WikiDer > Satz von Hopf-Rinow

In dem Riemann-Geometrie, eine Unterregion der Mathematik, erkläre die Satz von Hopf-Rinow für eine Sammlung Thesen über die geodätische Vollständigkeit von Riemann Sorten. Der Satz ist benannt nach dem DeutscheMathematikerHeinz Hopf und sein Schüler Willi Rinow.

Formulierung des Theorems

spät ${Anzeigestil (M,g)}$ eine zusammenhängende Riemann-Sorte sein. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. Das Geschlossen und begrenztTeilmengen von ${Anzeigestil M}$ sein kompakt;
2. ${Anzeigestil M}$ ist ein vollmetrischer Raum;
3. ${Anzeigestil M}$ ist geodätisch vollständig; das heißt für jeden ${Displaystil-Pin M}$, das exponentielles Bild${displaystyle exp_{p}}$ ist im Großen und Ganzen definiert Berührungsraum${displaystyle T_{p}M}$.

Darüber hinaus impliziert jede der obigen Formulierungen, dass in einigen Punkten ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ im ${Anzeigestil M}$, es gibt eine Länge, die de geodätisch das Verbinden dieser beiden Punkte minimiert (Geodästhetik ist im Allgemeinen extrem und können Mindestwerte sein oder nicht).