WikiDer > Матьё группа М12

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Матье M₁₂ это спорадическая простая группа из порядок

   12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 2⁶ · 3³ · 5 · 11 = 95040.

История и свойства

M₁₂ является одной из 26 спорадических групп и была введена Матье (1861, 1873). Это резко 5-переходный группа перестановок на 12 объектов. Бургойн и Фонг (1968) показал, что Множитель Шура из M₁₂ имеет порядок 2 (исправление ошибки в (Бургойн и Фонг 1966) где они неправильно заявили, что у него порядок 1).

Двойная крышка была неявно обнаружена ранее Кокстер (1958), который показал, что M₁₂ является подгруппой проективная линейная группа размерности 6 над конечное поле с 3 элементами.

В группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2, а полная группа автоморфизмов M₁₂.2 содержится в M₂₄ как стабилизатор пары дополнительных додекад из 24 точек с внешними автоморфизмами M₁₂ поменять местами два додекада.

Представления

Фробениус (1904) вычислил комплексную таблицу символов M₁₂.

M₁₂ имеет строго 5-транзитивное перестановочное представление на 12 точках, стабилизатором которых является Матьё группа М₁₁. Отождествляя 12 точек с проективной линией над полем из 11 элементов, M₁₂ порождается перестановками PSL₂(11) вместе с перестановкой (2,10) (3,4) (5,9) (6,7). Это перестановочное представление сохраняет Система Штейнера S (5,6,12) 132 специальных гексад, таких, что каждая пентада содержится ровно в 1 специальной гексаде, а гексады являются опорами кодовых слов веса 6 расширенного троичный код Голея. На самом деле M₁₂ имеет два неэквивалентных действия на 12 точках, замененных внешним автоморфизмом; они аналогичны двум неэквивалентным действиям симметрической группы S₆ на 6 баллов.

Двойная крышка 2.M₁₂ группа автоморфизмов расширенного троичный код Голея, код размерности 6, длина 12, над полем порядка 3 минимального веса 6. В частности, двойная крышка имеет неприводимое 6-мерное представление над полем из 3 элементов.

Двойная крышка 2.M₁₂ группа автоморфизмов любого 12 × 12 Матрица Адамара.

M₁₂ централизует элемент порядка 11 в группа монстров, в результате чего он естественным образом действует на вершинная алгебра над полем с 11 элементами, заданными как Когомологии Тейта из монстр вершинная алгебра.

Максимальные подгруппы

Всего существует 11 классов сопряженности максимальных подгрупп группы M₁₂, 6, встречающиеся в автоморфных парах, а именно:

• M₁₁, порядок 7920, индекс 12. Есть два класса максимальных подгрупп, обмениваемых внешним автоморфизмом. Одна - это подгруппа, фиксирующая точку с орбитами размера 1 и 11, а другая действует транзитивно на 12 точках.
• S₆: 2 = M₁₀.2 группа внешних автоморфизмов симметрической группы S₆ порядка 1440, индекс 66. Есть два класса максимальных подгрупп, обмениваемых внешним автоморфизмом. Один непристойный и транзитивный, действующий с 2 ​​блоками по 6, в то время как другой - подгруппа, фиксирующая пару точек и имеющая орбиты размера 2 и 10.
• PSL (2,11), порядок 660, индекс 144, дважды транзитивный по 12 точкам
• 3²: (2.S₄), порядок 432. Есть два класса максимальных подгрупп, обмениваемых внешним автоморфизмом. Один действует с орбитами 3 и 9, а другой импримитивен на 4 наборах по 3.

Изоморфна аффинной группе на пространстве C₃ х С₃.

• S₅ x 2, порядок 240, дважды импримитивный на 6 сетов по 2 балла

Центратор шестикратного транспонирования

• Q: S₄, порядок 192, орбиты 4 и 8.

Центратор четверного транспонирования

• 4²: (2 x S₃), порядок 192, импримитив на 3 наборах по 4
• А₄ х S₃, порядок 72, дважды импримитивный, 4 набора по 3 балла.

Классы сопряженности

Форма цикла элемента и его сопряженного при внешнем автоморфизме связаны следующим образом: объединение двух форм цикла уравновешено, другими словами, инвариантно при изменении каждой из них. п-цикл к N/п цикл для некоторого целого числа N.

Рекомендации

• Адем, Алехандро; Магиннис, Джон; Милграм, Р. Джеймс (1991), "Геометрия и когомологии группы Матье M₁₂", Журнал алгебры, 139 (1): 90–133, Дои:10.1016 / 0021-8693 (91) 90285-Г, ISSN 0021-8693, МИСТЕР 1106342
• Burgoyne, N .; Фонг, Пол (1966), «Множители Шура групп Матье», Нагойский математический журнал, 27 (2): 733–745, Дои:10.1017 / S0027763000026519, ISSN 0027-7630, МИСТЕР 0197542
• Burgoyne, N .; Фонг, Пол (1968), "Поправка к:" Множители Шура групп Матье."", Нагойский математический журнал, 31: 297–304, Дои:10.1017 / S0027763000012782, ISSN 0027-7630, МИСТЕР 0219626
• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-65378-7
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60300-1, МИСТЕР 0075938
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах»в Powell, M. B .; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы, Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, МИСТЕР 0338152 Перепечатано в Конвей и Слоан (1999), 267–298)
• Конвей, Джон Хортон; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Curtis, R.T .; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9, МИСТЕР 0827219
• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN 978-0-387-98585-5, МИСТЕР 0920369
• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1958), «Двенадцать точек в PG (5,3) с 95040 самотрансформациями», Труды Лондонского королевского общества. Серия A: математические, физические и технические науки, 247 (1250): 279–293, Дои:10.1098 / rspa.1958.0184, ISSN 0962-8444, JSTOR 100667, МИСТЕР 0120289
• Кертис, Р. Т. (1984), «Система Штейнера S (5, 6, 12), группа Матье M₁₂ и« котенок »"", в Аткинсоне, Майкл Д. (ред.), Вычислительная теория групп. Труды симпозиума Лондонского математического общества, проходившего в Дареме 30 июля - 9 августа 1982 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 353–358, ISBN 978-0-12-066270-8, МИСТЕР 0760669
• Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
• Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок, Тексты для выпускников по математике, 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN 978-0-387-94599-6, МИСТЕР 1409812
• Фробениус, Фердинанд Георг (1904 г.), "Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (на немецком языке), Königliche Akademie der Wissenschaften, Берлин, 16: 558–571, ​​Печатается в третьем томе его собрания сочинений.
• Джилл, Ник; Хьюз, Сэм (2019), "Таблица характеров резко 5-транзитивной подгруппы знакопеременной группы степени 12", Международный журнал теории групп, Дои:10.22108 / IJGT.2019.115366.1531
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN 978-3-540-62778-4, МИСТЕР 1707296
• Хьюз, Сэм (2018), Теория представлений и характеров малых групп Матье (PDF)
• Матье, Эмиль (1861), "Mémoire sur l'etude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменные", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
• Матье, Эмиль (1873 г.), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 Quantités", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), 18: 25–46, JFM 05.0088.01^{[постоянная мертвая ссылка]}
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок до сферических упаковок и простых групп, Математические монографии Каруса, 21, Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-023-7, МИСТЕР 0749038
• Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, Дои:10.1007 / BF02948948, ISSN 0025-5858
• Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, Дои:10.1007 / BF02948947

внешняя ссылка

• MathWorld: Группы Матье
• Атлас представлений конечных групп: M₁₂