WikiDer > Aliquotsumme

In dem Zahlentheorie ist der Aliquotsumme von a natürliche Zahl das Summe des Real Teiler dieser Zahl.^[1]

In Formel:

${displaystyle s(n)=summe olimits _{d|n, deq n}d}$

Darin ist ${Anzeigestil s(n)}$ die aliquote Summe von ${displaystyle n}$ und bedeutet ${Anzeigestil d|n}$ Welche ${displaystyle d}$ „ist teilbar durch“ („ist ein Teiler von“) ${displaystyle n}$.

Anm. Von jeder natürlichen Zahl ${displaystyle n}$ ist ${Anzeigestil 1}$ ein (echter) Teiler.

Beispiele

• Die wahren Teiler von ${Anzeigestil 18}$ sein ${Anzeigestil 1,2,3,6,9}$. Dann ist:

${Anzeigestil s(18)=1 2 3 6 9=21}$

• Die wahren Teiler von ${Anzeigestil 6}$ sein ${Anzeigestil 1,2,3}$. So:

${Anzeigestil s(6)=1 2 3=6}$

• Die Nummer ${Anzeigestil 1}$ hast Nein echte Teiler. Daher per Definition: ${Anzeigestil s(1)=0}$.

Hinweis

Wenn die Funktion ${displaystyle s}$ wird mit der Funktion . definiert ${Displaystil-Sigma}$, bei welchem ${Displaystil-Sigma (n)}$ die summe ist von alle Teiler von ${displaystyle n}$, also wenn:

${Anzeigestil s(n)=Sigma (n)-n}$

dann (in der Tat) ${Anzeigestil s(1)=Sigma(1)-1=1-1=0}$.

Werte der Aliquotsumme

Vor dem ${Displaystil n=1,2,3,ldots,25}$ sind folgende Werte:^[2]

${Anzeigestil 0,1,1,3,1,6,1,7,4,8,1,16,1,10,9,15,1,21,1,22,11,14,1,36, 6}$

Die Funktion so mit Sondernummern

• wenn ${displaystyle n}$ ein Primzahl ist dann ${Anzeigestil s(n)=1}$.
• wenn ${displaystyle n}$ ein perfekte Zahl ist dann ${Anzeigestil s(n)=n}$.
• wenn ${displaystyle n}$ ein reichlich zahl ist dann ${Anzeigestil s(n)>n}$.
• wenn ${displaystyle n}$ ein fehlerhafte Nummer ist dann ${Anzeigestil s(n)$.
• Ist ${displaystyle n}$ eine Macht von ${Anzeigestil 2}$, So ${Anzeigestil n=2^{k}}$, dann ist:

${Anzeigestil s(n)=1 2 2^{2} ldots 2^{k-1}=2^{k}-1=n-1}$

Und so gilt diese Eigenschaft für alle fast perfekte Zahl.

Merkmale der Funktion ${Displaystil-Sigma}$

wenn ${Anzeigestil m,n}$ natürliche Zahlen sind das relativ prim sind dann:

${displaystyle sigma (mn) = sigma (m) cdot sigma (n)}$

Beweise

Beliebiger Teiler ${displaystyle d}$ der Zahl ${displaystyle mn}$ besteht aus Primfaktoren, die ${displaystyle m}$ Sitz- und Primfaktoren, die in sind ${displaystyle n}$ sitzen. weil ${Anzeigestil m,n}$ keinen gemeinsamen Nenner haben ist so ${displaystyle d}$ schreiben als ${displaystyle d=d_{m}d_{n}}$, bei welchem ${displaystyle d_{m}|m, d_{n}|n}$.
Und umgekehrt, die Wahl jedes Teilers ${displaystyle d_{m}}$ von ${displaystyle m}$ und Teiler ${displaystyle d_{n}}$ von ${displaystyle n}$ gibt einen Teiler von zurück ${displaystyle mn}$, nämlich ${displaystyle d_{m}cdot d_{n}}$.
Die Anzahl der Teiler von ${displaystyle mn}$ ist also gleich der Anzahl der Teiler von ${displaystyle m}$ mal die Anzahl der Teiler von ${displaystyle n}$.Dann ist:

${displaystyle sigma (mn)=summe olimits _{d | mn, deq mn}d=Summengrenzen _{d_{m}|m, d_{n}|n}d_{m}d_{n}=Summengrenzen _{d_{m}|m}d_{m}, cdot ,Summe olimits _{d_{n}|n}d_{n}=sigma (m),cdot ,sigma (n)}$

wenn ${displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}ldots p_{r}^{a_{r}}}$ ist die Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${displaystyle n}$, in welchem ${displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},ldots ,p_{r}}$ sind verschiedene Primzahlen (jeweils mit ${displaystyle a_{i}}$ als Exponent), dann:

${displaystyle sigma (n)=prod olimits _{i=1}^{r}{frac {p_{i}^{a_{i} 1}-1}{p_{i}-1}}}$

Folge

Ist die Primfaktorzerlegung einer Zahl ${displaystyle n}$ bekannt, dann kannst du ${Displaystil-Sigma (n)}$, und daher auch ${Anzeigestil s(n)}$, berechnet. Es ist jedoch nicht so einfach, sehr große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen.

Beispiel

Vor dem ${Anzeigestil n=24=2^{3}cdot 3}$ ist:

${displaystyle p_{1}=2, a_{1}=3, p_{2}=3, a_{2}=1}$.

So dass:

${displaystyle sigma (24)={frac {2^{4}-1}{2-1}}cdot {frac {3^{2}-1}{3-1}}=15cdot 4=60}$

Also: ${Anzeigestil s(24)=60-24=36}$.

Siehe auch

• Aliquot
• Unberührbare Nummer
• Hauptsatz der Arithmetik
• Arithmetische Funktion
• Multiplikative Funktion

Aliquot-Reihe

Die Funktion ${displaystyle s}$, angewendet ${displaystyle n}$, kann auch iteriert sein (wiederholt angewendet). Dadurch entsteht die Reihenfolge:

${Anzeigestil n,s(n),s(s(n)),s(s(s(n))),...}$

Diese Reihe wird zum Aliquot-Reihe der Zahl ${displaystyle n}$ erwähnt.

Beispiel

Vor dem ${Anzeigestil n=15}$ ist:

${Anzeigestil s(15)=1 3 5=9, s(9)=1 3=4, s(4)=1 2=3, s(3)=1, s(1)=0}$

Die aliquote Reihe von ${Anzeigestil 15}$ ist dann: ${Anzeigestil 15,9,4,3,1,0}$.