WikiDer > Матьё группа М12

Mathieu group M12

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Матье M12 это спорадическая простая группа из порядок

   12 · 11 · 10 ·· 8 = 26 · 33 ·· 11 = 95040.

История и свойства

M12 является одной из 26 спорадических групп и была введена Матье (1861, 1873). Это резко 5-переходный группа перестановок на 12 объектов. Бургойн и Фонг (1968) показал, что Множитель Шура из M12 имеет порядок 2 (исправление ошибки в (Бургойн и Фонг 1966) где они неправильно заявили, что у него порядок 1).

Двойная крышка была неявно обнаружена ранее Кокстер (1958), который показал, что M12 является подгруппой проективная линейная группа размерности 6 над конечное поле с 3 элементами.

В группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2, а полная группа автоморфизмов M12.2 содержится в M24 как стабилизатор пары дополнительных додекад из 24 точек с внешними автоморфизмами M12 поменять местами два додекада.

Представления

Фробениус (1904) вычислил комплексную таблицу символов M12.

M12 имеет строго 5-транзитивное перестановочное представление на 12 точках, стабилизатором которых является Матьё группа М11. Отождествляя 12 точек с проективной линией над полем из 11 элементов, M12 порождается перестановками PSL2(11) вместе с перестановкой (2,10) (3,4) (5,9) (6,7). Это перестановочное представление сохраняет Система Штейнера S (5,6,12) 132 специальных гексад, таких, что каждая пентада содержится ровно в 1 специальной гексаде, а гексады являются опорами кодовых слов веса 6 расширенного троичный код Голея. На самом деле M12 имеет два неэквивалентных действия на 12 точках, замененных внешним автоморфизмом; они аналогичны двум неэквивалентным действиям симметрической группы S6 на 6 баллов.

Двойная крышка 2.M12 группа автоморфизмов расширенного троичный код Голея, код размерности 6, длина 12, над полем порядка 3 минимального веса 6. В частности, двойная крышка имеет неприводимое 6-мерное представление над полем из 3 элементов.

Двойная крышка 2.M12 группа автоморфизмов любого 12 × 12 Матрица Адамара.

M12 централизует элемент порядка 11 в группа монстров, в результате чего он естественным образом действует на вершинная алгебра над полем с 11 элементами, заданными как Когомологии Тейта из монстр вершинная алгебра.

Максимальные подгруппы

Всего существует 11 классов сопряженности максимальных подгрупп группы M12, 6, встречающиеся в автоморфных парах, а именно:

  • M11, порядок 7920, индекс 12. Есть два класса максимальных подгрупп, обмениваемых внешним автоморфизмом. Одна - это подгруппа, фиксирующая точку с орбитами размера 1 и 11, а другая действует транзитивно на 12 точках.
  • S6: 2 = M10.2 группа внешних автоморфизмов симметрической группы S6 порядка 1440, индекс 66. Есть два класса максимальных подгрупп, обмениваемых внешним автоморфизмом. Один непристойный и транзитивный, действующий с 2 ​​блоками по 6, в то время как другой - подгруппа, фиксирующая пару точек и имеющая орбиты размера 2 и 10.
  • PSL (2,11), порядок 660, индекс 144, дважды транзитивный по 12 точкам
  • 32: (2.S4), порядок 432. Есть два класса максимальных подгрупп, обмениваемых внешним автоморфизмом. Один действует с орбитами 3 и 9, а другой импримитивен на 4 наборах по 3.
Изоморфна аффинной группе на пространстве C3 х С3.
  • S5 x 2, порядок 240, дважды импримитивный на 6 сетов по 2 балла
Центратор шестикратного транспонирования
  • Q: S4, порядок 192, орбиты 4 и 8.
Центратор четверного транспонирования
  • 42: (2 x S3), порядок 192, импримитив на 3 наборах по 4
  • А4 х S3, порядок 72, дважды импримитивный, 4 набора по 3 балла.

Классы сопряженности

Форма цикла элемента и его сопряженного при внешнем автоморфизме связаны следующим образом: объединение двух форм цикла уравновешено, другими словами, инвариантно при изменении каждой из них. п-цикл к N/п цикл для некоторого целого числа N.

ЗаказЧислоЦентрализаторЦиклыСлияние
1195040112
239624026
24951921424
31760541333
326403634
42970322242Слитый под внешним автоморфизмом
42970321442
59504101252
679201262
61584061 2 3 6
8118808122 8Слитый под внешним автоморфизмом
81188084 8
109504102 10
118640111 11Слитый под внешним автоморфизмом
118640111 11

Рекомендации

внешняя ссылка