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In dem Mathematik, insbesondere in der Analyse, ist Lipschitz-Kontinuität, benannt nach Rudolf Lipschitz, eine Eigenschaft von Funktionen das ist stärker als sonst Kontinuität und einheitliche Kontinuität. Einfach gesagt, ein Lippenschitz-kontinuierliche Funktion eingeschränkt in dem Ausmaß, in dem die Funktion den Wert ändern kann. Eine Linie, die zwei beliebige Punkte auf dem verbindet Diagramm einer solchen Funktion, kein steiler Steigung haben eine gewisse Grenze, die sogenannte Lipschitz-Konstante der Funktion.

Definition

Eine echte Funktion ${displaystyle f}$, definiert auf einer Teilmenge ${Anzeigestil D}$ des reale Nummern heiß lipschitz-kontinuierlich wenn es eine Zahl gibt ${Anzeigestil L}$ ist, damit für alle ${Anzeigestil x,yin D}$ gilt:

${Anzeigestil |f(x)-f(y)|leq L,|x-y|}$

Der Begriff der Lipschitz-Stetigkeit kann sehr allgemein definiert werden als metrische Räume.

Eine Funktion ${displaystyle f:D oder W}$ einer Teilmenge ${Anzeigestil D}$ des metrischen Raums ${Anzeigestil (V,Delta)}$ zum metrischen Raum ${Anzeigestil (W,d),}$ heiß lipschitz-kontinuierlich wenn es eine Zahl gibt ${Anzeigestil L>0}$ ist, damit für alle ${Anzeigestil x,yin D}$ gilt:

${Anzeigestil d(f(x),f(y))leq L,delta (x,y)}$

Die kleinste Zahl ${Anzeigestil L}$ für die diese Ungleichung richtig ist, heißt die Lipschitz-Konstante von ${Anzeigestil f.}$

Eine weitere Verallgemeinerung der Lipschitz-Stetigkeit heißt hölder Kontinuität.

In der Theorie der Differentialgleichung, ist die Lipschitz-Stetigkeit die zentrale Bedingung für die Picard–Lindelöf .theorem. Lipschitz-Kontinuität garantiert es existieren und der Einzigartigkeit des Lösung Für ein Anfangswertproblem. In dem Kontraktionssatz von Banach verwendet eine spezielle Art von Lipschitz-Kontinuität, die Kontraktion wird genannt.