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Transversalität ist ein Konzept aus dem differentielle Topologie, die Filiale der Mathematik die glatte Verformungen von gekrümmten Räumen untersucht. Intuitiv beschreibt es die "allgemeinste" gegenseitige Lage zweier Unterräume.

Zwei querliegende Kurven auf einer Kugel

Zwei zueinander nicht transversale Kurven auf einer Kugel

Definition

Sie ${Anzeigestil M}$ ein glatter Vielfalt, und ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ zwei Untersorten von ${Anzeigestil M}$. Wir sagen die Vielfalt ${Anzeigestil X}$ die Vielfalt ${Anzeigestil Y}$Querschnitte an einem bestimmten Punkt ${displaystyle p}$ von ${Anzeigestil X}$ wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist:

• ${displaystyle p}$ gehört nicht zu ${Anzeigestil Y}$, oder
• ${displaystyle p}$ gehört zum Querschnitt von ${Anzeigestil X}$ mit ${Anzeigestil Y}$, und der Berührungsräume von ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ im punkt ${displaystyle p}$ vereinen den berührenden raum von ${Anzeigestil M}$ im punkt ${displaystyle p}$ her.

wenn ${Anzeigestil X}$ das Unterart${Anzeigestil Y}$ Querschnitte in allen Punkten von ${Anzeigestil X}$, dann umgekehrt ${Anzeigestil Y}$ ebenfalls ${Anzeigestil X}$ Querschnitte in allen Punkten von ${Anzeigestil Y}$, und das sagen wir einfach ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ sich quer kreuzen.

Beachten Sie, dass zwei zusammenhangslos Untersorten von ${Anzeigestil M}$ per Definition "querschneiden".

Beispiele

Sie ${displaystyle M=mathbb {R} ^{2}}$ die euklidische Ebene und ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ zwei glatte Kurven. Sie sind in allen Punkten quer, mit Ausnahme aller Berührungspunkte. Kurven, die sich nicht berühren (aber sich schneiden können), sind quer.

Sie ${displaystyle M=mathbb {R} ^{3}}$ der euklidische Raum und ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ zwei glatte Kurven. Die Berührungsräume von ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ sind überall eindimensional und können daher nie zusammen den dreidimensionalen Tangentialraum von bilden ${Anzeigestil M}$ produzieren. ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ können daher nur quer sein, wenn sie disjunkt sind.

Dies lässt sich verallgemeinern auf

${displaystyle dim X dim Y$;

dann sind ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ nur quer, wenn sie disjunkt sind.

Sie ${displaystyle M=mathbb {R} ^{3}}$ der euklidische Raum, ${Anzeigestil X}$ eine glatte Kurve und ${Anzeigestil Y}$ eine glatte Oberfläche. Dann sind ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ transversal genau dann, wenn in jedem ihrer Schnittpunkte die Tangente ${Anzeigestil X}$ Berühren der Schnittstelle ${Anzeigestil Y}$ schneidet.

wenn ${Anzeigestil X}$ oder ${Anzeigestil Y}$ hat die gleiche Dimension wie ${Anzeigestil M}$, dann sind ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ immer quer.

Querschnitt durch zwei Untermannigfaltigkeiten

Die Hauptmotivation dieser Definition liegt in der folgenden Eigenschaft:

Der Querschnitt zweier Quer Untersorten ist wieder eine Untermannigfaltigkeit, und in diesem Fall ist

${displaystyle mathrm {codim} (Xcap Y)=mathrm {codim} ,X mathrm {codim} ,Y}$

Mit ${displaystyle mathrm {codim} V}$ meinen wir die Co-Dimension, das ist der unterschied ${displaystyle dim M-dim V}$.

Im Allgemeinen ist der Schnittpunkt zweier Untermannigfaltigkeiten eine sehr komplizierte Menge und sicherlich nicht immer eine Mannigfaltigkeit.

Bildtransversalität

EIN Eintauchen ist ein glattes Bild, von dem die berührendes Bild überall injektiv ist.

Zwei sanfte Dips ${Anzeigestil f:V oder M}$ und ${displaystyle g:W o M}$ heißen transversal, wenn in einem Schnittpunkt von ${Anzeigestil f(V)}$ mit ${Anzeigestil g(W)}$ die beiden Bereiche der berührenden Bilder berühren den Berührungsraum ${Anzeigestil M}$ produzieren. D.h. das für alle ${Anzeigestil xin V,yin W}$

${displaystyle f(x)=g(y)impliziert f_{x}^{*}(T_{x}V) g_{y}^{*}(T_{y}W)=T_{f(x)} M}$

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung des Originals, von jedem Unterart von ${Anzeigestil M}$ sich mit seinem eigenen Inklusionsbild identifizieren

${displaystyle i:X oder M:xmapsto x}$

Allgemeiner Standort

Transversalität ist als allgemeiner Fall und Nichttransversalität als Ausnahme anzusehen. Die folgende Aussage macht dies konkret:

Sie ${Anzeigestil M}$ ein kompakt glatte Mannigfaltigkeit, dann ist die Topologie von ${Anzeigestil M}$ komme von a metrisch. Dann macht es Sinn darüber zu reden gleichmäßige Konvergenz einer Reihe von fortlaufenden Bildern von ${Anzeigestil M}$ zu sich selbst. wenn ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ sind nicht-transverse Untermannigfaltigkeiten von ${Anzeigestil M}$, dann gibt es Diffeomorphismen von ${Anzeigestil M}$ mit sich selbst, konvergierend gleichförmig gegen die identische Transformation von ${Anzeigestil M}$, und das ${Anzeigestil X}$ Abbildung auf einer Untermannigfaltigkeit von ${Anzeigestil M}$ was ist quer zu ${Anzeigestil Y}$.

Etwas formloser kann eine Nicht-Querlage durch eine beliebig kleine Verformung in eine Querlage gebracht werden. Dies ist für den Fall von Tangentenkurven im zweidimensionalen . intuitiv offensichtlich Ambiente: Durch eine beliebig kleine Verformung einer der Kurven liegen die beiden Kurven entweder auseinander (disjunkt, dh quer) oder schneiden sich (auch quer).

Der Begriff „beliebig klein“ kann hier beispielsweise wie folgt interpretiert werden: de Topologie von ${Anzeigestil M}$ ist messbar, und der Diffeomorphismen konvergieren gleichmäßig gegen die identische Transformation.