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Parallellogram van Varignon
EFGH ist das Parallelogramm von Varignon von ABCD.

Die Zentren der Seiten von a Viereck liegen immer auf den Eckpunkten von a Parallelogramm. Dieses Parallelogramm heißt Parallelogramm von Varignon, nach dem französischen Mathematiker Pierre Varignon (1654-1722). Das Gestell dass die vier Ecken auf einem Parallelogramm liegen, nennt man den Satz von Varignon.

Es Beweis des Satzes von Varignon geht wie folgt. Angenommen, die Eckpunkte des Vierecks sind ABCD. Das Liniensegment EF, das das Zentrum E von AB und das Zentrum F von BC verbindet, ist parallel zu AC. EF ist a mittelparallel des Dreiecks ABC. Das Liniensegment GH, das die Mittelpunkte von G von CD und H von AD verbindet, ist ebenfalls parallel, also sind EF und HG parallel. EH und FG sind aus dem gleichen Grund parallel, daher ist EFGH ein Parallelogramm.

Für ein konvex Viereck gilt:

  • Das Umfang des Parallelogramms von Varignon ist gleich der Summe der Längen der Diagonalen des ursprünglichen Vierecks.
  • Das Oberfläche des Parallelogramms von Varignon entspricht der Hälfte der Fläche des ursprünglichen Vierecks.

Für ein gegebenes Parallelogramm gibt es unendlich viele Vierecke, die dies als Parallelogramm von Varignon haben, darunter sind sogar unendlich viele akkordische Vierecke. Das Zentren des umschriebene Kreise dieser Sehnenvierecke liegen auf den gleichseitigen Hyperbel, die auf das gegebene Parallelogramm umschrieben wird.

Drei Beispiele für Varignon-Parallelogramme werden hier gegeben.

konvexes Viereckeingerücktes Viereckgekreuztes Viereck

Satz von Varignon convex.png

Satz von Varignon nonconvex.png

Satz von Varignon gekreuzt.png

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