WikiDer > Волновое уравнение

Wave equation

А пульс перемещение по струне с фиксированными конечными точками, как моделируется волновым уравнением.

Сферические волны, исходящие от точечного источника.

Решение двумерного волнового уравнения

В волновое уравнение является важным линейным уравнение в частных производных для описания волны- как они происходят в классическая физика-Такие как механические волны (например. воды волны звуковые волны и сейсмические волны) или же свет волны. Он возникает в таких областях, как акустика, электромагнетизм, и динамика жидкостей.

Исторически проблема вибрирующая струна такой как у музыкальный инструмент был изучен Жан ле Ронд д'Аламбер, Леонард Эйлер, Даниэль Бернулли, и Жозеф-Луи Лагранж.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] В 1746 году Д'Аламбер открыл одномерное волновое уравнение, а через десять лет Эйлер открыл трехмерное волновое уравнение.^[6]

Вступление

Волновое уравнение представляет собой уравнение в частных производных что может ограничить некоторые скаляр функция $ты = ты (Икс 1, Икс 2, \dots, Икс п; т)$ временной переменной $т$ и одна или несколько пространственных переменных $Икс 1, Икс 2, \dots Икс п$ . Количество $ты$ может быть, например, давление в жидкости или газе, или смещениевдоль некоторого определенного направления частиц вибрирующего твердого тела от их положений покоя. Уравнение

{ displaystyle { frac { partial ^ {2} u} { partial t ^ {2}}} ; = ; c ^ {2} left ({ frac { partial ^ {2} u} { partial x_ {1} ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} u} { partial x_ {2} ^ {2}}} + cdots + { frac { partial ^ {2} u} { partial x_ {n} ^ {2}}} right)}

куда $c$ фиксированный неотрицательный настоящий коэффициент.

Используя обозначения Ньютоновская механика и векторное исчисление, волновое уравнение можно записать более компактно как

{ displaystyle { ddot {u}} = c ^ {2} nabla ^ {2} u,}

где двойная точка обозначает двойную производную по времени от $ты$ , $\nabla$ это оператор набла, и $\nabla 2 = \nabla \cdot \nabla$ это (пространственный) Оператор лапласа:

{ displaystyle { ddot {u}} = { frac { partial ^ {2} u} { partial t ^ {2}}} quad quad nabla = left ({ frac { partial} { partial x_ {1}}}, { frac { partial} { partial x_ {2}}}, ldots, { frac { partial} { partial x_ {n}}} right) quad quad nabla ^ {2} = { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {1} ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {2} ^ {2}}} + cdots + { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {n} ^ {2}}}}

Решение этого уравнения может быть довольно сложным, но его можно анализировать как линейную комбинацию простых решений, которые синусоидальный плоские волны с различными направлениями распространения и длинами волн, но с одинаковой скоростью распространения $c$ . Такой анализ возможен, поскольку волновое уравнение имеет вид линейный; так что любое кратное решения также является решением, а сумма любых двух решений снова является решением. Это свойство называется принцип суперпозиции по физике.

Само по себе волновое уравнение не определяет физического решения; единственное решение обычно получается путем постановки задачи с дополнительными условиями, такими как первоначальные условия, задающие амплитуду и фазу волны. Другой важный класс проблем возникает в замкнутых пространствах, указанных граничные условия, для которых решения представляют стоячие волны, или же гармоники, аналог гармоник музыкальных инструментов.

Волновое уравнение - простейший пример гиперболическое дифференциальное уравнение. Он и его модификации играют фундаментальную роль в механика сплошной среды, квантовая механика, физика плазмы, общая теория относительности, геофизика, и многие другие научно-технические дисциплины.

Волновое уравнение в одном измерении пространства

Французский ученый Жан-Батист ле Ронд д'Аламбер (р. 1717) открыл волновое уравнение в одномерном пространстве.^[6]

Волновое уравнение в одномерном пространстве можно записать следующим образом:

{ displaystyle { partial ^ {2} u over partial t ^ {2}} = c ^ {2} { partial ^ {2} u over partial x ^ {2}}}

.

Это уравнение обычно описывается как имеющее только одно пространственное измерение. $Икс$ , потому что единственный другой независимая переменная время $т$ . Тем не менее зависимая переменная $ты$ может представлять второе пространственное измерение, если, например, смещение $ты$ происходит в $у$ -направление, как в случае строки, расположенной в $Икс$ – $у$ самолет.

Вывод волнового уравнения.

Волновое уравнение в одном пространственном измерении может быть получено в различных физических условиях. Наиболее известно, что это может быть получено для случая струны, которая колеблется в двумерной плоскости, причем каждый из ее элементов тянется в противоположных направлениях силой напряжение.^[7]

Другая физическая установка для вывода волнового уравнения в одном пространственном измерении использует Закон Гука. в теория упругости, Закон Гука является приближением для определенных материалов, утверждая, что величина, на которую деформируется материальное тело ( напряжение) линейно связана с силой, вызывающей деформацию ( стресс).

Из закона Гука

Волновое уравнение в одномерном случае может быть получено из закона Гука следующим образом: представьте себе массив маленьких гирь массы $м$ соединены между собой безмассовыми пружинами длины $час$ . Пружины имеют жесткость пружины из $k$ :

Здесь зависимая переменная $ты (Икс)$ измеряет расстояние от точки равновесия массы, расположенной в $Икс$ , так что $ты (Икс)$ по существу измеряет величину возмущения (т. е. деформации), которое распространяется в упругом материале. Силы, приложенные к массе $м$ на месте $Икс + час$ находятся:

{ displaystyle { begin {align} F _ { rm {Newton}} & = m cdot a (t) = m cdot { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}} } u (x + h, t) F _ { rm {Hooke}} & = F_ {x + 2h} -F_ {x} = k left [{u (x + 2h, t) -u (x + h, t)} right] -k [u (x + h, t) -u (x, t)] end {выровнено}}}

Уравнение движения груза в точке $Икс + час$ дается приравниванием этих двух сил:

{ Displaystyle { partial ^ {2} over partial t ^ {2}} u (x + h, t) = {k over m} [u (x + 2h, t) -u (x + h , t) -u (x + h, t) + u (x, t)]}

где зависимость от времени $ты (Икс)$ был сделан явным.

Если массив весов состоит из $N$ грузы, расположенные равномерно по длине $L = Nh$ общей массы $M = Нм$ , а общая жесткость пружины массива $K = k / N$ мы можем записать приведенное выше уравнение как:

{ Displaystyle { partial ^ {2} over partial t ^ {2}} u (x + h, t) = {KL ^ {2} over M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u (x, t) над h ^ {2}}.}

Принимая предел $N \to \infty, час \to 0$ и в предположении гладкости получаем:

{ displaystyle { partial ^ {2} u (x, t) over partial t ^ {2}} = {KL ^ {2} over M} { partial ^ {2} u (x, t) over partial x ^ {2}},}

что из определения вторая производная. $KL 2 / M$ - квадрат скорости распространения в данном конкретном случае.

1-я стоячая волна как суперпозиция двух волн, бегущих в противоположных направлениях

Напряжение пульса в баре

В случае импульса напряжения, распространяющегося в продольном направлении через стержень, стержень действует так же, как бесконечное количество последовательно соединенных пружин, и его можно рассматривать как расширение уравнения, выведенного для закона Гука. Однородный стержень, т.е. постоянного поперечного сечения, изготовленный из линейно-упругого материала, имеет жесткость $K$ данный

{ displaystyle K = {EA over L},}

Где $А$ площадь поперечного сечения и $E$ это Модуль для младших материала. Волновое уравнение принимает вид

{ Displaystyle { partial ^ {2} u (x, t) over partial t ^ {2}} = {EAL over M} { partial ^ {2} u (x, t) over partial x ^ {2}}.}

$AL$ равен объему бара и, следовательно,

{ displaystyle { frac {AL} {M}} = { frac {1} { rho}},}

куда $ρ$ это плотность материала. Волновое уравнение сводится к

{ displaystyle { frac { partial ^ {2} u (x, t)} { partial t ^ {2}}} = {E over rho} { partial ^ {2} u (x, t ) over partial x ^ {2}}.}

Следовательно, скорость волны напряжения в стержне равна $\sqrt E / ρ .$

Общее решение

Алгебраический подход

Одномерное волновое уравнение необычно для уравнение в частных производных в этом можно найти относительно простое общее решение. Определение новых переменных:^[8]

{ displaystyle { begin {align} xi & = x-ct eta & = x + ct end {align}}}

изменяет волновое уравнение на

{ displaystyle { frac { partial ^ {2} u} { partial xi partial eta}} = 0,}

что приводит к общему решению

{ Displaystyle и ( xi, eta) = F ( xi) + G ( eta)}

или эквивалентно:

{ displaystyle u (x, t) = F (x-ct) + G (x + ct).}

Другими словами, решения одномерного волнового уравнения представляют собой суммы бегущей вправо функции $F$ и функция левостороннего движения $грамм$ . «Путешествие» означает, что форма этих отдельных произвольных функций по отношению к $Икс$ остается постоянным, однако функции переводятся влево и вправо со временем со скоростью $c$ . Это было получено Жан ле Ронд д'Аламбер.^[9]

Другой способ получить этот результат - заметить, что волновое уравнение может быть "факторизовано":

{ displaystyle left [{ frac { partial} { partial t}} - c { frac { partial} { partial x}} right] left [{ frac { partial} { partial t}} + c { frac { partial} { partial x}} right] u = 0.}

В результате, если мы определим $v$ таким образом,

{ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} + c { frac { partial u} { partial x}} = v,}

тогда

{ displaystyle { frac { partial v} { partial t}} - c { frac { partial v} { partial x}} = 0.}

Из этого, $v$ должен иметь форму $грамм (Икс + ct)$ , а отсюда и правильная форма полного решения $ты$ можно вывести.^[10]

Для задачи начального значения произвольные функции $F$ и $грамм$ можно определить для удовлетворения начальных условий:

{ Displaystyle и (х, 0) = е (х)}

{ displaystyle u_ {t} (x, 0) = g (x).}

Результат формула даламбера:

{ Displaystyle и (х, т) = { гидроразрыва {е (x-ct) + f (x + ct)} {2}} + { frac {1} {2c}} int _ {x-ct } ^ {x + ct} g (s) mathrm {d} s}

В классическом смысле, если $ж (Икс) \in C k$ и $грамм (Икс) \in C k -1$ тогда $ты (т, Икс) \in C k$ . Однако формы волны $F$ и $грамм$ также могут быть обобщенные функции, такие как дельта-функция. В этом случае решение можно интерпретировать как импульс, идущий вправо или влево.

Основное волновое уравнение - это линейное дифференциальное уравнение и поэтому он будет придерживаться принцип суперпозиции. Это означает, что чистое смещение, вызванное двумя или более волнами, представляет собой сумму смещений, которые были бы вызваны каждой волной в отдельности. Кроме того, поведение волны можно проанализировать, разбив волну на составляющие, например то преобразование Фурье разбивает волну на синусоидальные составляющие.

Собственные моды плоской волны

Другой способ найти решения одномерного волнового уравнения - сначала проанализировать его частоту собственные моды. Так называемая собственная мода - это решение, которое колеблется во времени с четко определенным постоянный угловая частота $ω,$ так что временная часть волновой функции принимает вид $е -iωt = cos (ωt) - я грех (ωt)$ , а амплитуда - функция $ж (Икс)$ пространственной переменной $Икс$ , давая разделение переменных для волновой функции:

{ displaystyle u _ { omega} (x, t) = e ^ {- я omega t} f (x).}

Это создает обыкновенное дифференциальное уравнение для пространственной части $ж (Икс)$ :

{ displaystyle { frac { partial ^ {2} u _ { omega}} { partial t ^ {2}}} = { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}} } left (e ^ {- i omega t} f (x) right) = - omega ^ {2} e ^ {- i omega t} f (x) = c ^ {2} { frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} left (e ^ {- i omega t} f (x) right),}

Следовательно:

{ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} x ^ {2}}} f (x) = - left ({ frac { omega} {c}} right) ^ {2} f (x),}

что в точности уравнение на собственные значения за $ж (Икс)$ , отсюда и название собственной моды. Имеет хорошо известные плоская волна решения

{ displaystyle f (x) = Ae ^ { pm ikx},}

с волновое число $k = ω / c .$

Полная волновая функция для этой собственной моды тогда представляет собой линейную комбинацию

{ displaystyle u _ { omega} (x, t) = e ^ {- i omega t} left (Ae ^ {- ikx} + Be ^ {ikx} right) = Ae ^ {- i (kx + omega t)} + Be ^ {i (kx- omega t)},}

где комплексные числа $А, Б$ в общем случае зависят от любых начальных и граничных условий задачи.

Собственные моды полезны при построении полного решения волнового уравнения, потому что каждая из них тривиально эволюционирует во времени с фазовым фактором ${ displaystyle e ^ {- я omega t}}$ . так что полное решение можно разложить на разложение по собственным модам

{ Displaystyle и (х, т) = int _ {- infty} ^ { infty} s ( omega) и _ { omega} (х, т) mathrm {d} omega}

или в терминах плоских волн,

{ Displaystyle { begin {выровнены} и (х, т) & = int _ {- infty} ^ { infty} s _ {+} ( omega) e ^ {- i (kx + omega t)} mathrm {d} omega + int _ {- infty} ^ { infty} s _ {-} ( omega) e ^ {i (kx- omega t)} mathrm {d} omega & = int _ {- infty} ^ { infty} s _ {+} ( omega) e ^ {- ik (x + ct)} mathrm {d} omega + int _ {- infty} ^ { infty} s _ {-} ( omega) e ^ {ik (x-ct)} mathrm {d} omega & = F (x-ct) + G (x + ct) end { выровнено}}}

который имеет точно такую же форму, что и в алгебраическом подходе. Функции $s \pm (ω)$ известны как Фурье-компонента и определяются начальными и граничными условиями. Это так называемый частотная область метод, альтернативный прямому область времени распространения, такие как FDTD метод волновой пакет $ты (Икс, т),$ что является полным для представления волн без замедления времени. Полнота разложения Фурье для представления волн в присутствии замедления времени была поставлена под сомнение из-за чирп-волновых решений, допускающих изменение во времени $ω$ .^[11] Кажется, что решения ЛЧМ-волны в особенности подразумеваются очень большими, но ранее необъяснимыми остатками радара в аномалия пролета, и отличаются от синусоидальных решений тем, что они могут быть приняты на любом расстоянии только при пропорционально смещенных частотах и замедлениях времени, соответствующих прошлым состояниям чирпа источника.

Скалярное волновое уравнение в трех измерениях пространства

Швейцарский математик и физик Леонард Эйлер (р. 1707) открыл волновое уравнение в трех измерениях пространства.^[6]

Решение начальной задачи для волнового уравнения в трехмерном пространстве может быть получено из соответствующего решения для сферической волны. Затем результат можно использовать для получения того же решения в двух пространственных измерениях.

Сферические волны

Волновое уравнение можно решить, используя технику разделение переменных. Чтобы получить решение с постоянными частотами, сначала произведем преобразование Фурье волнового уравнения по времени как

{ displaystyle Psi ({ vec {r}}, t) = int _ {- infty} ^ { infty} Psi ({ vec {r}}, omega) e ^ {- i омега t} mathrm {d} omega.}

Итак, мы получаем,

{ displaystyle left ( nabla ^ {2} + { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}} right) Psi ({ vec {r}}, omega) = 0.}

Это Уравнение Гельмгольца и может быть решена с помощью разделения переменных. Если для описания проблемы используются сферические координаты, то решение угловой части уравнения Гельмгольца дается выражением сферические гармоники и радиальное уравнение теперь принимает вид ^[12]

{ displaystyle left [{ frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} r ^ {2}}} + { frac {2} {r}} { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} r}} + k ^ {2} - { frac {l (l + 1)} {r ^ {2}}} right] f_ {l} (r) = 0}

Здесь $k \equiv ω / c$ и полное решение теперь дается

{ displaystyle Psi ({ vec {r}}, omega) = sum _ {lm} left [A_ {lm} ^ {(1)} h_ {l} ^ {(1)} (kr) + A_ {lm} ^ {(2)} h_ {l} ^ {(2)} (kr) right] Y_ {lm} ( theta, phi),}

куда $час (1) л (кр)$ и $час (2) л (кр)$ являются сферические функции Ганкеля.

Пример

Чтобы лучше понять природу этих сферических волн, вернемся назад и рассмотрим случай, когда $л = 0.$ В этом случае угловая зависимость отсутствует, а амплитуда зависит только от радиального расстояния, т.е. $Ψ (р \to, т) \to ты (р, т).$ В этом случае волновое уравнение сводится к

{ displaystyle left ( nabla ^ {2} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} right ) Psi ({ vec {r}}, t) = 0 rightarrow left ({ frac { partial ^ {2}} { partial r ^ {2}}} + { frac {2} { r}} { frac { partial} { partial r}} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2} }} right) u (r, t) = 0}

Это уравнение можно переписать как

{ displaystyle { frac { partial ^ {2} (ru)} { partial t ^ {2}}} - c ^ {2} { frac { partial ^ {2} (ru)} { partial г ^ {2}}} = 0; ,}

где количество $RU$ удовлетворяет одномерному волновому уравнению. Следовательно, есть решения в виде

{ displaystyle u (r, t) = { frac {1} {r}} F (r-ct) + { frac {1} {r}} G (r + ct),}

куда $F$ и $грамм$ являются общими решениями одномерного волнового уравнения и могут интерпретироваться соответственно как выходящая или входящая сферическая волна. Такие волны генерируются точечный источник, и они дают возможность резких сигналов, форма которых изменяется только при уменьшении амплитуды при $р$ увеличивается (см. иллюстрацию сферической волны вверху справа). Такие волны существуют только в случаях нечетных размеров пространства.^{[нужна цитата]}

Для физических примеров несферических волновых решений трехмерного волнового уравнения, которые действительно обладают угловой зависимостью, см. дипольное излучение.

Монохроматическая сферическая волна

Вырезание сферических волновых фронтов с длиной волны 10 единиц, распространяющихся от точечного источника.

Хотя слово «монохромный» не совсем точное, поскольку оно относится к свету или электромагнитное излучение с четко определенной частотой цель заключается в обнаружении собственной моды волнового уравнения в трех измерениях. Следуя выводам из предыдущего раздела о Собственные моды плоской волны, если мы снова ограничим наши решения сферическими волнами, которые колеблются во времени с четко определенными постоянный угловая частота $ω,$ тогда преобразованная функция $RU (р, т)$ имеет просто плоские волновые решения,

{ displaystyle ru (r, t) = Ae ^ {i ( omega t pm kr)},}

или же

{ displaystyle u (r, t) = { frac {A} {r}} e ^ {i left ( omega t pm kr right)}.}

Отсюда можно заметить, что максимальная интенсивность колебания сферической волны, характеризуемая как квадрат амплитуды волны

{ displaystyle I = | u (r, t) | ^ {2} = { frac {| A | ^ {2}} {r ^ {2}}}}

.

падает со скоростью, пропорциональной $1/ р 2,$ пример закон обратных квадратов.

Решение общей начальной задачи.

Волновое уравнение линейно по $ты$ и он остается неизменным при переводах в пространстве и времени. Следовательно, мы можем генерировать большое количество решений, переводя и суммируя сферические волны. Позволять $φ (ξ, η, ζ)$ - произвольная функция трех независимых переменных, а сферическая форма волны $F$ быть дельта-функцией: то есть, пусть $F$ - слабый предел непрерывных функций, интеграл которых равен единице, но носитель (область, где функция отлична от нуля) стягивается к началу координат. Пусть семейство сферических волн имеет центр в $(ξ, η, ζ)$ , и разреши $р$ быть радиальным расстоянием от этой точки. Таким образом

{ displaystyle r ^ {2} = (x- xi) ^ {2} + (y- eta) ^ {2} + (z- zeta) ^ {2}.}

Если $ты$ является суперпозицией таких волн с весовой функцией $φ$ , тогда

{ Displaystyle и (T, Икс, Y, Z) = { гидроразрыва {1} {4 pi c}} iiint varphi ( xi, eta, zeta) { frac { delta (r- ct)} {r}} mathrm {d} xi , mathrm {d} eta , mathrm {d} zeta;}

знаменатель $4 πc$ это удобство.

Из определения дельта-функции $ты$ можно также записать как

{ Displaystyle и (т, х, y, z) = { гидроразрыва {t} {4 pi}} iint _ {S} varphi (х + ct альфа, y + ct beta, z + ct gamma) mathrm {d} omega,}

куда $α, β$ , и $γ$ координаты на единичной сфере $S$ , и $ω$ это элемент площади на $S$ . Этот результат имеет интерпретацию, что $ты (т, Икс)$ является $т$ умноженное на среднее значение $φ$ на сфере радиуса $ct$ сосредоточен на $Икс$ :

{ Displaystyle и (т, х, у, z) = tM_ {ct} [ phi].}

Следует, что

{ displaystyle u (0, x, y, z) = 0, quad u_ {t} (0, x, y, z) = phi (x, y, z).}

Среднее значение является четной функцией от $т$ , а значит, если

{ Displaystyle v (T, X, Y, Z) = { frac { partial} { partial t}} left (tM_ {ct} [ psi] right),}

тогда

{ displaystyle v (0, x, y, z) = psi (x, y, z), quad v_ {t} (0, x, y, z) = 0.}

Эти формулы дают решение начальной задачи для волнового уравнения. Они показывают, что решение в данной точке $п$ , данный $(т, Икс, у, z)$ зависит только от данных о сфере радиуса $ct$ который пересекается световой конус обращается в обратном направлении от $п$ . Оно делает нет зависят от данных о внутренней части этой сферы. Таким образом, внутренность сферы - это лакуна для решения. Это явление называется Принцип Гюйгенса. Это верно для нечетных чисел пространственной размерности, где для одного измерения интегрирование выполняется по границе интервала относительно меры Дирака. Его не устраивают даже пространственные измерения. Феномен лакун широко исследовался в Атья, Ботт и Гординг (1970, 1973).

Скалярное волновое уравнение в двух измерениях пространства

В двух измерениях пространства волновое уравнение имеет вид

{ displaystyle u_ {tt} = c ^ {2} left (u_ {xx} + u_ {yy} right).}

Мы можем использовать трехмерную теорию для решения этой проблемы, если мы рассмотрим $ты$ как функция в трех измерениях, которая не зависит от третьего измерения. Если

{ displaystyle u (0, x, y) = 0, quad u_ {t} (0, x, y) = phi (x, y),}

тогда формула трехмерного решения принимает вид

{ Displaystyle и (т, х, y) = tM_ {ct} [ phi] = { frac {t} {4 pi}} iint _ {S} phi (x + ct alpha, , y + ct beta) mathrm {d} omega,}

куда $α$ и $β$ - первые две координаты на единичной сфере, и $d ω$ это элемент площади на сфере. Этот интеграл можно переписать в виде двойного интеграла по диску $D$ с центром $(Икс, у)$ и радиус $ct :$

{ displaystyle u (t, x, y) = { frac {1} {2 pi ct}} iint _ {D} { frac { phi (x + xi, y + eta)} { sqrt {(ct) ^ {2} - xi ^ {2} - eta ^ {2}}}} mathrm {d} xi , mathrm {d} eta.}

Очевидно, что решение при $(т, Икс, у)$ зависит не только от данных светового конуса, где

{ Displaystyle (x- xi) ^ {2} + (y- eta) ^ {2} = c ^ {2} t ^ {2},}

но также и на данных, которые являются внутренними для этого конуса.

Скалярное волновое уравнение в общей размерности и формулы Кирхгофа

Мы хотим найти решения $ты тт - Δ ты = 0$ за $ты : р п \times (0, \infty) \to р$ с $ты (Икс, 0) = грамм (Икс)$ и $ты т (Икс, 0) = час (Икс)$ . См. Evans для более подробной информации.

Нечетные размеры

Предполагать $п \geq 3$ нечетное целое число и $грамм \in C м +1 (р п)$ , $час \in C м (р п)$ за $м = (п + 1)/2$ . Позволять $γ п = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (п - 2)$ и разреши

{ displaystyle u (x, t) = { frac {1} { gamma _ {n}}} left [ partial _ {t} left ({ frac {1} {t}} partial _ {t} right) ^ { frac {n-3} {2}} left (t ^ {n-2} { frac {1} {| partial B_ {t} (x) |}} int _ { partial B_ {t} (x)} gdS right) + left ({ frac {1} {t}} partial _ {t} right) ^ { frac {n-3} { 2}} left (t ^ {n-2} { frac {1} {| partial B_ {t} (x) |}} int _ { partial B_ {t} (x)} hdS right )верно]}

тогда

ты \in C 2 (р п \times [0, \infty))

ты тт - Δ ты = 0

в

р п \times (0, \infty)

{ Displaystyle { begin {align} lim _ {(x, t) to (x ^ {0}, 0)} u (x, t) & = g (x ^ {0}) lim _ {(x, t) to (x ^ {0}, 0)} u_ {t} (x, t) & = h (x ^ {0}) end {выровнено}}}

Четные размеры

Предполагать $п \geq 2$ является четным целым числом и $грамм \in C м +1 (р п)$ , $час \in C м (р п)$ , за $м = (п + 2)/2$ . Позволять $γ п = 2 \cdot 4 \cdot \dots \cdot п$ и разреши

{ displaystyle u (x, t) = { frac {1} { gamma _ {n}}} left [ partial _ {t} left ({ frac {1} {t}} partial _ {t} right) ^ { frac {n-2} {2}} left (t ^ {n} { frac {1} {| B_ {t} (x) |}} int _ {B_ {t} (x)} { frac {g} {(t ^ {2} - | yx | ^ {2}) ^ { frac {1} {2}}}} mathrm {d} y right ) + left ({ frac {1} {t}} partial _ {t} right) ^ { frac {n-2} {2}} left (t ^ {n} { frac {1 } {| B_ {t} (x) |}} int _ {B_ {t} (x)} { frac {h} {(t ^ {2} - | yx | ^ {2}) ^ { гидроразрыв {1} {2}}}} mathrm {d} y right) right]}

тогда

ты \in C 2 (р п \times [0, \infty))

ты тт - Δ ты = 0

в

р п \times (0, \infty)

{ Displaystyle { begin {align} lim _ {(x, t) to (x ^ {0}, 0)} u (x, t) & = g (x ^ {0}) lim _ {(x, t) to (x ^ {0}, 0)} u_ {t} (x, t) & = h (x ^ {0}) end {выровнено}}}

Проблемы с границами

Одно космическое измерение

Формулировка Штурма – Лиувилля.

Гибкая струна, натянутая между двумя точками. $Икс = 0$ и $Икс = L$ удовлетворяет волновому уравнению для $т > 0$ и $0 < Икс < L$ . На граничных точках $ты$ может удовлетворять множеству граничных условий. Общая форма, подходящая для приложений:

{ displaystyle -u_ {x} (t, 0) + au (t, 0) = 0,}

{ Displaystyle и_ {х} (т, L) + бу (т, L) = 0,}

куда $а$ и $б$ неотрицательны. Случай, когда требуется, чтобы u обратилось в нуль в конечной точке, является пределом этого условия, когда соответствующие $а$ или же $б$ приближается к бесконечности. Методика разделение переменных заключается в поиске решения этой проблемы в специальной форме

{ Displaystyle и (т, х) = Т (т) v (х).}

Следствием этого является то, что

{ displaystyle { frac {T ''} {c ^ {2} T}} = { frac {v ''} {v}} = - lambda.}

В собственное значение $λ$ необходимо определить так, чтобы существовало нетривиальное решение краевой задачи

{ displaystyle v '' + lambda v = 0,}

{ displaystyle -v '(0) + av (0) = 0, quad v' (L) + bv (L) = 0.}

Это частный случай общей проблемы Теория Штурма – Лиувилля. Если $а$ и $б$ положительны, все собственные значения положительны, а решения являются тригонометрическими функциями. Решение, удовлетворяющее интегрируемым с квадратом начальным условиям для $ты$ и $ты т$ можно получить из разложения этих функций в соответствующий тригонометрический ряд.

Исследование численными методами.

Аппроксимируя непрерывную струну конечным числом эквидистантных материальных точек, получаем следующую физическую модель:

Рисунок 1: Три последовательные точки масс дискретной модели для струны

Если каждая массовая точка имеет массу $м$ , натяжение струны $ж$ , расстояние между массовыми точками равно $Δ Икс$ и $ты я, я = 1, \dots, п$ это смещение этих $п$ точки от их точек равновесия (т. е. их положение на прямой линии между двумя точками крепления струны) вертикальная составляющая силы по направлению к точке $я + 1$ является

{ displaystyle { frac {u_ {i + 1} -u_ {i}} { Delta x}} f}

(1)

и вертикальная составляющая силы по направлению к точке $я - 1$ является

{ displaystyle { frac {u_ {i-1} -u_ {i}} { Delta x}} f}

(2)

Взяв сумму этих двух сил и разделив на массу $м$ для вертикального движения получается:

{ displaystyle { ddot {u}} _ {i} = left ({ frac {f} {m Delta x}} right) left (u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i} right)}

(3)

Поскольку массовая плотность равна

{ displaystyle rho = { frac {m} { Delta x}}}

это можно написать

{ displaystyle { ddot {u}} _ {i} = left ({ frac {f} { rho { Delta x} ^ {2}}} right) left (u_ {я + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i} right)}

(4)

Волновое уравнение получается, если положить $Δ Икс \to 0$ в таком случае $ты я (т)$ принимает форму $ты (Икс, т)$ куда $ты (Икс, т)$ является непрерывной функцией двух переменных, $\cdot\cdot ты я$ принимает форму $\partial 2 ты /\partial т 2$ и

{ displaystyle { frac {u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i}} {{ Delta x} ^ {2}}} to { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {2}}}}

Но дискретная формулировка (3) уравнения состояния с конечным числом массовых точек как раз подходит для численное распространение струнного движения. Граничное условие

{ Displaystyle и (0, t) = и (L, t) = 0}

куда $L$ - длина струны принимает в дискретной формулировке форму, которая для крайних точек $ты 1$ и $ты п$ уравнения движения

{ displaystyle { ddot {u}} _ {1} = { left ({ frac {c} { Delta x}} right)} ^ {2} left (u_ {2} -2u_ {1 }верно)}

(5)

и

{ displaystyle { ddot {u}} _ {n} = { left ({ frac {c} { Delta x}} right)} ^ {2} left (u_ {n-1} -2u_ {n} right)}

(6)

в то время как для $1 < я < п$

{ displaystyle { ddot {u}} _ {i} = { left ({ frac {c} { Delta x}} right)} ^ {2} left (u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i} right)}

(7)

куда $c = \sqrt ж / ρ .$

Если струна аппроксимирована 100 дискретными массовыми точками, получится 100 связанных дифференциальных уравнений второго порядка (5), (6) и (7) или, что эквивалентно 200 связанных дифференциальных уравнений первого порядка.

Распространение их до времени

{ displaystyle { frac {L} {c}} k (0,05), , k = 0, cdots, 5}

используя 8-й порядок многоступенчатый метод найдено 6 состояний, показанных на рисунке 2:

Рисунок 2: Строка в 6 последовательных эпохах, первая (красная) соответствует начальному времени, когда струна находится в состоянии покоя.

Рисунок 3: Строка в 6 последовательных эпохах

Рисунок 4: Строка в 6 последовательных эпохах

Рисунок 5: Строка в 6 последовательных эпохах

Рисунок 6: Строка в 6 последовательных эпохах

Рисунок 7: Строка в 6 последовательных эпохах

Красная кривая - это начальное состояние в нулевой момент времени, в котором струна «освобождается» в заранее заданной форме.^[13] со всем ${ displaystyle { dot {u}} _ {i} = 0}$ . Синяя кривая - это состояние во время ${ displaystyle { tfrac {L} {c}} (0,25),}$ то есть через время, соответствующее времени, волна, движущаяся с номинальной волновой скоростью $c = \sqrt ж / ρ$ потребуется одна четвертая длины нити.

На рисунке 3 показана форма струны в моменты времени. ${ Displaystyle { tfrac {L} {c}} к (0,05), , к = 6, cdots, 11}$ . Волна движется в правильном направлении со скоростью $c = \sqrt ж / ρ$ без активного ограничения граничными условиями на двух крайних точках струны. Форма волны постоянная, т.е. кривая действительно имеет вид $ж (Икс - ct)$ .

На рисунке 4 показана форма струны в моменты времени. ${ Displaystyle { tfrac {L} {c}} к (0,05), , к = 12, cdots, 17}$ . Ограничение в правом крайнем углу начинает мешать движению, не позволяя волне поднять конец струны.

На рисунке 5 показана форма струны в моменты времени. ${ Displaystyle { tfrac {L} {c}} к (0,05), , к = 18, cdots, 23}$ когда направление движения меняется на противоположное. Красная, зеленая и синяя кривые - это состояния в моменты времени. ${ Displaystyle { tfrac {L} {c}} к (0,05), , к = 18, cdots, 20}$ а 3 черные кривые соответствуют состояниям на временах ${ Displaystyle { tfrac {L} {c}} к (0,05), , к = 21, cdots, 23}$ при этом волна начинает двигаться обратно влево.

На рисунках 6 и 7 наконец показана форма струны в моменты времени. ${ Displaystyle { tfrac {L} {c}} к (0,05), , к = 24, cdots, 29}$ и ${ Displaystyle { tfrac {L} {c}} к (0,05), , к = 30, cdots, 35}$ . Теперь волна движется влево, и ограничения в конечных точках больше не действуют. Когда, наконец, появится другой край струны, направление снова изменится на обратное, подобно тому, как показано на рисунке 6.

Несколько пространственных измерений

Решение волнового уравнения в двух измерениях с граничным условием нулевого смещения по всей внешней кромке.

Одномерная начально-краевая теория может быть расширена до произвольного числа пространственных измерений. Рассмотрим домен $D$ в $м$ -размерный $Икс$ пространство, с границей $B$ . Тогда волновое уравнение должно выполняться, если $Икс$ в $D$ и $т > 0.$ На границе $D,$ решение $ты$ должен удовлетворить

{ displaystyle { frac { partial u} { partial n}} + au = 0, ,}

куда $п$ единица наружу нормально к $B$ , и $а$ неотрицательная функция, определенная на $B$ . Случай, когда $ты$ исчезает на $B$ является предельным случаем для $а$ приближение к бесконечности. Начальные условия:

{ Displaystyle и (0, х) = е (х), quad u_ {t} (0, х) = г (х), ,}

куда $ж$ и $грамм$ определены в $Д.$ Эту проблему можно решить, расширив $ж$ и $грамм$ в собственных функциях лапласиана в $D,$ удовлетворяющие граничным условиям. Таким образом, собственная функция $v$ удовлетворяет

{ Displaystyle набла CDOT набла v + лямбда v = 0, ,}

в $D,$ и

{ displaystyle { frac { partial v} { partial n}} + av = 0, ,}

на $Б.$

В случае двух пространственных измерений собственные функции можно интерпретировать как режимы колебаний барабанной пластинки, натянутой на границу. $Б.$ Если $B$ окружность, то эти собственные функции имеют угловую составляющую, которая является тригонометрической функцией полярного угла $θ,$ умноженный на Функция Бесселя (целочисленного порядка) радиальной составляющей. Более подробная информация находится в Уравнение Гельмгольца.

Если граница является сферой в трех измерениях пространства, угловые компоненты собственных функций равны сферические гармоники, а радиальные составляющие равны Функции Бесселя полуцелого порядка.

Неоднородное волновое уравнение в одном измерении

Неоднородное волновое уравнение в одном измерении имеет следующий вид:

{ displaystyle u_ {tt} (x, t) -c ^ {2} u_ {xx} (x, t) = s (x, t) ,}

с начальными условиями заданными

{ Displaystyle и (х, 0) = е (х) ,}

{ Displaystyle и_ {т} (х, 0) = г (х) ,}

Функция $s (Икс, т)$ часто называют функцией источника, поскольку на практике она описывает влияние источников волн на несущую их среду. К физическим примерам функций источника относятся сила, движущая волна на струне, или плотность заряда или тока в струне. Датчик Лоренца из электромагнетизм.

Один из методов решения задачи начального значения (с начальными значениями, как указано выше) состоит в использовании особого свойства волнового уравнения в нечетном числе пространственных измерений, а именно того, что его решения учитывают причинность. То есть для любой точки $(Икс я, т я)$ , значение $ты (Икс я, т я)$ зависит только от значений $ж (Икс я + ct я)$ и $ж (Икс я - ct я)$ и значения функции $грамм (Икс)$ между $(Икс я - ct я)$ и $(Икс я + ct я)$ . Это можно увидеть в формула даламбера, указанное выше, где эти количества - единственные, которые отображаются в нем. Физически, если максимальная скорость распространения равна $c$ , то никакая часть волны, которая не может распространиться в заданную точку за заданное время, не может повлиять на амплитуду в той же точке и в тот же момент времени.

С точки зрения поиска решения это свойство причинности означает, что для любой заданной точки на рассматриваемой линии единственная область, которую необходимо учитывать, - это область, охватывающая все точки, которые могут причинно повлиять на рассматриваемую точку. Обозначьте область, которая случайно влияет на точку $(Икс я, т я)$ в качестве $р C .$ Предположим, мы интегрируем неоднородное волновое уравнение по этой области.

{ displaystyle iint limits _ {R_ {C}} left (c ^ {2} u_ {xx} (x, t) -u_ {tt} (x, t) right) , mathrm {d } x , mathrm {d} t = iint limits _ {R_ {C}} s (x, t) , mathrm {d} x , mathrm {d} t.}

Чтобы значительно упростить это, мы можем использовать Теорема Грина чтобы упростить левую часть, чтобы получить следующее:

{ Displaystyle int _ {L_ {0} + L_ {1} + L_ {2}} left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) , mathrm {d} t-u_ {t} (x, t) mathrm {d} x right) = iint limits _ {R_ {C}} s (x, t) , mathrm {d} x , mathrm {d} т.}

Левая часть теперь представляет собой сумму трех линейных интегралов по границам области причинности. Их довольно легко вычислить.

{ displaystyle int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} - u_ {t} (x, 0) , mathrm {d} x = - int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) , mathrm {d} x.}

Вышеупомянутый член, который нужно интегрировать по времени, исчезает, потому что задействованный временной интервал равен нулю, поэтому $d т = 0.$

Для двух других сторон региона стоит отметить, что $Икс \pm ct$ постоянная, а именно $Икс я \pm ct я$ , где знак выбран правильно. Используя это, мы можем получить соотношение $d Икс \pm c d т = 0$ , снова выбирая верный знак:

{ displaystyle { begin {align} int _ {L_ {1}} left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) , mathrm {d} t-u_ {t} ( x, t) , mathrm {d} x right) & = int _ {L_ {1}} left (cu_ {x} (x, t) , mathrm {d} x + cu_ {t } (x, t) , mathrm {d} t right) & = c int _ {L_ {1}} , mathrm {d} u (x, t) & = cu ( x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}). end {align}}}

И аналогично для последнего граничного сегмента:

{ displaystyle { begin {align} int _ {L_ {2}} left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) , mathrm {d} t-u_ {t} ( x, t) , mathrm {d} x right) & = - int _ {L_ {2}} left (cu_ {x} (x, t) , mathrm {d} x + cu_ { t} (x, t) , mathrm {d} t right) & = - c int _ {L_ {2}} , mathrm {d} u (x, t) & = cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}). end {align}}}

Складываем три результата вместе и возвращаем их в исходный интеграл:

{ Displaystyle { begin {align} iint _ {R_ {C}} s (x, t) , mathrm {d} x , mathrm {d} t & = - int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) , mathrm {d} x + cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}) + cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}) & = 2cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}) - int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i} } г (х) , mathrm {d} х конец {выровнено}}}

Решение для $ты (Икс я, т я)$ мы приходим к

{ displaystyle u (x_ {i}, t_ {i}) = { frac {f (x_ {i} + ct_ {i}) + f (x_ {i} -ct_ {i})} {2}} + { frac {1} {2c}} int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) , mathrm {d} x + { frac {1} {2c}} int _ {0} ^ {t_ {i}} int _ {x_ {i} -c left (t_ {i} -t right)} ^ {x_ {i } + c left (t_ {i} -t right)} s (x, t) , mathrm {d} x , mathrm {d} t.}

В последнем уравнении последовательности явно указаны границы интеграла по функции источника. Глядя на это решение, которое подходит для всех вариантов $(Икс я, т я)$ совместима с волновым уравнением, ясно, что первые два члена являются просто формулой Даламбера, как указано выше как решение однородного волнового уравнения в одном измерении. The difference is in the third term, the integral over the source.

Other coordinate systems

In three dimensions, the wave equation, when written in elliptic cylindrical coordinates, may be solved by separation of variables, leading to the Mathieu differential equation.

Further generalizations

Elastic waves

The elastic wave equation (also known as the Navier–Cauchy equation) in three dimensions describes the propagation of waves in an изотропный однородный эластичный средний. Most solid materials are elastic, so this equation describes such phenomena as сейсмические волны в земной шар и ультразвуковой waves used to detect flaws in materials. While linear, this equation has a more complex form than the equations given above, as it must account for both longitudinal and transverse motion:

{displaystyle ho {ddot {mathbf {u} }}=mathbf {f} +(lambda +2mu ) abla ( abla cdot mathbf {u} )-mu abla imes ( abla imes mathbf {u} )}

куда:

$λ$ и $μ$ так называемые Lamé parameters describing the elastic properties of the medium,
$ρ$ это плотность,
$ж$ is the source function (driving force),
и $ты$ is the displacement vector.

Используя $\nabla \times (\nabla \times ты) = \nabla(\nabla \cdot ты) - \nabla \cdot \nabla ты = \nabla(\nabla \cdot ты) - ∆ ты$ the elastic wave equation can be rewritten into the more common form of the Navier–Cauchy equation.

Note that in the elastic wave equation, both force and displacement are вектор количества. Thus, this equation is sometimes known as the vector wave equation.As an aid to understanding, the reader will observe that if $ж$ и $\nabla \cdot ты$ are set to zero, this becomes (effectively) Maxwell's equation for the propagation of the electric field $E$ , which has only transverse waves.

Отношение дисперсии

В диспергирующий wave phenomena, the speed of wave propagation varies with the wavelength of the wave, which is reflected by a соотношение дисперсии

{displaystyle omega =omega (mathbf {k} ),}

куда $ω$ это angular frequency и $k$ это волновой вектор описание плоская волна решения. For light waves, the dispersion relation is $ω = \pm c | k |$ , but in general, the constant speed $c$ gets replaced by a variable фазовая скорость:

{displaystyle v_{mathrm {p} }={frac {omega (k)}{k}}.}

Смотрите также

Примечания

^ Cannon, John T.; Dostrovsky, Sigalia (1981). The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. 6. Нью-Йорк: Springer-Verlag. pp. ix + 184 pp. ISBN 978-0-3879-0626-3.
^ GRAY, JW (July 1983). "ОТЗЫВЫ О КНИГЕ". Бюллетень (новая серия) Американского математического общества. 9 (1). (retrieved 13 Nov 2012).
^ Gerard F Wheeler. The Vibrating String Controversy, (retrieved 13 Nov 2012). Являюсь. J. Phys., 1987, v55, n1, p33–37.
^ For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. – the controversy about vibrating strings (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
^ For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, one can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18 (retrieved 9 Dec 2012).
^ ^а ^б ^c Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600–1800, п. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
^ Tipler, Paul and Mosca, Gene. Physics for Scientists and Engineers, Volume 1: Mechanics, Oscillations and Waves; Термодинамика, pp. 470–471 (Macmillan, 2004).
^ Эрик В. Вайсштейн. "d'Alembert's Solution". MathWorld. Получено 2009-01-21.
^
D'Alembert (1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, т. 3, pages 214–219.
- See also: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Further researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, т. 3, pages 220–249.
- See also: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration," Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, т. 6, pages 355–360.
^ http://math.arizona.edu/~kglasner/math456/linearwave.pdf.
^ V Guruprasad (2015), "Observational evidence for travelling wave modes bearing distance proportional shifts", EPL, 110 (5): 54001, arXiv:1507.08222, Bibcode:2015EL....11054001G, Дои:10.1209/0295-5075/110/54001, S2CID 42285652
^ Jackson, John David. Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. п. 425. ISBN 978-0-471-30932-1.
^ The initial state for "Investigation by numerical methods" is set with quadratic шлицы следующее:
${displaystyle u(0,x)=u_{0}left(1-left({frac {x-x_{1}}{x_{1}}} ight)^{2} ight)}$ за ${displaystyle 0leq xleq x_{2}}$
${displaystyle u(0,x)=u_{0}left({frac {x-x_{3}}{x_{1}}} ight)^{2}}$ за ${displaystyle x_{2}leq xleq x_{3}}$
${displaystyle u(0,x)=0}$ за ${displaystyle x_{3}leq xleq L}$
с ${displaystyle x_{1}={ frac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{sqrt { frac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{sqrt { frac {1}{2}}}x_{1}}$

внешняя ссылка

Нелинейные волновые уравнения к Стивен Вольфрам and Rob Knapp, Nonlinear Wave Equation Explorer к Wolfram Demonstrations Project.
Mathematical aspects of wave equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki.
Graham W Griffiths and William E. Schiesser (2009). Linear and nonlinear waves. Scholarpedia, 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308

[1] Cannon, John T.; Dostrovsky, Sigalia (1981). The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. 6. Нью-Йорк: Springer-Verlag. pp. ix + 184 pp. ISBN 978-0-3879-0626-3.

[2] GRAY, JW (July 1983). "ОТЗЫВЫ О КНИГЕ". Бюллетень (новая серия) Американского математического общества. 9 (1). (retrieved 13 Nov 2012).

[3] Gerard F Wheeler. The Vibrating String Controversy, (retrieved 13 Nov 2012). Являюсь. J. Phys., 1987, v55, n1, p33–37.

[4] For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. – the controversy about vibrating strings (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.

[5] For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, one can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18 (retrieved 9 Dec 2012).

[Speiser-6] а ^б ^c Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600–1800, п. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).

[Tipler-7] Tipler, Paul and Mosca, Gene. Physics for Scientists and Engineers, Volume 1: Mechanics, Oscillations and Waves; Термодинамика, pp. 470–471 (Macmillan, 2004).

[8] Эрик В. Вайсштейн. "d'Alembert's Solution". MathWorld. Получено 2009-01-21.

[9] D'Alembert (1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, т. 3, pages 214–219.
See also: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Further researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, т. 3, pages 220–249.
See also: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration," Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, т. 6, pages 355–360.

[10] See also: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Further researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, т. 3, pages 220–249.

[11] See also: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration," Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, т. 6, pages 355–360.

[10] ttp://math.arizona.edu/~kglasner/math456/linearwave.pdf.

[11] V Guruprasad (2015), "Observational evidence for travelling wave modes bearing distance proportional shifts", EPL, 110 (5): 54001, arXiv:1507.08222, Bibcode:2015EL....11054001G, Дои:10.1209/0295-5075/110/54001, S2CID 42285652

[12] Jackson, John David. Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. п. 425. ISBN 978-0-471-30932-1.

[13] The initial state for "Investigation by numerical methods" is set with quadratic шлицы следующее:
${displaystyle u(0,x)=u_{0}left(1-left({frac {x-x_{1}}{x_{1}}} ight)^{2} ight)}$ за ${displaystyle 0leq xleq x_{2}}$
${displaystyle u(0,x)=u_{0}left({frac {x-x_{3}}{x_{1}}} ight)^{2}}$ за ${displaystyle x_{2}leq xleq x_{3}}$
${displaystyle u(0,x)=0}$ за ${displaystyle x_{3}leq xleq L}$
с ${displaystyle x_{1}={ frac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{sqrt { frac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{sqrt { frac {1}{2}}}x_{1}}$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Navigation

Navigation

Themenportale

WikiDer > Волновое уравнение

Содержание

Вступление

Волновое уравнение в одном измерении пространства

Вывод волнового уравнения.

Из закона Гука

Напряжение пульса в баре

Общее решение

Алгебраический подход

Собственные моды плоской волны

Скалярное волновое уравнение в трех измерениях пространства

Сферические волны

Пример

Монохроматическая сферическая волна

Решение общей начальной задачи.

Скалярное волновое уравнение в двух измерениях пространства

Скалярное волновое уравнение в общей размерности и формулы Кирхгофа

Нечетные размеры

Четные размеры

Проблемы с границами

Одно космическое измерение

Формулировка Штурма – Лиувилля.

Исследование численными методами.

Несколько пространственных измерений

Неоднородное волновое уравнение в одном измерении

Other coordinate systems

Further generalizations

Elastic waves

Отношение дисперсии

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка