WikiDer > Schlage

unter einem Prügel versteht sich als Ergebnis der überlagern (verbinden) von zwei Vibrationen mit nur einem kleinen Unterschied in Frequenz. Es ist daher ein Sonderfall von case Interferenz. Beats treten in der Signalverarbeitung unter anderem auf, wenn die Frequenzen zweier Signale nahe beieinander liegen. Schlagen kann bei allen vorkommen Wellen für die das Superpositionsprinzip gilt, wie in Schallwellen und Elektromagnetische Wellen.

Mathematische Beschreibung

Ableitung von Schwebungsfrequenzformeln

Beispiel für schwebende zwei Signale.
Oben: die Signale mit Frequenzen f₁(blau) und f₂ (Magenta).
Unten: Die Schwebung, erzeugt durch Addition (Überlagerung) der oben gezeigten Signale. Die blaue Linie zeigt den Durchschnitt der beiden Frequenzen und die Magenta-Hüllkurve zeigt die halbe Differenzfrequenz der beiden Signale.

Sie

• ja_1,2 = die sinusförmigen Schwingungen 1 und 2;
• f_1,2 = die Frequenz der Sinusschwingungen 1 und 2;
• ein_1,2 = die Amplitude der einzelnen Schwingungen (gleich für 1 und 2);
• t = die Zeit;
• π = die Nummer pi (= 3,141592654...);
• ja_R = das resultierende zusammengesetzte Signal;
• ein_R = seine Amplitude;
• f_R = deren Häufigkeit;
• f_so = die Frequenz der Hüllkurve des zusammengesetzten Signals;
• f_Prügel = die Schwebungsfrequenz.

Wir betrachten zwei in die gleiche Richtung schwingende Harmonische mit einem kleinen Frequenzunterschied:

${displaystyle y_{1}(t)=A_{1}sin(2pi f_{1}t)}$

und

${displaystyle y_{2}(t)=A_{2}sin(2pi f_{2}t)}$

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass beide Schwingungen die gleiche Amplitude haben:

${Displaystil A_{1}=A_{2}=A}$

Die zusammengesetzte Schwingung wird dann:

${displaystyle y_{mathrm {R} }=Aleft(sin left(2pi f_{1}tight) sin left(2pi f_{2}tight)ight)}$.

Mit dem Simpsons Formeln lässt sich das zurückverfolgen auf:

${displaystyle y_{mathrm {R} }=2Asin !left(2pi {frac {f_{1} f_{2}}{2}}tight)cdot cos !left(2pi {frac {f_{1}-f_{2 }}{2}}fest)}$

Dies bedeutet, dass die Frequenz des resultierenden Schwebungssignals der Durchschnitt der Frequenzen der konstituierenden Signale ist (das Sinusglied in der Gleichung, siehe f_R unten) und dass das resultierende Amplitude variiert mit der Zeit (der Kosinusfaktor in der Formel, siehe f_so und f_Prügel danach).

Jetzt gilt:

${displaystyle f_{mathrm {R} }={frac {f_{1} f_{2}}{2}}}$

Also findet man f_so = f₁ – f₂; dies ist die Frequenz des Kosinusfaktors. Da es für die Hüllkurve - also für hörbare Amplitudenschwankungen - keinen Unterschied macht, ob der Kosinusfaktor positiv oder negativ ist, ist die hörbare Frequenz der Amplitudenschwankungen doppelt so hoch. Dieses sogenannte Schlagfrequenz ist definiert als:

${displaystyle f_{mathrm {beat} }=links|f_{1}-f_{2}ight|}$

und sein Wert ist deutlich geringer als f_R. Die anschließende Schlagphase t_Prügel = 1 / f_Prügel ist die Zeitdifferenz zwischen zwei Punkten mit der kleinsten Amplitude (Knoten) der Schwebungsfunktion ja_R.

unreiner Beat

Sind die Amplituden der beiden Schwingungen nicht gleich, spricht man von einem sogenannten unreiner Beat. Außerdem sieht der Kosinusfaktor etwas anders aus und es treten keine Stilleperioden auf (wenn die resultierende Amplitude des reinen Beats durch Null geht). Außerdem schwankt die Schwebungsdauer, dh die Schwebungsfrequenz (der Sinusfaktor in obiger Ableitung) ist nicht konstant.

Akustische Beats

In dem Akustik Schwebungen sind deutlich zu hören: Wenn zwei Töne zusammen erklingen, deren Frequenzen einfach nicht gleich sind, hört man einen Ton, dessen Frequenz der Durchschnitt der beiden überlagerten Töne ist. Dieser Ton ist moduliert, d. h. sein Volumen schwankt mit dem sogenannten Schlagfrequenz, die gleich der Differenz zwischen den Frequenzen der beiden Töne ist.

Wird der Frequenzunterschied größer, kann das Ohr den immer schnelleren Lautstärkeschwankungen und einem Ton mit a . nicht mehr folgen roh Timbre, das sich bei weiterer Erhöhung der Differenzfrequenz in zwei separate Töne aufspaltet. Überschreitet die Differenzfrequenz die Hörschwelle von ca. 20 Hz überschreitet, wird er wie Differenzton hörbar.

Dies wird durch Folgendes demonstriert  Klangbeispiel (Info/Erklärung): auf einen sinusförmig Ton mit einer konstanten Frequenz von 440 Hz ist ein zweiter überlagerter Sinuston, dessen Frequenz 440 Hz zu 490 Hz steigt an.

Wie das Schlagen von a Intervall (hier von einem Halbton) wahrgenommen wird, hängt sehr stark von der Höhe ab, wie an folgendem Beispiel zu sehen ist:

Beispiel:Es werden die (sinusförmigen) Töne von Dur bis Dreistrich gespielt Oktave, zuerst getrennt und dann zusammen. Die Frequenz des f ist in jeder Oktave um 6,6% höher als die des e.

in Hz

E 82,5

F 88

E F

e 165

f 176

e f

e' 330

f' 352

e'f'

e'' 660

f''704

e''f''

e''' 1320

f''' 1408

e''' f'''

nur

nur

zusammen

nur

nur

zusammen

nur

nur

zusammen

nur

nur

zusammen

nur

nur

zusammen

Hör mal zu (Info/Erklärung)

Klangbeispiele

Beats auf Überlagerung von zwei Tönen von 440 Hz und 440,5 Hz:

Mit reinen Sinusschwingungen	Mit 100% Wurzelnote, 50% zuerst Oberton und 25% zweiter Oberton
Hör mal zu (Info/Erklärung)	Hör mal zu (Info/Erklärung)

Zwei chromatische Halbtöne (Frequenzunterschied 4%) Konsonant:

Reine Sinustöne: Das Schweben ist deutlich zu hören. Kaum deutliche Töne hörbar  Hör mal zu (Info/Erklärung)

Als Orgelregister mit Obertönen (Grundton: 100%, Obertöne: 75%, 50%, 30%, 15%, 10% und 5%). Hier hört man beim gemeinsamen Erklingen deutlich zwei getrennte Töne (man kann sie nachsingen).  Hör mal zu (Info/Erklärung)

Beats in unreinen Intervallen

Wenn unrein intoniert Intervalle können die Schläge der Obertöne wie folgt berechnet werden:

Oktaven	${displaystyle f_{mathrm {beat} }=links|2cdot f_{1}-f_{2}ight|}$
Quinten:	${displaystyle f_{mathrm {beat} }=links|3cdot f_{1}-2cdot f_{2}ight|}$
große Terz:	${displaystyle f_{mathrm {beat} }=links|5cdot f_{1}-4cdot f_{2}ight|}$

In den Intervallen, die normalerweise außerhalb des kritischen Bereichs liegen, ist ein Schlag zu hören, wenn zwei deutlich vorhandene Obertöne oder ein Oberton und ein Grundton nahe beieinander liegen.

Wie in den folgenden Wellenbildern zu sehen ist, sind bei reinen Sinustönen kaum Schwebungen zu beobachten (die Amplituden ändern sich kaum), bei einem hohen Anteil an Obertönen dagegen deutlich hörbare Schwebungen.

Quinten auf den Mittelton gestimmt

Hören: zuerst reine Sinusschwingungen, dann mit Obertönen (Info/Erklärung)

Beats in Intervallen spielen die sauber, das mitteltönig, das wohltemperiert und der gleiches Temperament ein großer Teil. So ist beispielsweise bei einer reinen Terz kein Schlagen zu hören, bei gleichschwebendem Temperament ein beträchtliches Schlagen – als Reiben empfunden. Die Schläge der mitteltonigen Stimmung sind so schwach, dass sie nicht als Dissonanz empfunden werden.

Akustische Täuschung?

Die auditive Wahrnehmung von Beats beruht in der Regel nicht auf akustischer Täuschung, sondern auf realen physikalischen Vorgängen. Dies gilt nicht für die sog binaurale Beats, wobei jedem Ohr über Kopfhörer eine von zwei verschiedenen Frequenzen angeboten wird und die Wahrnehmung von Schlägen erst während der Signalverarbeitung im Gehirn erfolgt.

Anwendungen

Das Phänomen der Schläge wird in allen möglichen Bereichen angewendet. Hier sind einige Beispiele.

Technische Anwendungen

In einem einfachen AMRadioempfänger erzeugt ein sinusförmiges Signal, das auf die Trägerfrequenz des einzustellenden Senders eingestellt ist.^[1] Dem wird das empfangene Antennensignal überlagert, wodurch eine Schwebung zwischen den beiden Signalen entsteht. Dieses Differenzsignal ist genau das gewünschte Audiosignal, das dem Audioverstärker zugeführt werden kann.

Es Moiré-Effekt kann als eine Art räumliche Variante des Schlagens angesehen werden. Beats sind normalerweise Signale, die als Funktion der Zeit variieren. Beim Moiré-Effekt variieren die Signale in Abhängigkeit von der Platz. Dies machen sich verschiedene Messmethoden zunutze. Ein bekanntes Beispiel ist die Nonius.

Anwendungen in der Musik

Musiker verwenden oft Schläge, um Musikinstrumente – wie Saiteninstrumente, aber auch andere – nach Gehör zu stimmen. Instrumente können relativ zueinander oder relativ zu einer Stimmgabel oder einem Tongenerator gestimmt werden.

In der musikalischen Darbietung können Beats verwendet werden, um einen belebenden Klangeffekt zu erzeugen, wie den sogenannten Tremolo- oder Choreffekt, oder als besonderes Orgelregister in Pfeifenorgeln. Das Leslies-Sprecher benutzt es Doppler-Effekt um einen Beat zu erzeugen. Ein Tonhöhenvibrationston wird dem konstanten Ausgangston überlagert.

Auf der anderen Seite wird ein Beat unangenehm störend, wenn zwei Instrumente mit fast sinusförmigen Tönen (wie Flöten) nahe beieinander liegende Töne spielen – diese Töne werden als „scour“ bezeichnet. Wenn zwei unerfahrene Blockflötisten unisono zusammenspielen, kann sogar mit extremen Verunreinigungen ein extrem durchdringender, tiefer Differenzton hörbar werden.

Siehe auch

• Ondes-Martenot
• Interferenz
• binaurale Beats
• Moiré-Effekt

Externe Links

• (das) Simulationen von Interferenz-, Schwebungs- und Lissajous-Figuren für zwei stehende Wellen