WikiDer > Текущая вероятность - Википедия

Часть серии на
Квантовая механика
${ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial} { partial t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик (отложенный выбор) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Candlin Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В квантовая механика, то ток вероятности (иногда называют вероятность поток) - математическая величина, описывающая поток вероятность с точки зрения вероятности в единицу времени на единицу площади. В частности, если описать плотность вероятности как неоднородный жидкость, то ток вероятности - это скорость потока этой жидкости. Это аналогично массовые токи в гидродинамика и электрические токи в электромагнетизм. Это настоящий вектор, как электрический плотность тока. Концепция тока вероятности - полезный формализм в квантовой механике. Ток вероятности инвариантный под Преобразование датчика.

Определение (нерелятивистский 3-токовый)

Частица со свободным спином 0

В нерелятивистской квантовой механике ток вероятности j из волновая функция ${ displaystyle Psi}$ в одном измерении определяется как ^[1]

${ displaystyle j = { frac { hbar} {2mi}} left ( Psi ^ {*} { frac { partial Psi} { partial x}} - Psi { frac { partial Пси ^ {*}} { partial x}} right),}$

куда ${ displaystyle Psi ^ {*}}$ обозначает комплексно сопряженный из волновая функция, пропорциональный Вронскиан ${ Displaystyle W ( Psi, Psi ^ {*})}$.

В трех измерениях это обобщается на

${ displaystyle mathbf {j} = { frac { hbar} {2mi}} left ( Psi ^ {*} mathbf { nabla} Psi - Psi mathbf { nabla} Psi ^ { *}верно),,}$

куда час сокращенный Постоянная Планка, м это частица масса, Ψ это волновая функция, а ∇ обозначает дель или же градиент оператор.

Это можно упростить с точки зрения оператор кинетического момента,

${ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla}$

чтобы получить

${ displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}) } Psi ^ {*} right) ,.}$

В этих определениях используется позиционный базис (т.е. для волновой функции в позиционное пространство), но импульсное пространство возможно.

Частица со спином 0 в электромагнитном поле

Приведенное выше определение следует изменить для системы во внешнем электромагнитное поле. В Единицы СИ, а заряженная частица массы м и электрический заряд q включает член, связанный с взаимодействием с электромагнитным полем;^[2]

${ displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}} Psi ^ {*} right) -2q mathbf {A} | Psi | ^ {2} right] , !}$

куда А = А(р, t) - это магнитный потенциал (он же "А-поле "). Термин qА имеет размеры импульса. Обратите внимание, что ${ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla}$ здесь используется канонический импульс и не калибровочный инвариант, в отличие от оператор кинетического момента ${ displaystyle mathbf { hat {P}} = -i hbar nabla -q mathbf {A}}$.

В Гауссовы единицы:

${ displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}} Psi ^ {*} right) -2 { frac {q} {c}} mathbf {A} | Psi | ^ {2} right] , !}$

куда c это скорость света.

Вращение-s частица в электромагнитном поле

Если частица имеет вращение, ему соответствует магнитный момент, поэтому необходимо добавить дополнительный член, включающий спиновое взаимодействие с электромагнитным полем. В единицах СИ:^[3]

${ displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}} Psi ^ {*} right) -2q mathbf {A} | Psi | ^ {2} right] + { frac { mu _ {S}} {s}} nabla раз ( Psi ^ {*} mathbf {S} Psi) , !}$

куда S это вращение вектор частицы с соответствующим спиновым магнитным моментом μ_S и квантовое число спина s. В гауссовых единицах:

${ displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}} Psi ^ {*} right) -2 { frac {q} {c}} mathbf {A} | Psi | ^ {2} right] + { frac { mu _ { S} c} {s}} nabla times ( Psi ^ {*} mathbf {S} Psi) , !}$

Связь с классической механикой

Волновую функцию также можно записать в виде сложный экспоненциальный (полярный) форма:^[4]

${ Displaystyle Psi = Re ^ {iS / hbar}}$

куда р и S настоящие функции р и т.

Написанная таким образом, плотность вероятности равна

${ Displaystyle Rho = Psi ^ {*} Psi = R ^ {2}}$

а ток вероятности равен:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {j} & = { frac { hbar} {2mi}} left ( Psi ^ {*} mathbf { nabla} Psi - Psi mathbf { nabla} Psi ^ {*} right) [5pt] & = { frac { hbar} {2mi}} left (Re ^ {- iS / hbar} mathbf { nabla} Re ^ {iS / hbar} -Re ^ {iS / hbar} mathbf { nabla} Re ^ {- iS / hbar} right) [5pt] & = { frac { hbar} {2mi} } left [Re ^ {- iS / hbar} (e ^ {iS / hbar} mathbf { nabla} R + { frac {i} { hbar}} Re ^ {iS / hbar} mathbf { nabla} S) -Re ^ {iS / hbar} (e ^ {- iS / hbar} mathbf { nabla} R - { frac {i} { hbar}} Re ^ {- iS / hbar} mathbf { nabla} S) right]. end {выравнивается}}}$

Показатели и р∇р условия отменить:

${ displaystyle = { frac { hbar} {2mi}} left [{ frac {i} { hbar}} R ^ {2} mathbf { nabla} S + { frac {i} { hbar }} R ^ {2} mathbf { nabla} S right].}$

Наконец, объединяя и отменяя константы, и заменяя р² с ρ,

${ displaystyle mathbf {j} = rho { frac { mathbf { nabla} S} {m}}.}$

Если взять знакомую формулу тока:

${ Displaystyle mathbf {j} = rho mathbf {v},}$

куда v - скорость частицы (также групповая скорость волны), мы можем связать скорость с ∇См / м, что то же самое, что приравнять ∇S с классическим импульсом п = мv. Это толкование согласуется с Теория Гамильтона – Якоби, в котором

${ displaystyle mathbf {p} = nabla S}$

в декартовых координатах определяется как ∇S, куда S является Основная функция Гамильтона.

Мотивация

Уравнение неразрывности для квантовой механики

Определение вероятностного тока и уравнение Шредингера можно использовать для вывода уравнение неразрывности, у которого есть точно те же формы, что и для гидродинамика и электромагнетизм:^[5]

${ displaystyle { frac { partial rho} { partial t}} + mathbf { nabla} cdot mathbf {j} = 0}$

где плотность вероятности ${ Displaystyle rho ,}$ определяется как

${ Displaystyle rho ( mathbf {r}, t) = | Psi | ^ {2} = Psi ^ {*} ( mathbf {r}, t) Psi ( mathbf {r}, t) ,}$.

Если интегрировать обе части уравнения неразрывности по объему, так что

${ displaystyle int _ {V} left ({ frac { partial | Psi | ^ {2}} { partial t}} right) mathrm {d} V + int _ {V} left ( mathbf { nabla} cdot mathbf {j} right) mathrm {d} V = 0}$

затем теорема расходимости следует, что уравнение неразрывности эквивалентно интегральное уравнение

${ Displaystyle { frac { partial} { partial t}} int _ {V} | Psi | ^ {2} mathrm {d} V +}$ ${ displaystyle scriptstyle S}$ ${ Displaystyle mathbf {j} cdot mathrm {d} mathbf {S} = 0}$

где V любой объем и S граница V. Это закон сохранения для вероятности в квантовой механике.

В частности, если Ψ - волновая функция, описывающая отдельную частицу, интеграл в первом члене предыдущего уравнения, без производной по времени, - это вероятность получения значения в пределах V при измерении положения частицы. Второй член - это скорость, с которой вероятность истекает из объема. V. В целом уравнение утверждает, что производная по времени от вероятности измерения частицы в V равна скорости, с которой вероятность входит в V.

Передача и отражение через потенциалы

В регионах, где ступенчатый потенциал или же потенциальный барьер происходит, ток вероятности связан с коэффициентами передачи и отражения соответственно Т и р; они измеряют степень отражения частиц от потенциального барьера или прохождения через него. Оба удовлетворяют:

${ Displaystyle Т + Р = 1 ,,}$

куда Т и р можно определить как:

${ displaystyle T = { frac {| mathbf {j} _ { mathrm {trans}} |} {| mathbf {j} _ { mathrm {inc}} |}} ,, quad R = { frac {| mathbf {j} _ { mathrm {ref}} |} {| mathbf {j} _ { mathrm {inc}} |}} ,,}$

куда j_inc, j_ссылка и j_транс - падающий, отраженный и прошедший вероятностные токи соответственно, а вертикальные полосы указывают величины текущих векторов. Связь между Т и р можно получить из сохранения вероятности:

${ displaystyle mathbf {j} _ { mathrm {trans}} + mathbf {j} _ { mathrm {ref}} = mathbf {j} _ { mathrm {inc}} ,.}$

С точки зрения единичный вектор п нормальный к преграде это эквивалентно:

${ displaystyle T = left | { frac { mathbf {j} _ { mathrm {trans}} cdot mathbf {n}} { mathbf {j} _ { mathrm {inc}} cdot mathbf {n}}} right | ,, qquad R = left | { frac { mathbf {j} _ { mathrm {ref}} cdot mathbf {n}} { mathbf {j} _ { mathrm {inc}} cdot mathbf {n}}} right | ,,}$

где абсолютные значения требуются для предотвращения Т и р быть отрицательным.

Примеры

Плоская волна

Для плоская волна распространяется в космосе:

${ displaystyle Psi ( mathbf {r}, t) = , Ae ^ {i ( mathbf {k} cdot { mathbf {r}} - omega t)}}$

плотность вероятности везде постоянна;

${ Displaystyle rho ( mathbf {r}, t) = | A | ^ {2} rightarrow { frac { partial | Psi | ^ {2}} { partial t}} = 0}$

(то есть плоские волны стационарные состояния) но ток вероятности отличен от нуля - квадрат абсолютной амплитуды волны, умноженный на скорость частицы;

${ displaystyle mathbf {j} left ( mathbf {r}, t right) = left | A right | ^ {2} { hbar mathbf {k} over m} = rho { гидроразрыв { mathbf {p}} {m}} = rho mathbf {v}}$

иллюстрирующий, что частица может двигаться, даже если ее пространственная плотность вероятности не имеет явной зависимости от времени.

Частица в коробке

Для частица в коробке, в одном пространственном измерении и длиной L, приуроченные к региону;

${ Displaystyle 0 <Икс$

собственные состояния энергии

${ displaystyle Psi _ {n} = { sqrt { frac {2} {L}}} sin left ({ frac {n pi} {L}} x right)}$

и ноль в других местах. Соответствующие токи вероятности

${ displaystyle j_ {n} = { frac {i hbar} {2m}} left ( Psi _ {n} ^ {*} { frac { partial Psi _ {n}} { partial x }} - Psi _ {n} { frac { partial Psi _ {n} ^ {*}} { partial x}} right) = 0}$

поскольку

${ Displaystyle Psi _ {n} = Psi _ {n} ^ {*}}$

Дискретное определение

Для частицы в одном измерении на ${ Displaystyle ell ^ {2} влево ( mathbb {Z} right)}$, имеем гамильтониан ${ Displaystyle H = - Delta + V}$ куда ${ displaystyle - Delta Equiv 2I-S-S ^ { ast}}$ - дискретный лапласиан, причем ${ displaystyle S}$ быть оператором сдвига вправо на ${ Displaystyle ell ^ {2} влево ( mathbb {Z} right)}$. Тогда ток вероятности определяется как ${ Displaystyle J Equiv 2 Im {{ bar { Psi}} iv Psi }}$, с ${ displaystyle v}$ оператор скорости, равный ${ Displaystyle v эквив-я [X, , H]}$ и ${ displaystyle X}$ оператор позиции на ${ Displaystyle ell ^ {2} влево ( mathbb {Z} right)}$. С ${ displaystyle V}$ обычно является оператором умножения на ${ Displaystyle ell ^ {2} влево ( mathbb {Z} right)}$, мы можем безопасно написать ${ Displaystyle -i [X, , H] = - я [X, , - Delta] = - я left [X, , - SS ^ { ast} right] = iS-iS ^ { ast}}$.

В результате находим: ${ Displaystyle J влево (х вправо) Equ 2 Im {{ bar { Psi}} (x) iv Psi (x) } = 2 Im {{ bar { Psi} } (x) left ((- S Psi) (x) + (S ^ { ast} Psi) (x) right) } = 2 Im {{ bar { Psi}} ( x) left (- Psi (x-1) + Psi (x + 1) right) }}$

Рекомендации

• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0