transform
Пример 2D дискретное вейвлет-преобразование что используется в JPEG2000.

В математика, а серия вейвлетов является представлением квадратично интегрируемый (настоящий- или же сложный-значен) функция определенным ортонормированный серии созданный вейвлет. В этой статье дается формальное математическое определение ортонормированный вейвлет и из интегральное вейвлет-преобразование.[1][2][3][4]

Определение

Функция называется ортонормированный вейвлет если его можно использовать для определения Базис Гильберта, это полный ортонормированная система, для Гильбертово пространство из квадратично интегрируемый функции.

Базис Гильберта строится как семейство функций посредством диадический переводы и расширение из ,

для целых чисел .

Если по стандарту внутренний продукт на ,

это семейство ортонормировано, это ортонормированная система:

куда это Дельта Кронекера.

Полнота удовлетворяется, если каждая функция может быть расширен в основе как

со сходимостью ряда понимается сходимость по норме. Такое представление ж известен как серия вейвлетов. Это означает, что ортонормированный вейвлет самодвойственный.

В интегральное вейвлет-преобразование это интегральное преобразование определяется как

В вейвлет-коэффициенты тогда даются

Здесь, называется двоичное расширение или диадическое расширение, и это двоичный или диадическая позиция.

Принцип

Основная идея вейвлет-преобразований состоит в том, что преобразование должно допускать только изменения во времени, но не в форме. На это влияет выбор подходящих базовых функций, которые позволяют это сделать.[как?] Ожидается, что изменения в увеличении времени будут соответствовать соответствующей частоте анализа базовой функции. На основе принцип неопределенности обработки сигналов,

куда представляет время и угловая частота (, куда - временная частота).

Чем выше требуемое разрешение по времени, тем ниже должно быть разрешение по частоте. Чем больше объем анализа окна выбирается, тем больше значение [как?].

Базовая функция с коэффициентом сжатия.jpg

Когда большой,

  1. Плохое временное разрешение
  2. Хорошее частотное разрешение
  3. Низкая частота, большой коэффициент масштабирования

Когда маленький

  1. Хорошее временное разрешение
  2. Плохое частотное разрешение
  3. Высокая частота, небольшой коэффициент масштабирования

Другими словами, базисная функция можно рассматривать как импульсную характеристику системы, в которой функция был отфильтрован. Преобразованный сигнал предоставляет информацию о времени и частоте. Следовательно, вейвлет-преобразование содержит информацию, аналогичную кратковременное преобразование Фурье, но с дополнительными особыми свойствами вейвлетов, которые проявляются с разрешением по времени на более высоких частотах анализа базисной функции. Разница во временном разрешении на возрастающих частотах для преобразование Фурье и вейвлет-преобразование показано ниже. Однако обратите внимание, что разрешение по частоте уменьшается с увеличением частот, в то время как разрешение по времени увеличивается. Это следствие Принцип неопределенности Фурье некорректно отображается на рисунке.

STFT и WT.jpg

Это показывает, что вейвлет-преобразование имеет хорошее временное разрешение на высоких частотах, в то время как для медленно меняющихся функций разрешение по частоте замечательное.

Другой пример: анализ трех наложенных синусоидальных сигналов. с STFT и вейвлет-преобразованием.

Анализ трех наложенных синусоидальных сигналов.jpg

Вейвлет-сжатие

Вейвлет-сжатие это форма Сжатие данных хорошо подходит для сжатие изображений (иногда также сжатие видео и сжатие звука). Известные реализации: JPEG 2000, DjVu и ECW для неподвижных изображений, CineForm, и BBC Дирак. Цель состоит в том, чтобы хранить данные изображения на как можно меньшем пространстве в файл. Вейвлет-сжатие может быть без потерь или с потерями.[5] Вейвлет-кодирование - это вариант дискретное косинусное преобразование (DCT) кодирование, использующее вейвлеты вместо блочного алгоритма DCT.[6]

Используя вейвлет-преобразование, методы вейвлет-сжатия подходят для представления переходные процессы, например звуки перкуссии в аудио или высокочастотные компоненты в двухмерных изображениях, например изображение звезд на ночном небе. Это означает, что переходные элементы сигнала данных могут быть представлены меньшим объемом информации, чем было бы, если бы какое-либо другое преобразование, такое как более распространенное дискретное косинусное преобразование, был использован.

Дискретное вейвлет-преобразование успешно применяется для сжатия сигналов электрокардиографа (ЭКГ).[7] В этой работе высокая корреляция между соответствующими вейвлет-коэффициентами сигналов последовательных сердечных циклов используется с использованием линейного предсказания.

Вейвлет-сжатие не подходит для всех видов данных: характеристики переходного сигнала означают хорошее вейвлет-сжатие, в то время как гладкие периодические сигналы лучше сжимаются другими методами, особенно традиционным гармоническим сжатием (частотная область, например, преобразованием Фурье и т.п.).

Видеть Дневник разработчика x264: проблемы с вейвлетами (2010) для обсуждения практических вопросов современных методов использования вейвлетов для сжатия видео.

Метод

Сначала применяется вейвлет-преобразование. Это производит столько же коэффициенты как есть пиксели в изображении (то есть сжатия еще нет, так как это всего лишь преобразование). Эти коэффициенты затем можно легче сжать, потому что информация статистически сконцентрирована всего в нескольких коэффициентах. Этот принцип называется преобразование кодирования. После этого коэффициенты находятся квантованный и квантованные значения закодированная энтропией и / или длина серии закодирована.

Некоторые одномерные и двухмерные приложения вейвлет-сжатия используют технику, называемую «следы вейвлетов».[8][9]

Сравнение с преобразованием Фурье и частотно-временным анализом

ПреобразоватьПредставлениеВход
преобразование Фурье частота
Частотно-временной анализ время; частота
Вейвлет-преобразование масштабирование; коэффициент временного сдвига

Вейвлеты имеют некоторые небольшие преимущества перед преобразованиями Фурье в сокращении объема вычислений при исследовании конкретных частот. Однако они редко бывают более чувствительными, и действительно Вейвлет Морле математически идентичен кратковременное преобразование Фурье с использованием функции окна Гаусса.[10] Исключение составляет поиск сигналов известной несинусоидальной формы (например, сердцебиение); в этом случае использование согласованных вейвлетов может превзойти стандартный анализ STFT / Морле.[11]

Другие практические приложения

Вейвлет-преобразование может предоставить нам частоту сигналов и время, связанные с этими частотами, что делает его очень удобным для его применения во многих областях. Например, обработка сигналов ускорений для анализа походки,[12] для обнаружения неисправностей,[13] для разработки кардиостимуляторов малой мощности, а также для сверхширокополосной (UWB) беспроводной связи.[14][15][16]

  1. Дискретность ось

    Применена следующая дискретизация частоты и времени:

    Приводя к вейвлетам формы, дискретная формула для базисного вейвлета:

    Такие дискретные вейвлеты можно использовать для преобразования:

  2. Реализация через БПФ (быстрое преобразование Фурье)

    Как видно из представления вейвлет-преобразования (показано ниже)

    куда коэффициент масштабирования, представляет коэффициент временного сдвига

    и, как уже упоминалось в этом контексте, вейвлет-преобразование соответствует свертке функции и вейвлет-функция. Свертка может быть реализована как умножение в частотной области. При этом следующий подход к реализации приводит к:

    • Фурье-преобразование сигнала с БПФ
    • Выбор дискретного масштабного коэффициента
    • Масштабирование вейвлет-базисной функции по этому коэффициенту и последующее БПФ этой функции
    • Умножение на преобразованный сигнал YFFT первого шага
    • Обратное преобразование продукта во временную область приводит к для разных дискретных значений и дискретное значение
    • Вернемся ко второму шагу, пока все дискретные значения масштабирования для обрабатываются
    Существует множество различных типов вейвлет-преобразований для конкретных целей. См. Также полный список преобразований, связанных с вейвлетами но наиболее распространенные из них перечислены ниже: Мексиканская шляпа вейвлет, Вейвлет Хаара, Вейвлет Добеши, треугольный вейвлет.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Мейер, Ив (1992), Вейвлеты и операторы, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42000-8
  2. ^ Чуи, Чарльз К. (1992), Введение в вейвлеты, Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, ISBN 0-12-174584-8
  3. ^ Добеши, Ингрид. (1992), Десять лекций по вейвлетам, SIAM, ISBN 978-0-89871-274-2
  4. ^ Акансу, Али Н .; Хаддад, Ричард А. (1992), Разложение сигнала с несколькими разрешениями: преобразования, поддиапазоны и всплески, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6
  5. ^ JPEG 2000, например, может использовать вейвлет 5/3 для преобразования без потерь (обратимого) и вейвлет 9/7 для преобразования с потерями (необратимого).
  6. ^ Хоффман, Рой (2012). Сжатие данных в цифровых системах. Springer Science & Business Media. п. 124. ISBN 9781461560319. По сути, вейвлет-кодирование - это вариант кодирования с преобразованием на основе DCT, который уменьшает или устраняет некоторые из его ограничений. (...) Еще одно преимущество заключается в том, что вместо работы с блоками 8 × 8 пикселей, как это делают JPEG и другие методы DCT на основе блоков, вейвлет-кодирование может одновременно сжимать все изображение.
  7. ^ А. Г. Рамакришнан и С. Саха, «Кодирование ЭКГ с помощью линейного предсказания на основе вейвлетов», IEEE Trans. Биомед. Англ., Vol. 44, No. 12, pp. 1253-1261, 1977.
  8. ^ Н. Малмуруган, А. Шанмугам, С. Джаяраман и В. В. Динеш Чандер. «Новый и новый алгоритм сжатия изображений с использованием вейвлетных следов»
  9. ^ Хо Татт Вей и Джеоти, В. "Схема сжатия сигналов ЭКГ, основанная на вейвлет-следах". Хо Татт Вэй; Джеоти, В. (2004). «Схема сжатия сигналов ЭКГ на основе вейвлет-следа». 2004 IEEE Region 10 Conference TENCON 2004. А. п. 283. Дои:10.1109 / TENCON.2004.1414412. ISBN 0-7803-8560-8. S2CID 43806122.
  10. ^ Брунс, Андреас (2004). «Анализ сигналов на основе Фурье, Гильберта и вейвлетов: действительно ли это разные подходы?». Журнал методов неврологии. 137 (2): 321–332. Дои:10.1016 / j.jneumeth.2004.03.002. PMID 15262077. S2CID 21880274.
  11. ^ Кранц, Стивен Г. (1999). Панорама гармонического анализа. Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-031-1.
  12. ^ Мартин, Э. (2011). «Новый метод оценки длины шага с помощью акселерометров сети локализации тела». 2011 Тематическая конференция IEEE по биомедицинским беспроводным технологиям, сетям и сенсорным системам. С. 79–82. Дои:10.1109 / BIOWIRELESS.2011.5724356. ISBN 978-1-4244-8316-7. S2CID 37689047.
  13. ^ Лю, Цзе (2012). «Анализ вейвлет-спектра Шеннона на усеченных сигналах вибрации для обнаружения зарождающейся неисправности машины». Измерительная наука и техника. 23 (5): 1–11. Bibcode:2012MeScT..23e5604L. Дои:10.1088/0957-0233/23/5/055604.
  14. ^ Акансу, А. Н .; Serdijn, W. A .; Селезник, И. В. (2010). «Новые приложения вейвлетов: обзор» (PDF). Физическая коммуникация. 3: 1–18. Дои:10.1016 / j.phycom.2009.07.001.
  15. ^ Шейбани, Э .; Джавиди, Г. (декабрь 2009 г.). «Снижение размерности и удаление шума в наборах данных беспроводной сенсорной сети». 2009 Вторая международная конференция по компьютерной и электротехнике. 2: 674–677. Дои:10.1109 / ICCEE.2009.282. ISBN 978-1-4244-5365-8. S2CID 17066179.
  16. ^ Шейбани, Э. О .; Джавиди, Г. (май 2012 г.). «Банки фильтров с различными разрешениями для улучшенного отображения РСА». 2012 Международная конференция по системам и информатике (ICSAI2012): 2702–2706. Дои:10.1109 / ICSAI.2012.6223611. ISBN 978-1-4673-0199-2. S2CID 16302915.

внешняя ссылка