WikiDer > Genaue Zeile

In dem Mathematik, insbesondere im Teilgebiet der Theorie der Ringe und Module, das homologische Algebra ebenso wie Differentialgeometrie und der Gruppentheorie, ist ein genaue Zeile eine solche endliche oder unendliche Ordnung von Objekte und Morphismen dazwischen, dass es Statue eines Morphismus ist gleich dem Kern des nächsten Morphismus.

Definition

Die einfachste Form von a genaue Zeile ist die Folge von Objekten ${Anzeigestil A,B,C}$ und Morphismen ${Anzeigestil f,g}$ zwischen

${Displaystil A{xrightarrow {f}}B{xrightarrow {g}}C}$

in dem das Bild von ${Anzeigestil A}$ unten ${displaystyle f}$ Der Kern von ${displaystyle g}$:

${Anzeigestil f(A)=ker g}$

Eine längere Folge von Objekten (möglicherweise unendlich, sowohl nach links als auch nach rechts) und Morphismen dazwischen:

${displaystyle A_{1} o A_{2} o A_{3} o Punkte o A_{n-1} o A_{n}}$

heißt a genaue Zeile wenn jeder kurze Teil darin genau ist.

Kurze genaue Reihe

Am gebräuchlichsten ist die kurze genaue Reihe

${Displaystil A{xrightarrow {f}}B{xrightarrow {g}}C}$,

in welchem ${displaystyle f}$ ein Monomorphismus und ${displaystyle g}$ ein Epimorphismus ist.

Eine kurze genaue Abfolge von abelsche Gruppen kann auch als exakte Reihe von fünf Objekten geschrieben werden:

${displaystyle 0 o A;{xrightarrow {f}}B{xrightarrow {g}}C o 0}$,

wobei 0 ein Start- und Endobjekt darstellt, wie z triviale Gruppe oder einen Vektorraum der Dimension 0. Indem Sie Start- und Endobjekte in die exakte Zeile einbeziehen, ${displaystyle f}$ notwendigerweise ein Monomorphismus und ${displaystyle g}$ zwangsläufig ein Epimorphismus.

Handelt es sich bei den Objekten um Gruppen, von denen nicht bekannt ist, ob sie abelsch sind, werden die Gruppenoperationen üblicherweise als Multiplikation geschrieben. Das Identitätselement wird dann als 1 geschrieben, ebenso wie die triviale Gruppe. Eine kurze exakte Sequenz kann dann geschrieben werden als:

${displaystyle 1 o A{xrightarrow {f}}B{xrightarrow {g}}C o 1}$.