WikiDer > Акустоупругий эффект

В акустоупругий эффект как скорости звука (обе продольный и срезать волновых скоростей) эластичный материал изменение, если подвергается начальному статическому стресс поле. Это нелинейный эффект учредительное отношение между механическое напряжение и конечная деформация в материал сплошной массы. В классическом линейная эластичность Теория малых деформаций большинства упругих материалов может быть описана линейной зависимостью между приложенным напряжением и результирующей деформацией. Эта связь широко известна как обобщенная Закон Гука. В линейной теории упругости используется второй порядок упругие постоянные (например. ${ displaystyle lambda}$ и ${ displaystyle mu}$) и обеспечивает постоянную продольную и поперечную скорости звука в упругом материале, на который не действует приложенное напряжение. Акустоупругий эффект, с другой стороны, включает расширение определяющего соотношения более высокого порядка (нелинейная теория упругости^[1]) между приложенным напряжением и результирующей деформацией, что дает продольную и поперечную скорости звука, зависящие от напряженного состояния материала. В пределе ненапряженного материала воспроизводятся скорости звука линейной теории упругости.

Акустоупругий эффект исследовал еще в 1925 г. Бриллюэн.^[2] Он обнаружил, что скорость распространения акустических волн будет уменьшаться пропорционально приложенному гидростатическому давлению. Однако следствием его теории было то, что звуковые волны перестали распространяться при достаточно большом давлении. Позднее было показано, что этот парадоксальный эффект вызван неверными предположениями о том, что на упругие параметры не влияет давление.^[3]

В 1937 году Мурнаган ^[4] представил математическую теорию, расширяющую линейную теорию упругости, чтобы также включать конечная деформация в эластичном изотропный материалы. В эту теорию входили три упругие постоянные третьего порядка ${ displaystyle l}$, ${ displaystyle m}$, и ${ displaystyle n}$. В 1953 году Хьюз и Келли ^[5] использовали теорию Мурнагана в своей экспериментальной работе, чтобы установить численные значения упругих постоянных более высокого порядка для нескольких упругих материалов, включая Полистирол, Армко железо и Pyrex, подвергнутые гидростатическое давление и одноосное сжатие.

Нелинейная теория упругости гиперупругих материалов

Акустоупругий эффект - это эффект конечной деформации нелинейно-упругих материалов. Современное исчерпывающее описание этого можно найти в.^[1] В этой книге рассматривается применение теории нелинейной упругости и анализ механических свойств твердых материалов, способных к большим упругим деформациям. Частный случай акустоупругой теории для сжимаемый изотропный сверхупругий материал, подобно поликристаллический стали,^[6] воспроизводится и показывается в этом тексте из теории нелинейной упругости, представленной Огденом.^[1]

Примечание что настройка в этом тексте, а также в ^[1] является изотермический, и никаких ссылок на термодинамика.

Материальная связь - гиперупругие материалы (отношение напряжения к деформации)

Гипеупругий материал - частный случай Эластичный материал Коши в котором напряжение в любой точке цель и определяется только текущим состоянием деформация относительно произвольной эталонной конфигурации (подробнее о деформации см. также страницы Деформация (механика) и Конечная деформация). Однако работа, совершаемая напряжениями, может зависеть от траектории деформации. Следовательно, эластичный материал Коши имеет неконсервативную структуру, и напряжение не может быть получено из скалярной упругий потенциал функция. Частный случай эластичных материалов Коши, когда работа, выполняемая напряжениями, не зависит от траектории деформации, называется эластичным или гиперупругим материалом Грина. Такие материалы консервативны, и напряжения в материале могут быть получены с помощью скалярного упругого потенциала, более известного как Функция плотности энергии деформации.

Материальная связь между напряжением и деформацией может быть выражена в различных формах в зависимости от выбранных форм напряжения и деформации. Выбор 1-й тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа ${ displaystyle { boldsymbol {P}}}$ (какой транспонировать из номинальный тензор напряжений ${ displaystyle { boldsymbol {P}} ^ {T} = { boldsymbol {N}}}$), определяющее уравнение для сжимаемого сверхупругого материала можно выразить через Лагранжева зеленая деформация (${ displaystyle { boldsymbol {E}}}$) в качестве:

${ displaystyle { boldsymbol {P}} = { boldsymbol {F}} cdot { frac { partial W} { partial { boldsymbol {E}}}} qquad { text {или}} qquad P_ {ij} = F_ {ik} ~ { frac { partial W} { partial E_ {kj}}}, qquad i, j = 1,2,3 ~,}$

куда ${ displaystyle { boldsymbol {F}}}$ это тензор градиента деформации, и где второе выражение использует Соглашение о суммировании Эйнштейна для индексной записи тензоры. ${ displaystyle W}$ это функция плотности энергии деформации для сверхупругий материал и были определены на единицу объема, а не на единицу массы, поскольку это позволяет избежать необходимости умножать правую часть на плотность вещества ${ displaystyle rho _ {0}}$ эталонной конфигурации.^[1]

Предполагая, что скалярная функция плотности энергии деформации ${ displaystyle W ({ boldsymbol {E}})}$ можно аппроксимировать Расширение ряда Тейлора в текущем напряжении ${ displaystyle { boldsymbol {E}}}$, это может быть выражено (в индексной записи) как:

${ displaystyle W приблизительно C_ {0} + C_ {ij} E_ {ij} + { frac {1} {2!}} C_ {ijkl} E_ {ij} E_ {kl} + { frac {1} {3!}} C_ {ijklmn} E_ {ij} E_ {kl} E_ {mn} + cdots}$

Наложение ограничений на то, что функция энергии деформации должна быть равна нулю и иметь минимум, когда материал находится в недеформированном состоянии (т.е. ${ Displaystyle W (E_ {ij} = 0) = 0}$) ясно, что в функции энергии деформации нет постоянного или линейного члена, и поэтому:

${ displaystyle W приблизительно { frac {1} {2!}} C_ {ijkl} E_ {ij} E_ {kl} + { frac {1} {3!}} C_ {ijklmn} E_ {ij} E_ {kl} E_ {mn} + cdots,}$

куда ${ displaystyle C_ {ijkl}}$ - тензор четвертого порядка второго порядка модули упругости, пока ${ displaystyle C_ {ijklmn}}$ - тензор шестого порядка модулей упругости третьего порядка. ${ displaystyle E_ {ij} = E_ {ji}}$ вместе со скалярной функцией плотности энергии деформации ${ displaystyle W}$ следует, что модули второго порядка ${ displaystyle C_ {ijkl}}$ имеют следующую симметрию:

${ displaystyle C_ {ijkl} = C_ {jikl} = C_ {ijlk},}$

которые уменьшают количество независимых упругих постоянных с 81 до 36. Кроме того, степенное разложение означает, что модули второго порядка также обладают большей симметрией

${ displaystyle C_ {ijkl} = C_ {klij},}$

что дополнительно сокращает количество независимых упругих постоянных до 21. Те ​​же аргументы могут быть использованы для модулей упругости третьего порядка ${ displaystyle C_ {ijklmn}}$. Эти симметрии также позволяют выразить модули упругости через Обозначение Фойгта (т.е. ${ displaystyle C_ {ijkl} = C_ {IJ}}$ и ${ displaystyle C_ {ijklmn} = C_ {IJK}}$).

Тензор градиента деформации может быть выражен в компонентной форме как

${ displaystyle F_ {ij} = { frac { partial u_ {i}} { partial X_ {j}}} + delta _ {ij},}$

куда ${ displaystyle u_ {i}}$ это смещение материальной точки ${ displaystyle P}$ от координаты ${ displaystyle X_ {i}}$ в эталонной конфигурации для координации ${ displaystyle x_ {i}}$ в деформированной конфигурации (см. фигура 2 на странице теории конечных деформаций). Включение степенного разложения функции энергии деформации в определяющее соотношение и замена лагранжевого тензора деформации ${ displaystyle E_ {kl}}$ с расширением, данным на тензор конечных деформаций выход страницы (обратите внимание, что нижний регистр ${ displaystyle u}$ были использованы в этом разделе по сравнению с верхним регистром на конечная деформация страница) конститутивное уравнение

${ displaystyle P_ {ij} = C_ {ijkl} { frac { partial u_ {k}} { partial X_ {l}}} + { frac {1} {2}} M_ {ijklmn} { frac { partial u_ {k}} { partial X_ {l}}} { frac { partial u_ {m}} { partial X_ {n}}} + { frac {1} {3}} M_ { ijklmnpq} { frac { partial u_ {k}} { partial X_ {l}}} { frac { partial u_ {m}} { partial X_ {n}}} { frac { partial u_ { p}} { partial X_ {q}}} + cdots,}$

куда

${ displaystyle M_ {ijklmn} = C_ {ijklmn} + C_ {ijln} delta _ {km} + C_ {jnkl} delta _ {im} + C_ {jlmn} delta _ {ik},}$

и члены более высокого порядка не учитывались^[7][8](видеть ^[9] для подробных выводов). Для справки M, пренебрегая членами более высокого порядка в ${ displaystyle partial u_ {k} / partial X_ {l}}$ это выражение сводится к${ displaystyle P_ {ij} = C_ {ijkl} { frac { partial u_ {k}} { partial X_ {l}}},}$который является версией обобщенного закона Гука, где ${ displaystyle P_ {ij}}$ мера стресса в то время как ${ displaystyle partial u_ {k} / partial X_ {l}}$ мера напряжения, и ${ displaystyle C_ {ijkl}}$ есть линейная связь между ними.

Скорость звука

Предполагая, что небольшая динамическая (акустическая) деформация нарушает уже статически напряженный материал, акустоупругий эффект можно рассматривать как воздействие на небольшую деформацию, наложенную на большую. конечная деформация (также называемая теорией малого на большом).^[8] Определим три состояния данной материальной точки. В эталонном (ненапряженном) состоянии точка определяется вектором координат ${ displaystyle { boldsymbol {X}}}$ в то время как эта же точка имеет вектор координат ${ displaystyle { boldsymbol {x}}}$ в статическом исходно напряженном состоянии (т.е. под действием приложенного предварительного напряжения). Наконец, предположим, что материальная точка при небольшом динамическом возмущении (поле акустических напряжений) имеет вектор координат ${ displaystyle { boldsymbol {x '}}}$. Полное смещение материальных точек (под действием как статического предварительного напряжения, так и динамического акустического возмущения) может быть описано векторами смещения

${ displaystyle { boldsymbol {u}} = { boldsymbol {u}} ^ {(0)} + { boldsymbol {u}} ^ {(1)} = { boldsymbol {x '}} - { жирный символ {X}},}$

куда

${ displaystyle { boldsymbol {u}} ^ {(0)} = { boldsymbol {x}} - { boldsymbol {X}}, qquad { boldsymbol {u}} ^ {(1)} = { boldsymbol {x '}} - { boldsymbol {x}}}$

описывает статическое (лагранжевое) начальное смещение из-за приложенного предварительного напряжения и (эйлерово) смещение из-за акустического возмущения соответственно. Первый закон движения Коши (или баланс количества движения) для дополнительного эйлерова возмущения ${ displaystyle { boldsymbol {u}} ^ {(1)}}$ затем можно вывести в терминах промежуточной лагранжевой деформации ${ displaystyle { boldsymbol {u}} ^ {(0)}}$ предполагая, что допущение малого на большом

${ displaystyle | { boldsymbol {u}} ^ {(1)} | << | { boldsymbol {u}} ^ {(0)} ||}$

Используя лагранжеву форму Первый закон движения Коши, где пренебрегается влиянием постоянной объемной силы (т. е. силы тяжести), дает

${ displaystyle operatorname {Div} { boldsymbol {P}} = rho _ {0} { ddot {{ boldsymbol {x}} '}}.}$

Примечание что нижний индекс / верхний индекс «0» используется в этом тексте для обозначения ненадежного эталонного состояния, а переменная, отмеченная точками, как обычно время (${ displaystyle t}$) производная переменной и ${ displaystyle operatorname {Div}}$ это расхождение оператор относительно лагранжевой системы координат ${ displaystyle { boldsymbol {X}}}$.

В Правая сторона (зависящая от времени часть) закона движения может быть выражена как

${ displaystyle { begin {align} rho _ {0} { ddot {{ boldsymbol {x}} '}} & = rho _ {0} { frac { partial ^ {2}} { частичный t ^ {2}}} ({ boldsymbol {u}} ^ {(0)} + { boldsymbol {u}} ^ {(1)} + { boldsymbol {X}}) & = rho _ {0} { frac { partial ^ {2} { boldsymbol {u}} ^ {(1)}} { partial t ^ {2}}} end {выровнено}}}$

в предположении, что как ненапряженное состояние, так и начальное состояние деформации статичны и, следовательно ${ displaystyle partial ^ {2} / partial t ^ {2} ({ boldsymbol {u}} ^ {(0)}) = partial ^ {2} / partial t ^ {2} ({ полужирный символ {X}}) = 0}$.

Для левая сторона (пространственно-зависимая часть) пространственная Лагранжиан частные производные по ${ displaystyle X_ {j}}$ может быть расширен в Эйлеров ${ displaystyle x_ {j}}$ используя Правило цепи и изменяя переменные через связь между векторами смещения как ^[8]

${ displaystyle { frac { partial} { partial X_ {j}}} = { frac { partial} { partial x_ {j}}} + u_ {k, j} ^ {(0)} { frac { partial} { partial x_ {k}}} + cdots}$

где краткая форма ${ Displaystyle и_ {к, j} ^ {(0)} Equiv partial u_ {k} ^ {(0)} / partial x_ {j}}$ был использован. Таким образом

${ displaystyle { frac { partial P_ {ij}} { partial X_ {j}}} приблизительно { frac { partial P_ {ij}} { partial x_ {j}}} + u_ {pj} ^ {(0)} { frac { partial P_ {ij}} { partial x_ {p}}}}$

Предполагая далее, что статическая начальная деформация ${ displaystyle { boldsymbol {u}} ^ {(0)}}$ (предварительно напряженное состояние) находится в равновесие Значит это ${ displaystyle operatorname {(} Div) { boldsymbol {P}} ^ {(0)} = { boldsymbol {0}}}$, и закон движения может в сочетании с определяющим уравнением, приведенным выше, быть сведен к линейной зависимости (т.е.когда члены более высокого порядка в ${ Displaystyle и_ {м, п} ^ {(0)}}$) между статической начальной деформацией ${ displaystyle { boldsymbol {u}} ^ {(0)}}$ и дополнительное динамическое возмущение ${ displaystyle { boldsymbol {u}} ^ {(1)} ({ boldsymbol {x}}, t)}$ в качестве^[7] (видеть ^[9] для подробных выводов)

${ Displaystyle B_ {ijkl} { frac { partial ^ {2} u_ {k} ^ {(1)}} { partial x_ {j} partial x_ {l}}} = rho _ {0} { frac { partial ^ {2} u_ {i} ^ {(1)}} { partial t ^ {2}}},}$

куда

${ displaystyle B_ {ijkl} = C_ {ijkl} + delta _ {ik} C_ {jlqr} u_ {q, r} ^ {(0)} + C_ {rjkl} u_ {i, r} ^ {(0 )} + C_ {irkl} u_ {j, r} ^ {(0)} + C_ {ijrl} u_ {k, r} ^ {(0)} + C_ {ijkr} u_ {l, r} ^ {( 0)} + C_ {ijklmn} u_ {m, n} ^ {(0)}.}$

Это выражение признано линейное волновое уравнение. Учитывая плоская волна формы

${ displaystyle { boldsymbol {u}} ^ {(1)} ({ boldsymbol {x}}, t) = { boldsymbol {m}} , f ({ boldsymbol {N}} cdot { boldsymbol {x}} - ct),}$

куда ${ displaystyle { boldsymbol {N}}}$ является лагранжевым единичным вектором в направлении распространения (т. е. параллельно волновому числу ${ displaystyle { boldsymbol {k}} = k { boldsymbol {N}}}$нормально к фронту волны), ${ displaystyle { boldsymbol {m}}}$ - единичный вектор, называемый вектором поляризации (описывающий направление движения частицы), ${ displaystyle c}$ - фазовая скорость волны, а ${ displaystyle f}$ это дважды непрерывно дифференцируемая функция (например, синусоидальный функция). Вставка этой плоской волны в полученное выше линейное волновое уравнение дает^[10]

${ displaystyle { boldsymbol {Q}} ({ boldsymbol {N}}) { boldsymbol {m}} = rho _ {0} c ^ {2} { boldsymbol {m}}}$

куда ${ displaystyle { boldsymbol {Q}} ({ boldsymbol {N}})}$ вводится как акустический тензор и зависит от ${ displaystyle { boldsymbol {N}}}$ в качестве^[10]

${ displaystyle [{ boldsymbol {Q}} ({ boldsymbol {N}})] _ {ik} = B_ {ijkl} N_ {j} N_ {l}.}$

Это выражение называется условие распространения и определяет для данного направления распространения ${ displaystyle { boldsymbol {n}}}$ скорость и поляризация возможных волн, соответствующих плоским волнам. Скорости волн можно определить по характеристическое уравнение^[10]

${ displaystyle operatorname {det} ({ boldsymbol {Q}} ({ boldsymbol {N}}) - rho _ {0} c ^ {2} { boldsymbol {I}}) = 0,}$

куда ${ displaystyle operatorname {det}}$ это детерминант и ${ displaystyle { boldsymbol {I}}}$ это единичная матрица.

Для сверхупругого материала ${ displaystyle { boldsymbol {Q}} ({ boldsymbol {N}})}$ симметрично (но не в общем случае), а собственные значения (${ displaystyle rho _ {0} с ^ {2}}$), таким образом, реальны. Чтобы скорости волн также были действительными, собственные значения должны быть положительными.^[1] В этом случае для данного направления распространения существуют три взаимно ортогональные реальные плоские волны. ${ displaystyle { boldsymbol {N}}}$. Из двух выражений акустического тензора видно, что^[10]

${ displaystyle rho _ {0} c ^ {2} = { boldsymbol {Q}} ({ boldsymbol {N}}) { boldsymbol {m}} cdot { boldsymbol {m}} = B_ { ijkl} N_ {j} N_ {l} m_ {i} m_ {k},}$

и неравенство ${ displaystyle B_ {ijkl} N_ {j} N_ {l} m_ {i} m_ {k}> 0}$ (также называемое условием сильной эллиптичности) для всех ненулевых векторов ${ displaystyle { boldsymbol {N}}}$ и ${ displaystyle { boldsymbol {m}}}$ гарантировать, что скорость однородных плоских волн действительна. Поляризация ${ displaystyle { boldsymbol {m}} = { boldsymbol {N}}}$ соответствует продольная волна где движение частицы параллельно направлению распространения (также называемое волной сжатия). Две поляризации, где ${ displaystyle { boldsymbol {m}} cdot { boldsymbol {N}} = 0}$ соответствует поперечные волны где движение частицы ортогонально направлению распространения (также называемое поперечными волнами).^[10]

Изотропные материалы

Модули упругости для изотропных материалов

Для изотропного тензора второго порядка (т. Е. Тензора, имеющего одинаковые компоненты в любой системе координат), такого как тензор лагранжевой деформации ${ displaystyle { boldsymbol {E}}}$ иметь инварианты ${ displaystyle operatorname {tr} { boldsymbol {E}} ^ {q}}$ куда ${ displaystyle operatorname {tr}}$ это след оператор и ${ Displaystyle д в влево {1,2,3, точки вправо }}$. Таким образом, функция энергии деформации изотропного материала может быть выражена следующим образом: ${ displaystyle W ({ boldsymbol {E}}) = W ( operatorname {tr} { boldsymbol {E}} ^ {q}), , k in left {1,2,3, ldots right }}$, или их суперпозицию, которую можно переписать как^[8]

${ displaystyle W = { frac { lambda} {2}} ( operatorname {tr} { boldsymbol {E}}) ^ {2} + mu operatorname {tr} { boldsymbol {E}} ^ {2} + { frac {C} {3}} ( operatorname {tr} { boldsymbol {E}}) ^ {3} + B ( operatorname {tr} { boldsymbol {E}}) operatorname {tr} { boldsymbol {E}} ^ {2} + { frac {A} {3}} operatorname {tr} { boldsymbol {E}} ^ {3} + cdots,}$

куда ${ displaystyle lambda, mu, A, B, C}$ являются константами. Константы ${ displaystyle lambda}$ и ${ displaystyle mu}$ являются модули упругости второго порядка более известный как Параметры Ламе, пока ${ displaystyle A, B,}$ и ${ displaystyle C}$ - модули упругости третьего порядка, введенные формулой^[11] которые являются альтернативными, но эквивалентными ${ displaystyle l, m,}$ и ${ displaystyle n}$ представленный Мурнаганом.^[4]Комбинируя это с общим выражением для функции энергии деформации, становится ясно, что^[8]

${ displaystyle { begin {align} C_ {ijkl} & = lambda delta _ {ij} delta _ {kl} +2 mu delta I_ {ijkl}, C_ {ijklmn} & = 2C delta _ {ij} delta _ {kl} delta _ {mn} + 2B ( delta _ {ij} I_ {klmn} + delta _ {kl} I_ {mnij} + delta _ {mn} I_ { ijkl}) + { frac {1} {2}} A ( delta _ {ik} I_ {jlmn} + delta _ {il} I_ {jkmn} + delta _ {jk} I_ {ilmn} + дельта _ {jl} I_ {ikmn}), end {align}} ! ,}$

куда ${ displaystyle I_ {ijkl} = { frac {1} {2}} ( delta _ {ik} delta _ {jl} + delta _ {il} delta _ {jk})}$. Использовался исторически другой выбор этих упругих постоянных третьего порядка, и некоторые из вариантов показаны в таблице 1.

Таблица 1: Связь между упругими постоянными третьего порядка для изотропных твердых тел ^[7]

Ландау и Лифшиц (1986)[11]	Тупин и Бернштейн (1961)[12]	Мурнаган (1951)[4]	Блэнд (1969)[13]	Эринген и Сухуби (1974)[14]	Стандарт ${ displaystyle C_ {IJK}}$
${ displaystyle A}$	${ displaystyle nu _ {1} = 2C}$	${ displaystyle l = B + C}$	${ displaystyle alpha = { frac {1} {3}} C}$	${ displaystyle l_ {E} = { frac {1} {3}} A + B + { frac {1} {3}} C}$	${ displaystyle C_ {123} = 2C}$	${ displaystyle C_ {111} = 2A + 6B + 2C}$
${ displaystyle B}$	${ displaystyle nu _ {2} = B}$	${ displaystyle m = { frac {1} {2}} A + B}$	${ displaystyle beta = B}$	${ displaystyle m_ {E} = - A-2B}$	${ displaystyle C_ {144} = B}$	${ displaystyle C_ {112} = 2B + 2C}$
${ displaystyle C}$	${ displaystyle nu _ {3} = { frac {1} {4}} A}$	${ displaystyle n = A}$	${ displaystyle gamma = { frac {1} {3}} A}$	${ displaystyle n_ {E} = A}$	${ displaystyle C_ {456} = { frac {1} {4}} A}$	${ displaystyle C_ {166} = { frac {1} {2}} A + B}$

Примеры значений для стали

В таблицах 2 и 3 представлены упругие постоянные второго и третьего порядка для некоторых типов сталей, представленных в литературе.

Таблица 2: Константы Ламе, Тупена и Бернштейна в ГПа

	Константы Ламе		Константы Тупена и Бернштейна
Материал	${ displaystyle lambda}$	${ displaystyle mu}$	${ displaystyle nu _ {1}}$	${ displaystyle nu _ {2}}$	${ displaystyle nu _ {3}}$
Hecla 37 (0,4% С)[15]	${ displaystyle 111 pm 1}$	${ displaystyle 82.1 pm 0.5}$	${ displaystyle -385 pm 70}$	${ displaystyle -282 pm 30}$	${ displaystyle -177 pm 8}$
Hecla 37 (0,6% С)[15]	${ displaystyle 110,5 pm 1}$	${ displaystyle 82.0 pm 0.5}$	${ displaystyle -134 pm 20}$	${ displaystyle -261 pm 20}$	${ displaystyle -167 pm 6}$
Hecla 138A[15]	${ displaystyle 109 pm 1}$	${ displaystyle 81.9 pm 0.5}$	${ displaystyle -323 pm 50}$	${ displaystyle -265 pm 30}$	${ displaystyle -177 pm 10}$
Rex 535 Ni сталь[15]	${ displaystyle 109 pm 1}$	${ displaystyle 81,8 pm 0,5}$	${ displaystyle -175 pm 50}$	${ displaystyle -240 pm 50}$	${ displaystyle -169 pm 15}$
Hecla ATV аустенитный[15]	${ displaystyle 87 pm 2}$	${ displaystyle 71.6 pm 3}$	${ displaystyle 34 pm 20}$	${ displaystyle -552 pm 80}$	${ displaystyle -100 pm 10}$

Таблица 3: Константы Ламе и Мурнагана в ГПа

	Константы Ламе		Константы Мурнагана
Материал	${ displaystyle lambda}$	${ displaystyle mu}$	${ displaystyle l}$	${ displaystyle m}$	${ displaystyle n}$
Никель-сталь S / NVT[16]	${ displaystyle 109.0 pm 1}$	${ displaystyle 81,7 pm 0,2}$	${ displaystyle -56 pm 20}$	${ displaystyle -671 pm 6}$	${ displaystyle -785 pm 7}$
Рельсовая сталь образец 1 [17]	${ displaystyle 115,8 pm 2,3 \%}$	${ displaystyle 79.9 pm 2.3 \%}$	${ displaystyle -248 pm 2,8 \%}$	${ displaystyle -623 pm 4.1 \%}$	${ displaystyle -714 pm 2.7 \%}$
Рельсовая сталь образец 4[17]	${ displaystyle 110.7 pm 2.3 \%}$	${ displaystyle 82.4 pm 2.3 \%}$	${ displaystyle -302 pm 2,8 \%}$	${ displaystyle -616 pm 4.1 \%}$	${ displaystyle -724 pm 2.7 \%}$

Акустоупругость при одноосном растяжении изотропных гиперупругих материалов

А кубовидный образец сжимаемый твердое тело в ненапряженной базовой конфигурации можно выразить декартовыми координатами ${ Displaystyle X_ {я} в [0, L_ {я}], , я = 1,2,3}$, где геометрия выровнена с лагранжевой системой координат, и ${ displaystyle L_ {i}}$ - длина сторон кубоида в исходной конфигурации. Подвергая кубоиду одноосное растяжение в ${ displaystyle x_ {1}}$-направление так, что оно деформируется с чистой однородной деформацией, так что координаты материальных точек в деформированной конфигурации могут быть выражены как ${ displaystyle x_ {1} = lambda _ {1} X_ {1}, x_ {2} = lambda _ {2} X_ {2}, x_ {3} = lambda _ {3} X_ {3} }$, что дает удлинение

${ displaystyle e_ {i} Equiv l_ {i} / L_ {i} -1 = lambda _ {i} -1}$

в ${ displaystyle x_ {i}}$-направление. Здесь ${ displaystyle l_ {i}}$ обозначает текущую (деформированную) длину стороны кубоида ${ displaystyle i}$ и где отношение длин сторон в текущей и эталонной конфигурации обозначено как

${ Displaystyle лямбда _ {я} экв л_ {я} / L_ {я}}$

называется главными участками. Для изотропного материала это соответствует деформации без вращения (см. полярное разложение тензора градиента деформации куда ${ displaystyle { boldsymbol {F}} = { boldsymbol {RU}} = { boldsymbol {VR}}}$ и вращение ${ displaystyle { boldsymbol {R}} = { boldsymbol {I}}}$). Это можно описать через спектральное представление по основным участкам ${ displaystyle lambda _ {я}}$ как собственные значения или, что то же самое, удлинениями ${ displaystyle e_ {i}}$.

Для одноосного растяжения в ${ displaystyle x_ {1}}$-направление (${ displaystyle P_ {11}> 0}$ мы предполагаем, что ${ displaystyle e_ {1}}$ увеличиться на некоторую сумму. Если боковые грани без тяги (т.е. ${ displaystyle P_ {22} = P_ {33} = 0}$) боковые удлинения ${ displaystyle e_ {2}}$ и ${ displaystyle e_ {3}}$ ограничены диапазоном ${ displaystyle e_ {2}, e_ {3} in (-1,0]}$. Для изотропной симметрии боковые удлинения (или сжатия) также должны быть одинаковыми (т. Е. ${ displaystyle e_ {2} = e_ {3}}$). Диапазон соответствует диапазону от полного бокового сокращения (${ displaystyle e_ {2} = e_ {3} = - 1}$, что не является физическим), и без изменения боковых размеров (${ displaystyle e_ {2} = e_ {3} = 0}$). Следует отметить, что теоретически диапазон может быть расширен до значений больше 0, соответствующих увеличению поперечных размеров в результате увеличения осевого размера. Однако очень мало материалов (называемых ауксетический материалы) демонстрируют это свойство.

Расширение скоростей звука

Плоская продольная (давление) пульсовая волна

Сдвиговая (поперечная) плоская волна

Если условие сильной эллиптичности (${ displaystyle B_ {ijkl} N_ {j} N_ {l} m_ {i} m_ {k}> 0}$) выполняется три ортогонально поляризационных направления (${ displaystyle { boldsymbol {m}}}$ даст ненулевую и реальную скорость звука для данного направления распространения ${ displaystyle { boldsymbol {N}}}$. Далее будут выведены скорости звука для одного выбора приложенного одноосного натяжения, направления распространения и ортонормированного набора векторов поляризации. Для одноосного растяжения, применяемого в ${ displaystyle x_ {1}}$-направление и определение скоростей звука для волн, распространяющихся ортогонально приложенному натяжению (например, в ${ displaystyle x_ {3}}$-направление с вектором распространения ${ Displaystyle { boldsymbol {N}} = [0,0,1]}$), один из вариантов ортонормированных поляризаций может быть

${ displaystyle {{ boldsymbol {m}} } = { begin {case} mathbf {m} _ {1} = mathbf { hat {x}} _ {1} = [1,0, 0] & | , { textrm {to}} , { textrm {application}} , { textrm {stretch}} mathbf {m} _ {2} = mathbf { hat { x}} _ {2} = [0,1,0] & perp { textrm {to}} , { textrm {application}} , { textrm {stretch}} mathbf {m} _ {3} = mathbf { hat {x}} _ {3} = [0,0,1] & | , { textrm {to}} , mathbf {N} end {case} }}$

что дает три скорости звука

${ displaystyle rho _ {0} c_ {33} ^ {2} = B_ {3333}, qquad rho _ {0} c_ {31} ^ {2} = B_ {1313}, qquad rho _ {0} c_ {32} ^ {2} = B_ {2323},}$

где первый индекс ${ displaystyle i}$ скоростей звука ${ displaystyle c_ {ij}}$ указывают направление распространения (здесь ${ displaystyle x_ {3}}$-направление, а второй индекс ${ displaystyle j}$ указать выбранное направление поляризации (${ displaystyle j = i}$ соответствует движению частицы в направлении распространения ${ displaystyle i}$ - т.е. продольная волна, и ${ displaystyle j neq i}$ соответствует движению частицы перпендикулярно направлению распространения (т.е. поперечной волне).

Раскладывая соответствующие коэффициенты акустического тензора и подставляя модули упругости второго и третьего порядка ${ displaystyle C_ {ijkl}}$ и ${ displaystyle C_ {ijklmn}}$ с их изотропными эквивалентами, ${ displaystyle lambda, mu}$ и ${ displaystyle A, B, C}$ соответственно, приводит к скоростям звука, выражаемым как

${ displaystyle rho _ {0} c_ {33} ^ {2} = lambda +2 mu + a_ {33} e_ {1}, qquad rho _ {0} c_ {3k} ^ {2} = mu + a_ {3k} e_ {1}, quad k = 1,2}$

куда

${ displaystyle a_ {33} = - { frac {2 lambda ( lambda +2 mu) + lambda A + 2 ( lambda - mu) B-2 mu C} { lambda + mu }}}$

${ displaystyle a_ {31} = { frac {( lambda +2 mu) (4 mu + A) +4 mu B} {4 ( lambda + mu)}}}$

${ displaystyle a_ {32} = - { frac { lambda (4 mu + A) -2 mu B} {2 ( lambda + mu)}}}$

- коэффициенты акустоупругости, связанные с эффектами упругих постоянных третьего порядка.^[18]

Методы измерения

Акустическая установка с преобразователями передатчика и приемника.

Акустическая установка на основе эхо-импульса

Чтобы иметь возможность измерить скорость звука и, в частности, изменение скорости звука в материале, находящемся в некотором напряженном состоянии, можно измерить скорость акустического сигнала, распространяющегося через рассматриваемый материал. Для этого существует несколько методов, но все они используют одно из двух физических соотношений скорости звука. Первое соотношение связано со временем, за которое сигнал распространяется от одной точки до другой (обычно расстояние между двумя точками). акустические преобразователи или в два раза больше расстояния от одного преобразователя до отражающей поверхности). Это часто называют "Время полета" (TOF) измерения и используйте соотношение

${ displaystyle c = { frac {d} {t}}}$

куда ${ displaystyle d}$ - расстояние, на которое проходит сигнал, и ${ displaystyle t}$ это время нужно преодолеть это расстояние. Второе соотношение связано с обратной величиной времени, т.е. частота, сигнала. Отношение здесь

${ displaystyle c = f lambda}$

куда ${ displaystyle f}$ - частота сигнала и ${ displaystyle lambda}$ это длина волны. Измерения с использованием частоты в качестве измеряемой величины используют явление акустический резонанс куда ${ displaystyle n}$ количество длин волн соответствует длине, на которой сигнал резонирует. Оба эти метода зависят от расстояния, на котором они измеряются, либо напрямую, как во время пролета, либо косвенно через соответствие числа длин волн на физическом расстоянии образца, которые резонируют.

Пример методик ультразвукового контроля

В общем, есть два способа настроить систему преобразователя для измерения скорости звука в твердом теле. Один из них - это установка с двумя или более преобразователями, в которой один действует как передатчик, а другой (и) действует как приемник. Затем измерение скорости звука может быть выполнено путем измерения времени между генерацией сигнала в передатчике и его записью в приемнике, предполагая, что известно (или измерено) расстояние, которое акустический сигнал прошел между преобразователями, или, наоборот, Измерьте резонансную частоту, зная толщину, на которой волна резонирует. Другой тип установки часто называют эхо-импульс система. Здесь один преобразователь размещается рядом с образцом, действуя как передатчик и приемник. Для этого требуется отражающий интерфейс, где сгенерированный сигнал может быть отражен обратно к датчику, который затем действует как приемник, записывающий отраженный сигнал. Видеть ультразвуковой контроль для некоторых систем измерения.

Продольные и поляризованные поперечные волны

Диаграмма, показывающая преобразование мод, которое происходит, когда продольная волна падает на границу раздела при ненормальном падении

Как объяснялось выше, набор из трех ортонормированных поляризаций (${ displaystyle { boldsymbol {m}}}$) движения частицы существуют для данного направления распространения ${ displaystyle { boldsymbol {N}}}$ в твердом состоянии. Для измерительных установок, в которых преобразователи могут быть прикреплены непосредственно к исследуемому образцу, можно создать эти три поляризации (одну продольную и две ортогональные поперечные волны) путем применения различных типов преобразователей, возбуждающих желаемую поляризацию (например, пьезоэлектрический преобразователи с необходимыми режим колебаний). Таким образом, можно измерить скорость звука волн со всеми тремя поляризациями с помощью временных или частотно-зависимых измерительных установок, в зависимости от выбора типа преобразователя. Однако, если преобразователь не может быть прикреплен к испытуемому образцу, необходима связующая среда для передачи акустической энергии от преобразователя к образцу. В качестве связывающей среды часто используются вода или гели. Однако для измерения продольной скорости звука этого достаточно. жидкости не переносят поперечные волны, и, таким образом, чтобы иметь возможность генерировать и измерять скорость поперечных волн в испытуемом образце, падающая продольная волна должна взаимодействовать под косым углом на поверхности жидкости / твердого тела, чтобы генерировать поперечные волны через преобразование режима. Такие поперечные волны затем преобразуются обратно в продольные волны на твердой / жидкой поверхности, распространяющиеся обратно через жидкость к регистрирующему преобразователю, что позволяет измерять скорости поперечных волн также через соединительную среду.

Приложения

Инженерный материал - оценка напряжений

Поскольку отрасль стремится снизить затраты на техническое обслуживание и ремонт, неразрушающий контроль сооружений становится все более ценным как для управления производством, так и как средство измерения использования и состояния ключевой инфраструктуры. Есть несколько методов измерения для измерения напряжение в материале. Однако методы, использующие оптический измерения, магнитный измерения, дифракция рентгеновских лучей, и нейтронография все ограничиваются измерением поверхностных или приповерхностных напряжений или деформаций. Акустические волны с легкостью распространяются через материалы и, таким образом, предоставляют средства для исследования внутренних частей конструкций, где уровень напряжений и деформаций важен для общего целостность конструкции.Поскольку скорость звука таких нелинейно-упругих материалов (включая обычные строительные материалы, такие как алюминий и стали) имеют зависимость от напряжения, одним из применений акустоупругого эффекта может быть измерение напряженного состояния внутри нагруженного материала с использованием различных акустических датчиков (например, ультразвуковой контроль) для измерения изменения скорости звука.

Гранулированные и пористые материалы - геофизика

сейсмология изучать распространение упругих волн через Землю и используется, например, в землетрясение исследования и в картографирование недр Земли. Внутри Земли действует различное давление, и поэтому акустические сигналы могут проходить через среду в различных напряженных состояниях. Таким образом, акустоупругая теория может представлять практический интерес, когда нелинейное волновое поведение может быть использовано для оценки геофизических свойств.^[8]

Мягкие ткани - медицинское УЗИ

Другие приложения могут быть в медицине сонография и эластография измерение уровня напряжения или давления в соответствующих типах эластичных тканей (например, ^[19][20][21] ), усиливая неинвазивный диагностика.

Смотрите также

• Акустоэластография
• Конечная деформация
• Скорость звука
• Ультразвуковой контроль

Рекомендации