WikiDer > Норма Шаттена

Schatten norm

В математика, конкретно функциональный анализ, то Schatten норма (или же Норма Шаттена-фон-Неймана) возникает как обобщение п-интегрируемость аналогична класс трассировки норма и Гильберта-Шмидта норма.

Определение

Позволять , - гильбертовы пространства, а (линейный) ограниченный оператор из к . За , определим p-норму Шаттена в качестве

Если компактный и отделимы, то

за то сингулярные значения из , т.е. собственные значения эрмитова оператора .

Характеристики

В дальнейшем мы формально расширяем диапазон к с условием, что - операторная норма. Двойной индекс к затем .

  • Нормы Шаттена унитарно инвариантны: для унитарных операторов и и ,
  • Они удовлетворяют Неравенство Гёльдера: для всех и такой, что , и операторы определены между гильбертовыми пространствами и соответственно,

(Для матриц это можно обобщить на за .[1])

  • Субмультипликативность: для всех и операторы определены между гильбертовыми пространствами и соответственно,
  • Монотонность: Для ,
  • Двойственность: Пусть - конечномерные гильбертовы пространства, и такой, что , тогда

куда обозначает Внутреннее произведение Гильберта – Шмидта.

Замечания

Заметь - норма Гильберта – Шмидта (см. Оператор Гильберта – Шмидта), - норма класса следов (см. класс трассировки), и - операторная норма (см. норма оператора).

За функция является примером квазинорма.

Оператор, имеющий конечную норму Шаттена, называется Оператор класса Шаттена а пространство таких операторов обозначается через . При этой норме является банаховым пространством, а гильбертово пространство для п = 2.

Заметьте, что , алгебра компактные операторы. Это следует из того факта, что если сумма конечна, спектр будет конечным или счетным с началом координат в качестве предельной точки и, следовательно, компактным оператором (см. компактный оператор в гильбертовом пространстве).

Дело п = 1 часто называют ядерная норма (также известный как норма следа, или Кай Фан 'н'-норма[2])

Смотрите также

Матричные нормы

Рекомендации

  1. ^ Болл, Кейт; Карлен, Эрик А .; Либ, Эллиотт Х. (1994). «Точные равномерные неравенства выпуклости и гладкости для норм следов». Inventiones Mathematicae. 115: 463–482. Дои:10.1007 / BF01231769.
  2. ^ Фан, Кай (1951). «Максимальные свойства и неравенства для собственных значений вполне непрерывных операторов». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 37 (11): 760–766. Bibcode:1951ПНАС ... 37..760Ф. Дои:10.1073 / pnas.37.11.760. ЧВК 1063464. PMID 16578416.
  • Раджендра Бхатия, Матричный анализ, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
  • Джон Уотроус, Теория квантовой информации, 2.3 Нормы операторов, конспект лекций, Университет Ватерлоо, 2011 г.
  • Иоахим Вайдман, Линейные операторы в гильбертовых пространствах, Vol. 20. Спрингер, Нью-Йорк, 1980.