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Vierecke

Vierecke aus Schnur.

Das vollständige Viereck ABCD mit Diagonalpunkten P, Q und R. U und V liegen harmonisch bezüglich Q und R.

Ein vollständiges Viereck mit der Gaußschen Geraden.

Satz von Miquel für ein vollständiges Viereck.

EIN Viereck ist ein Geometer Figur bestehend aus vier Scheitelpunkte und vier Seiten, und hat somit auch vier Ecken. Es ist auf dem Dreieck nach dem einfachsten Polygon oder Polygon. Die Winkelsumme eines Vierecks beträgt 360 Grad. Ein nicht konvexes Viereck wird zu konkav erwähnt. Ein Viereck mit vier verschiedenen Ecken heißt degenerieren wenn eine der Ecken a . ist geraden Winkel ist. Die eingeschlossene Fläche entspricht dann der eines Dreiecks.

Ein Viereck kann oder darf nicht konvex sein. Äquivalente Kriterien für die Konvexität sind:

• Die von den vier Seiten eingeschlossene Fläche ist a konvexe Sammlung.
• Beide Diagonalen liegen im Viereck. Wenn eine Diagonale teilweise mit einer ihrer Seiten zusammenfällt, ist das Viereck entartet.
• Für jede Seite, wenn sie zu einer Linie verlängert wird, befindet sich das gesamte Viereck auf einer Seite oder trivialerweise auf dieser Linie.
• Keiner der Eckpunkte liegt innerhalb des Dreiecks, das von den anderen drei Eckpunkten gebildet wird.
• Kein Winkel des Vierecks ist größer als 180 Grad.

Einige spezielle Vierecke, die alle konvex sind:

• trapezförmig - Ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten
• Parallelogramm - Ein Viereck, dessen vier Seiten zu zweit parallel sind
• Rechteck - Ein Viereck mit vier gerade Ecken
• Drachen - Ein Viereck mit zwei Paaren gleich benachbarter Seiten
• Quadrat - Ein Viereck mit vier gleichen Seiten und vier rechten Winkeln (es ist a regelmäßiges Vieleck)
• Rhombus - Ein Viereck mit vier gleichen Seiten

Spezielle Vierecke

Kabelgebundenes Viereck

sehen Schnurviereck für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen vier Eckpunkte auf demselben liegen Kreis Lüge. Die vier Seiten sind also Schnüre von diesem umschriebener Kreis. Die Summe der gegenüberliegenden Winkel in einem zyklischen Viereck beträgt 180 Grad. Der Beweis dafür beruht auf Eigenschaften von Mitten- und UmfangswinkelEin Rechteck und ein Quadrat sind sehnige Vierecke, ein unregelmäßiges Viereck kann nur dann ein zyklisches Viereck und ein Trapez sein, wenn es gleichschenklig ist.

Ein konvexes Viereck A B C D ist ein Sehnenviereck dann und nur dann, wenn

${displaystyle ABcdot CD BCcdot AD=ACcdot BD}$

Diese Eigenschaft ist die Satz von Ptolemäus.

Tangentiale Vierecke

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen vier Seiten denselben Kreis tangieren. Die vier Seiten sind also Tangenten dazu eingeschriebener Kreis.wenn ein und c sind die Längen der gegenüberliegenden Seiten und b und d auch dann gilt das a c=b d.Für die Oberfläche ein eines Tangentenvierecks gilt: A=(ODER)/2 bei welchem Ö der Umfang ist, also O=2(a c) oder O=2(b d), und R der Radius des Kreises.

Drachen, Raute und Quadrat sind tangentiale Vierecke.

Bizentrisches Viereck

Ein Viereck, das sowohl ein Sehnenviereck als auch ein Tangentenviereck ist, wird als bizentrisches Viereck bezeichnet. Ein Quadrat ist ein bizentrisches Viereck. Wann R ist der Radius des umschriebenen Kreises, r der des eingeschriebenen Kreises und δ der Abstand zwischen den beiden Zentren dieser Kreise, dann

${displaystyle {frac {1}{(R-delta)^{2}}} {frac {1}{(R-delta )^{2}}}={frac {1}{r^{2}}} }$.

Orthodiagonales Viereck

Ein orthodiagonales Viereck ist ein Viereck, dessen Diagonalen sich im rechten Winkel schneiden. wenn ein und c sind die Längen der gegenüberliegenden Seiten und b und d auch dann ist ein Viereck genau dann orthodiagonal, wenn ein² c²=b² d².

Drachen, Raute und Quadrat sind Beispiele für ein orthodiagonales Viereck.

Volles Viereck

Nimm vier Punkte A, B, C und d, von denen keine drei fluchten, mit allen sechs möglichen Verbindungslinien, dann nennt man diese Figur ein vollständiges Viereck. Die Kreuzungen P, Q und R heißen die Diagonalpunkte des gesamten Vierecks.

Ein vollständiges Viereck ist ein (4₃,6₂) Aufbau.

Eigenschaften des vollen Vierecks

• Eine Linie durch zwei diagonale Punkte schneidet die anderen Seiten an zwei Punkten relativ zu den diagonalen Punkten harmonisch liegen.
• Das Orthopole einer Geraden in Bezug auf die vier Dreiecke ABC, ABD, BCD und ACD sind an der Reihe.

Volle vier Seiten

Nimmt man genau vier Geraden, von denen keine zwei parallel sind, mit allen sechs möglichen Schnittpunkten, dann heißt die Figur ein vollständiges Viereck. Die drei Linien zwischen Scheitelpunkten, die noch keine Seite sind, werden Diagonalen genannt. Das vollständige Viereck ist das Doppelversion des gesamten Vierecks.

Ein volles Viereck ist ein (6₂,4₃) Aufbau.

Vollständige vierseitige Eigenschaften

• Die Mittelpunkte der Diagonalen eines vollständigen Vierecks sind kollinear. Die Stützlinie heißt Gauss-Gerade, benannt nach Carl Friedrich Gauß, oder Newtons Linie, benannt nach Isaac Newton. berührt a Kegelschnitt auf den vier Seiten, dann liegt sein Zentrum auch auf dieser Linie. Insbesondere liegt der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises einer vierseitigen Tangente auf der Gauß/Newton-Linie.
• Der Satz von Miquel für ein vollständiges Viereck besagt, dass die Umkreise der vier Dreiecke in einem vollständigen Viereck durch einen gemeinsamen Schnittpunkt, den Miquel-Punkt, gehen. Die vier Mittelpunkte dieser Kreise und der Miquel-Punkt liegen ebenfalls auf einem Kreis.
• Das Höhepunkte der vier Dreiecke in einem vollständigen Viereck liegen auf einer Linie senkrecht zur Gauß/Newton-Linie.
• Der Orthopol einer der Linien in Bezug auf das Dreieck, das von den anderen drei gebildet wird, liegt auf dieser gleichen Höhenlinie.
• Die Orthopole einer fünften Linie bezüglich der vier Dreiecke, die mit den vier Linien gebildet werden können, sind ausgerichtet.
• Die drei Kreise mit den Diagonalen eines vollständigen Vierecks as Mittellinie gehören zum selben Kreisbündel. Die Linie durch die Spitze der vier Dreiecke ist die is Stromleitung dieses Kreisbündels.
• Die Fußpunkte von Miquels Punkt auf den vier Seiten sind ausgerichtet, und diese Linie ist parallel zur Linie der Höhen.

Siehe auch

• Polygon
• Pentagon

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