WikiDer > ZX-исчисление

В ZX-исчисление это строгий графический язык для рассуждений о линейных картах между кубиты, которые представлены как ZX-диаграммы. ZX-диаграмма состоит из набора генераторов, называемых пауки которые представляют собой конкретные тензоры. Они соединены вместе, чтобы сформировать тензорная сеть похожий на Графическое обозначение Пенроуза. Благодаря симметрии пауков и свойств нижележащего категория, топологически деформируя ZX-диаграмму (т.е. перемещая генераторы без изменения их соединений), не влияет на линейную карту, которую она представляет. В дополнение к равенствам между ZX-диаграммами, которые порождаются топологическими деформациями, ZX-исчисление также имеет набор правила графической перезаписи для преобразования ZX-диаграмм друг в друга. ZX-исчисление универсальный в том смысле, что любую линейную карту между кубитами можно представить в виде ZX-диаграммы, а различные наборы графических правил перезаписи полный для разных семейств линейных отображений. ZX-диаграммы можно рассматривать как обобщение обозначение квантовой схемы.

История

ZX-исчисление было впервые введено Боб Кук и Росс Дункан в 2008 году как продолжение Категориальная квантовая механика школа рассуждений. Они представили основные понятия о пауках, сильная взаимодополняемость и большинство стандартных правил перезаписи.^[1][2]

В 2009 году Дункан и Пердрикс обнаружили дополнительную Разложение Эйлера правило для Ворота Адамара^[3], который был использован Бакенсом в 2013 году для получения первого результата полноты для ZX-исчисления.^[4]. А именно, что существует набор правил перезаписи, достаточный для доказательства всех равенств между стабилизатор ZX-диаграммы, где фазы кратны ${ displaystyle pi / 2}$, с точностью до глобальных скаляров. Позднее этот результат был уточнен для полноты с учетом скалярных множителей.^[5].

В 2017 году завершение ZX-исчисления для примерно универсального ${ displaystyle pi / 4}$ фрагмент был найден^[6], в дополнение к двум различным результатам полноты для универсального ZX-исчисления (где фазам разрешено принимать любое действительное значение)^[7][8].

Также в 2017 году книга Изображение квантовых процессов был выпущен, который строит квантовую теорию с нуля, используя ZX-исчисление^[9]. См. Также книгу 2019 г. Категории квантовой теории^[10].

Неформальное введение

Пример ZX-диаграммы. У этого есть два входа (провода, идущие слева) и три выхода (провода, идущие вправо), и, следовательно, он представляет собой линейную карту из ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2 ^ {2}}}$к ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2 ^ {3}}}$.

ZX-диаграммы состоят из зеленых и красных узлов, называемых пауки, которые соединены проводами. Провода могут изгибаться и пересекаться, произвольно много проводов может подключаться к одному и тому же пауку, и несколько проводов могут проходить между одной парой узлов. Также есть узлы Адамара, обычно обозначаемые желтым прямоугольником, которые всегда подключаются ровно к двум проводам.

ZX-диаграммы представляют собой линейные карты между кубиты, аналогично тому, как квантовые схемы представлять унитарный карты между кубитами. ZX-диаграммы отличаются от квантовых схем двумя основными способами. Во-первых, ZX-диаграммы не обязательно должны соответствовать жесткой топологической структуре схем и, следовательно, могут быть деформированы произвольно. Во-вторых, диаграммы ZX снабжены набором правил перезаписи, которые в совокупности называются ZX-исчисление. Используя эти правила, вычисления могут выполняться на самом графическом языке.

Генераторы

Строительные блоки или генераторы ZX-исчисления являются графическими представлениями конкретных состояния, унитарные операторы, линейные изометрии, и прогнозы в вычислительной базе ${ displaystyle | 0 rangle, | 1 rangle}$ и Базис с преобразованием Адамара ${ displaystyle | + rangle = { frac {| 0 rangle + | 1 rangle} { sqrt {2}}}}$ и ${ displaystyle | - rangle = { frac {| 0 rangle - | 1 rangle} { sqrt {2}}}}$. Зеленый цвет (или иногда белый) используется для представления вычислительной основы, а красный цвет (или иногда серый) используется для представления преобразованного Адамара базиса. Кроме того, каждый из этих генераторов может быть обозначен фазой, которая является действительным числом из интервала ${ Displaystyle [-2 пи, 2 пи]}$. Если фаза равна нулю, это обычно не записывается.

Генераторы:

Генераторы ZX-исчисления, неформально

Тип	Генератор	Соответствующая линейная карта	Замечания
штат		${ Displaystyle | 0 rangle + е ^ {я альфа} | 1 rangle}$	За ${ Displaystyle альфа = 0}$ и ${ Displaystyle альфа = пи}$, это отображение соответствует ненормализованным версиям преобразованных по Адамару базисных состояний ${ displaystyle mid + rangle}$ и ${ displaystyle mid - rangle}$, соответственно. За ${ displaystyle alpha = { frac { pi} {4}}}$, это ненормализованная версия T магическое состояние[11] ${ displaystyle { frac {| 0 rangle + e ^ {я pi / 4} | 1 rangle} { sqrt {2}}}}$.
штат		${ Displaystyle | + rangle + е ^ {я альфа} | - rangle}$	За ${ Displaystyle альфа = 0}$ и ${ Displaystyle альфа = пи}$, это отображение соответствует ненормализованным версиям вычислительных базисных состояний ${ displaystyle mid 0 rangle}$ и ${ displaystyle mid 1 rangle}$, соответственно.
унитарная карта		${ displaystyle | 0 rangle langle 0 | + е ^ {я альфа} | 1 rangle langle 1 |}$	Эта карта представляет собой вращение вокруг оси Z Сфера Блоха под углом ${ displaystyle alpha}$. За ${ Displaystyle альфа = пи}$, это Z Матрица Паули.
унитарная карта		${ displaystyle | + rangle langle + | + e ^ {i alpha} | - rangle langle - |}$	Эта карта представляет собой поворот вокруг оси X сферы Блоха на угол ${ displaystyle alpha}$. За ${ Displaystyle альфа = пи}$, это X Матрица Паули.
унитарная карта		${ displaystyle | + rangle langle 0 | + | - rangle langle 1 |}$	Эта карта Ворота Адамара часто используется в квантовых схемах.
изометрия		${ displaystyle | 00 rangle langle 0 | + e ^ {i alpha} | 11 rangle langle 1 |}$	За ${ Displaystyle альфа = 0}$, эта карта представляет операцию копирования в вычислительной базе. При той же стоимости ${ displaystyle alpha}$, он также соответствует гладкий раскол операция по решетчатая хирургия.[12]
изометрия		${ displaystyle | ++ rangle langle + | + e ^ {i alpha} | - rangle langle - |}$	За ${ Displaystyle альфа = 0}$, эта карта представляет собой операцию копирования в базисе с преобразованием Адамара. При той же стоимости ${ displaystyle alpha}$, он также соответствует грубый раскол операция по решетчатая хирургия.[12]
частичная изометрия		${ displaystyle | 0 rangle langle 00 | + e ^ {i alpha} | 1 rangle langle 11 |}$	За ${ Displaystyle альфа = 0}$, эта карта представляет операцию управляемого НЕ, за которой следует деструктивное измерение Z на целевом кубите. пост-выбранный государству ${ displaystyle | 0 rangle}$. При той же стоимости ${ displaystyle alpha}$, он также соответствует плавное слияние (без операторов побочных продуктов) решетчатая хирургия.[12]
частичная изометрия		${ displaystyle | + rangle langle ++ | + e ^ {i alpha} | - rangle langle - |}$	За ${ Displaystyle альфа = 0}$, эта карта представляет операцию управляемого НЕ, за которой следует деструктивное измерение X на контрольном кубите, выбранном после перехода в состояние ${ displaystyle | + rangle}$. При той же стоимости ${ displaystyle alpha}$, он также соответствует грубое слияние (без операторов побочных продуктов) решетчатая хирургия.[12]
проекция		${ Displaystyle langle 0 | + е ^ {я альфа} langle 1 |}$	За ${ Displaystyle альфа = 0}$ или ${ Displaystyle альфа = пи}$, эта карта соответствует деструктивному измерению X пост-выбранный государству ${ displaystyle mid + rangle}$ или ${ displaystyle mid - rangle}$, соответственно.
проекция		${ Displaystyle langle + | + е ^ {я альфа} langle - |}$	За ${ Displaystyle альфа = 0}$ или ${ Displaystyle альфа = пи}$, эта карта соответствует деструктивному измерению Z пост-выбранный государству ${ displaystyle mid 0 rangle}$ или ${ displaystyle mid 1 rangle}$, соответственно.

Сочинение

Генераторы могут быть составлены двумя способами:

• последовательно, соединив выходные провода одного генератора с входными проводами другого;
• параллельно, устанавливая два генератора вертикально.

Эти законы соответствуют композиции и тензорному произведению линейных отображений.

Любая диаграмма, составленная таким образом, называется ZX-диаграммой. ZX-диаграммы закрыты по обоим законам композиции: подключение выхода одной ZX-диаграммы к входу другой создает действительную ZX-диаграмму, а вертикальное наложение двух ZX-диаграмм создает действительную ZX-диаграмму.

Только топология имеет значение

Две диаграммы представляют один и тот же линейный оператор, если они состоят из одних и тех же генераторов, соединенных одинаковым образом. Другими словами, всякий раз, когда две ZX-диаграммы могут быть преобразованы друг в друга топологической деформацией, они представляют собой одно и то же линейное отображение. Таким образом ворота с управляемым НЕ можно представить следующим образом:

Переписывание схемы

В следующем примере квантовой схемы создается GHZ-состояние. Путем перевода его в ZX-диаграмму с использованием правил, согласно которым «смежные пауки одного цвета сливаются», «Адамар меняет цвет пауков» и «пауки arity-2 являются идентичностями», можно графически уменьшить до GHZ -государственный:

Любую линейную карту между кубитами можно представить в виде ZX-диаграммы, т.е.ZX-диаграммы являются универсальный. Данная ZX-диаграмма может быть преобразована в другую ZX-диаграмму с использованием правил перезаписи ZX-исчисления тогда и только тогда, когда две диаграммы представляют одну и ту же линейную карту, то есть ZX-исчисление звук и полный.

Формальное определение

В категория ZX-диаграмм является кинжал компактная категория, что означает, что он симметричный моноидальный структура (тензорное произведение), является компактный закрытый (она имеет чашки и шапки) и оснащен кинжал, так что все эти структуры должным образом взаимодействуют. Объектами категории являются натуральные числа, а тензорное произведение задается сложением (категория - это PROP). Морфизмы этой категории являются ZX-диаграммами. Две ZX-диаграммы составляются путем сопоставления их по горизонтали и соединения выходов левой диаграммы с входами правой диаграммы. Моноидальное произведение двух диаграмм можно представить, поместив одну диаграмму над другой.

Действительно, все ZX-диаграммы построены свободно из набора генераторов через композицию и моноидальное произведение по модулю равенств, индуцированных компактной структурой и правилами ZX-исчисления, приведенными ниже. Например, идентичность объекта ${ displaystyle n}$ изображается как ${ displaystyle n}$ параллельные провода слева направо, в особом случае ${ displaystyle n = 0}$ это пустая диаграмма.

В следующей таблице представлены генераторы вместе с их стандартными интерпретациями как линейные карты, выраженные в Обозначение Дирака. Вычислительные базисные состояния обозначены ${ displaystyle mid 0 rangle, vert 1 rangle}$ и Адамар-трансформированные базисные состояния ${ displaystyle mid pm rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} ( vert 0 rangle pm vert 1 rangle)}$. В ${ displaystyle n}$-кратное тензорное произведение вектора ${ displaystyle mid psi rangle}$ обозначается ${ displaystyle mid psi rangle ^ { otimes n}}$.

Генераторы ZX-диаграмм^[13]

имя	Диаграмма	Тип	Линейная карта, которую он представляет
пустая диаграмма		${ displaystyle 0 rightarrow 0}$	1
провод / личность	${ displaystyle -}$	${ displaystyle 1 rightarrow 1}$	${ displaystyle mid 0 rangle langle 0 ! mid + mid ! 1 rangle langle 1 mid}$
Состояние колокола		${ displaystyle 0 rightarrow 2}$	${ displaystyle mid 00 rangle + vert 11 rangle}$
Эффект колокола		${ displaystyle 2 rightarrow 0}$	${ displaystyle langle 00 mid + langle 11 mid}$
замена		${ displaystyle 2 rightarrow 2}$	${ displaystyle mid 00 rangle langle 00 vert + vert 01 rangle langle 10 vert + vert 10 rangle langle 01 vert + vert 11 rangle langle 11 vert}$
Z паук		${ displaystyle n rightarrow m}$	${ displaystyle mid 0 rangle ^ { otimes m} langle 0 vert ^ { otimes n} + e ^ {i alpha} vert 1 rangle ^ { otimes m} langle 1 vert ^ { otimes n}}$
X паук		${ displaystyle n rightarrow m}$	${ displaystyle mid + rangle ^ { otimes m} langle + vert ^ { otimes n} + e ^ {i alpha} vert - rangle ^ { otimes m} langle - vert ^ { otimes n}}$
Адамар		${ displaystyle 1 rightarrow 1}$	${ displaystyle mid + rangle langle 0 vert + vert - rangle langle 1 mid}$

Существует множество различных версий ZX-исчисления, в которых в качестве аксиом используются разные системы правил перезаписи. Все используют метаправило «имеет значение только топология», что означает, что две диаграммы равны, если они состоят из одних и тех же генераторов, соединенных одинаковым образом, независимо от того, как эти генераторы расположены на диаграмме. Ниже приведены некоторые из основных набор правил перезаписи, здесь заданный «с точностью до скалярного фактора»: т.е. две диаграммы считаются равными, если их интерпретация как линейные карты отличается на ненулевой комплексный коэффициент.

Правила ZX-исчисления^[14]

Название правила	Правило	Описание
Z-паук слияние		Когда два Z-паука соприкасаются, они могут сливаться вместе, и их фазы складываются. Это правило соответствует тому, что Z-паук представляет собой ортонормированный базис - вычислительный базис.
Икс-паук фьюжн		См. Слияние Z-паука.
Правило идентичности		Бесфазный 2 Z- или X-паук арности равен тождеству. Это правило гласит, что Белл-состояние является одним и тем же независимо от того, выражается ли он в вычислительном базисе или в базисе с преобразованием Адамара. В терминах теории категорий он говорит, что компактная структура, индуцированная Z- и X-пауками, совпадает.
Изменение цвета		Ворота Адамара меняют цвет пауков. Это выражает свойство, которое вентиль Адамара отображает между вычислительным базисом и базисом, преобразованным Адамара.
Копировать правило		Z-паук копирует X-пауков arity-1. Это выражает тот факт, что X-паук arity-1 пропорционален вычислительному базисному состоянию (в данном случае ${ displaystyle vert 0 rangle}$).
Правило биалгебры		Два цикла Z- и X-пауков упрощают. Это выражает то свойство, что вычислительный базис и преобразованный по Адамару базис являются сильно дополняющий.
${ displaystyle pi}$-скопировать правило		НЕ-гейт (X-паук arity-2 с ${ displaystyle pi}$ phase) копирует через Z-паук и переворачивает фазу этого паука. В этом правиле указываются сразу два свойства. Во-первых, это НЕ карта функций вычислительного базиса (он отображает базовые состояния в базовые состояния), и, во-вторых, когда НЕ коммутируется через вентиль Z-вращения, это вращение переворачивается.
Разложение Эйлера		Ворота Адамара можно развернуть на три вращения вокруг сферы Блоха (соответствующие ее Углы Эйлера). Иногда это правило принимают за определение генератора Адамара, и в этом случае единственными генераторами ZX-диаграмм являются Z- и X-паук.

Приложения

ZX-исчисление использовалось во множестве квантовая информация и вычисление задачи.

• Он был использован для описания квантовые вычисления на основе измерений и состояния графика^[3][15][16].
• ZX-исчисление - это язык для решетчатая хирургия на коды поверхности^[17][18].
• Он был использован для поиска и проверки правильности коды с квантовой коррекцией ошибок^[19][20][21].
• Он был использован для оптимизации квантовых схем.^[22].

инструменты

Правила перезаписи ZX-исчисления могут быть формально реализованы как экземпляр перезапись с двойным выталкиванием. Это было использовано в программном обеспечении Quantomatic чтобы позволить автоматическое переписывание ZX-диаграмм (или более общих строковые диаграммы)^[23]. Чтобы формализовать использование «точек» для обозначения любого количества проводов, например, используемых в правиле слияния пауков, это программное обеспечение использует ударная коробка обозначение^[24] реализовать правила перезаписи, в которых пауки могут иметь любое количество входов или выходов.

Более свежий проект по работе с ZX-диаграммами - PyZX, который в первую очередь ориентирован на оптимизацию схем^[14].

Связанные графические языки

ZX-исчисление - только один из нескольких графических языков для описания линейных отображений между кубитами. В ZW-исчисление был разработан вместе с ZX-исчислением и может естественным образом описывать W-состояние и фермионные квантовые вычисления^[25][26]. Это был первый графический язык, который имел полный набор правил для приблизительно универсального набора линейных отображений между кубитами.^[7], и первые результаты полноты ZX-исчисления используют редукцию к ZW-исчислению.

Более новый язык - это ZH-исчисление. Это добавляет H-бокс как генератор, который обобщает вентиль Адамара из ZX-исчисления. Он может естественным образом описывать квантовые схемы, включающие вентили Тоффоли.^[27].

Связанные алгебраические концепции

Бесфазные пауки в исчислении ZX удовлетворяют аксиомам Алгебра Хопфа с тривиальным отображением в качестве антипода. В этом можно убедиться, заметив, что он изоморфен групповой алгебре ${ displaystyle Z_ {2}}$.

Смотрите также

• Категориальная квантовая механика
• Прикладная теория категорий

Рекомендации

внешняя ссылка

• zxcalculus.com
• Quantomatic