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In dem Gruppentheorie, Teil von dem abstrakte Algebra, ist ein Co-Klasse in einem Gruppe${Anzeigestil G}$ ein Teilmenge${Anzeigestil gH}$ oder ${Anzeigestil Hg}$ von ${Anzeigestil G}$, die aus den Produkten eines Elements besteht ${displaystyle Gin G}$ und die Elemente von a Untergruppe${Anzeigestil H}$ von ${Anzeigestil G}$. Die Co-Klasse ${Anzeigestil gH}$ von ${displaystyle g}$ relativ zu ${Anzeigestil H}$ heiß linke seite klasse und die Co-Klasse ${Anzeigestil Hg}$rechte seite klasse. sind Co-Klassen Äquivalenzklassen, oder mit anderen Worten, sie bilden a Partition aus der Gruppe. Die Anzahl der Elemente in einer Co-Klasse ${Anzeigestil gH}$ oder ${Anzeigestil Hg}$ gleich der Anzahl der Elemente der Untergruppe ${Anzeigestil H}$ selbst.

Definition

Sie ${Anzeigestil G}$ eine Gruppe, ${Anzeigestil H}$ eine Teilmenge von ${Anzeigestil G}$ und ${displaystyle g}$ ein Element von ${Anzeigestil G}$.

Das linke seite klasse${Anzeigestil gH}$ von ${displaystyle g}$ relativ zu ${Anzeigestil H}$ ist die Menge der Produkte von Elementen von ${Anzeigestil H}$, Links zusammengesetzt mit ${displaystyle g}$:

${displaystyle gH={ghmid hinH}}$.

Die Menge aller linken Cousins ​​​​von ${Anzeigestil H}$ im ${Anzeigestil G}$ wird normalerweise geschrieben als ${Anzeigestil G/H}$.

Das rechte seite klasse${Anzeigestil Hg}$ von ${displaystyle g}$ relativ zu ${Anzeigestil H}$ ist die Menge der Produkte von Elementen von ${Anzeigestil H}$, rechte Verbindung mit ${displaystyle g}$:

${displaystyle Hg={hgmid hin H}}$.

Die Menge aller richtigen Cousin-Klassen von ${Anzeigestil H}$ im ${Anzeigestil G}$ wird normalerweise geschrieben als ${displaystyle G ackslash H}$

Äquivalenzbeziehung

Zwei Elemente ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ aus der Gruppe ${Anzeigestil G}$ sein Äquivalent wenn sie derselben Co-Klasse angehören ${Anzeigestil gH}$ gehören.

${Anzeigestil asim b}$ wie für a ${displaystyle Gin G}$: ${displaystyle a,bin gH}$.

Dies bedeutet, dass es ein ${Anzeigestil hin H}$ ist so, dass:

${displaystyle b=ah}$.

Die linken sekundären Klassen sind somit die Äquivalenzklassen dieser Relation.

Kommutativität

In einem abelsche Gruppe linke und rechte Cousins ​​​​sind gleich In einer nicht-abelschen Gruppe können sich linke und rechte Cousinen unterscheiden. Das Normalisierer von ${Anzeigestil H}$ im ${Anzeigestil G}$ ist die Menge der Elemente von ${Anzeigestil G}$ für die die beteiligten linken und rechten Cousins ​​​​identisch sind.

Wenn die linken und rechten Cousins ​​​​einer Untergruppe ${Anzeigestil H}$ für alle Elemente von identisch sein ${Anzeigestil G}$, heiß ${Anzeigestil H}$ ein normaler sub von ${Anzeigestil G}$ und man spricht von Co-Klassen. In diesem Fall können Sie ${Anzeigestil G/H}$ auch ausgestattet mit a Gruppenbearbeitung und wird der Faktorgruppe von ${Anzeigestil G}$ Über ${Anzeigestil H}$ erwähnt.

In einer abelschen Gruppe sind alle Untergruppen normale Untergruppen.

Beispiele

Beispiel in einer abelschen Gruppe

Bedenke die Vielfaches von 8 wenn Untergruppe des ganze Zahlen mit üblichem Zusatz:

${displaystyle 8mathbb {Z} ={ldots ,-16,-8,0,8,16,24,ldots}}$

Die Co-Klasse der Zahl 35 besteht aus allen Vielfachen von 8, plus 3:

${displaystyle 8mathbb {Z} 35=8mathbb {Z} 3={ldots ,-5,3,11,19,27,35,ldots}}$

Es ist der Restklasse von 3 (und von 35) bei Division durch 8.

Beispiel in einer nicht-abelschen Gruppe

Betrachten Sie die Gruppe SO(3) der Drehungen des realen dreidimensionalen Platz. Das ist ein Lügengruppe, aber in diesem Beispiel nur die algebraische Struktur eine Rolle. Betrachten Sie ein Orthonormal Koordinatensystem${Anzeigestil(x,y,z)}$ und Name ${Anzeigestil H}$ die Untermenge von ${Anzeigestil SO(3)}$ die aus den Drehungen um den . besteht ${Anzeigestil z}$-Asche. Name ${displaystyle r}$ die Drehung um a rechter Winkel um die ${Anzeigestil y}$-als dass die ${Anzeigestil z}$-Achse auf der ${Anzeigestil x}$-Achse, unter Beibehaltung der Orientierung (die positive Seite des ${Anzeigestil z}$-Achse liegt auf der positiven Seite des ${Anzeigestil x}$Achse abgebildet).

Die linke Klasse ${Anzeigestil rH}$ besteht aus allen Drehungen, die die ${Anzeigestil z}$Achse unter Beibehaltung der Orientierung auf der ${Anzeigestil x}$-Achsen-Anzeige. Die rechte Seite Klasse ${displaystyle HR}$ besteht aus allen Drehungen, die die ${Anzeigestil x}$-Achse mit Orientierungsumkehr auf der ${Anzeigestil z}$-Achsen-Anzeige. Beide Co-Klassen unterscheiden sich voneinander und haben sogar ein Element gemeinsam, nämlich ${displaystyle r}$ selbst.

Die Untergruppe ${Anzeigestil H}$ ist keine normale Teilmenge von ${Anzeigestil SO(3)}$. Der Normalisierer von ${Anzeigestil H}$ im ${Anzeigestil SO(3)}$ ist ${Anzeigestil H}$ selbst.

Kardinalität

Die Komposition mit einem festen Element ${displaystyle g}$ ist ein Permutation von ${Anzeigestil G}$, also alle Co-Klassen von ${Anzeigestil H}$ haben so viele Elemente wie ${Anzeigestil H}$ selbst.

Die verschiedenen linken Unterklassen von ${Anzeigestil H}$ sind gegenseitig zusammenhangslos.

Aus dem Obigen folgt für endliche Gruppen das Satz von Lagrange über die Auftrag, die Anzahl der Elemente einer Untergruppe:

Die Reihenfolge von ${Anzeigestil G}$ ist das Produkt der Ordnung von ${Anzeigestil H}$ und die Anzahl der linken Cousins ​​​​von ${Anzeigestil H}$ im ${Anzeigestil G}$.

Ähnliche Schlussfolgerungen gelten natürlich auch für die richtigen Unterklassen.