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Zeeftheorie

In dem Zahlentheorie, eine Teilmenge der Mathematik, existiert die Siebtheorie aus einer Reihe allgemeiner Techniken, mit denen die Größe von gesiebte Sammlungen von ganze Zahlen zu Anzahl oder auch realistischer schätzen. Das Standardbeispiel für eine gesiebte Menge ist die Sammlung von Primzahlen "bis zu" jeder vorgeschriebenen Grenze X. Dementsprechend ist das Standardbeispiel für ein Sieb das Sieb von Eratosthenes, oder das allgemeinere Sieb von Legendre. Der direkte Angriff auf Primzahlen mit diesen Methoden stieß schnell auf scheinbar unüberwindbare Hindernisse in Form der Anhäufung von Fehlertermen. In einem der wichtigsten Beiträge zur Zahlentheorie des 20. Jahrhunderts gelang es ihnen jedoch, einige dieser scheinbar unüberwindbaren Probleme zu umgehen.

Ein erfolgreicher Ansatz besteht darin, einen bestimmten gesiebten Satz von Zahlen anzunähern (zum Beispiel den Satz von Primzahlen) durch eine andere, einfachere Menge (zum Beispiel die Menge von set fast Primzahlen), die normalerweise etwas größer ist als die ursprüngliche Sammlung, aber einfacher zu analysieren. Fortgeschrittenere Siebe funktionieren nicht direkt mit Sammlungen Notwendig, sondern zählen stattdessen auf der Grundlage sorgfältig ausgewählter Gewichtsfunktionen auf diese Sammlungen (Optionen, um bestimmten Elementen in diesen Sammlungen mehr "Gewicht" zu geben als anderen). In einigen modernen Anwendungen wird das Sieben nicht verwendet, um die Größe eines gesiebten Satzes zu schätzen, sondern um a . zu messen Funktion zu produzieren, die am Set groß und außerhalb normalerweise klein sind, weil sie einfacher zu analysieren sind als die charakteristische Funktion dieser Sammlung.

Siebtypen

Unter den modernen Sieben findet man die Sieb von Brun, das Sieb von Selberg, das Sieb von Turán und der großes Sieb. Eines der ursprünglichen Ziele der Siebtheorie ist, was sie zu erreichen versucht beweisen von einigen Verdacht in dem Zahlentheorie: so ungefähr Zwillingsprime. Während die ursprünglichen weiten Ziele der Siebtheorie bis heute unerfüllt geblieben sind, wurden insbesondere in Kombination mit anderen Zahlentheoriewerkzeugen einige Teilerfolge erzielt. Zu den Highlights zählen:

  1. Das Satz von Brun, die besagt, dass die Summe der gegenseitig von Zwillingsahlen konvergiert (Dies während die Summe der Kehrwerte der Primzahlen selbst divergiert);
  2. Das Theorem von Chen, was zeigt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt p sein, so dass p 2 oder a Primzahl entweder ein Halbprimzahl (das Produkt zweier Primzahlen); ein eng verwandter Satz von Chen Jingrun besagt, dass jeder groß genug gerade Zahl ist die Summe einer Primzahl und einer anderen Zahl, die selbst entweder eine Prim- oder Halbprimzahl ist. Diese Sätze können als nahe an die Vermutung der Zwillingsprimzahlen und der Goldbachs Vermutung.
  3. Es fundamentales Lemma der Siebtheorie, was (grob gesagt) besagt, dass wenn man eine Menge von . ist Nein Zahlen, kann man dann genau abschätzen, wie viele Elemente im Sieb verbleiben, nachdem Iterationen, dies unter der Annahme ist eine ausreichend kleine Zahl (Brüche wie 1/10 sind hier durchaus üblich). Diese Lemma ist normalerweise zu schwach, um die Primzahlen zu sieben (im Allgemeinen gibt es etwa Iterationen erforderlich), kann aber ausreichen, um Ergebnisse in Bezug auf . zu erhalten fast Primzahlen erhalten.
  4. Das Satz von Friedlander-Iwaniec, die besagt, dass es unendlich viele Primzahlen der Form sein.

Techniken der Siebtheorie

Die Techniken, die in der Siebtheorie verwendet werden, können sehr mächtig sein, aber sie scheinen durch ein Hindernis begrenzt zu sein, das als . bekannt ist Paritätsproblem. Grob gesagt bedeutet dies, dass Methoden der Siebtheorie große Schwierigkeiten haben, zwischen Zahlen mit ungerader Anzahl von Primfaktoren und Zahlen mit gerader Anzahl von Primfaktoren zu unterscheiden. Dieses Paritätsproblem ist bis heute nicht gut verstanden.

Im Vergleich zu anderen Methoden der Zahlentheorie ist die Siebtheorie relativ elementar, in dem Sinne, dass die Siebtheorie keine fortgeschrittenen Konzepte aus den algebraische Zahlentheorie entweder analytische Zahlentheorie notwendig. Trotzdem können die fortgeschritteneren Siebener immer noch sehr kompliziert und heikel sein (insbesondere in Kombination mit anderen, tieferen Zahlentheorietechniken). Ganze Lehrbücher sind diesem einen Bereich der Zahlentheorie gewidmet; eine klassische Referenz ist Halberstam und Richert (1974). Ein moderneres Lehrbuch ist Iwaniec und Friedlander (2010).

Die in diesem Artikel besprochenen Siebmethoden sind nicht eng mit der Siebmethode verwandt Primfaktoren zu Faktor wie quadratisches Sieb und der allgemeine Zahlenfeldsieb. Diese Faktorisierungsmethoden nutzen die Idee des Sieb von Eratosthenes um effizient zu bestimmen, welche Mitglieder einer Liste von Zahlen vollständig in Primfaktoren zerlegt werden können.

Verweise

  • Cojocaru, Alina Carmen, Murty, M. Ram, Eine Einführung in Siebmethoden und deren Anwendungen, Cambridge University Press, 2006, ISBN 0-521-84816-4 , Studententexte der London Mathematical Society, vol. 66, HERR 2200366
  • Motohashi, Yoichic, Vorlesungen über Siebmethoden und Primzahlentheorie, Tata IFR LN, vol. 72, Springer-Verlag, 1983, ISBN 3-540-12281-8
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  • Heini Halberstam, Hans-Egon Richert, Siebmethoden, Akademische Presse, 1974, ISBN 0-12-318250-6
  • Heini Halberstam, Hans-Egon Richert, Siebmethoden, 2. Auflage, Dover, 2011, ISBN 0-486-47939-0
  • Iwaniec, Henryk, Friedländer, John, Oper de cribro, AMS, 2010, ISBN 0-8218-4970-0
  • Hooley, Christopher, Anwendungen von Siebmethoden auf die Zahlentheorie, Cambridge University Press, 1976, ISBN 0-521-20915-3
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  • Harman, Glyn, Prime-Erkennungssiebe, London Mathematical Society Monographien, vol. 33, Princeton University Press, 2007, ISBN 978-0-691-12437-7, ZBL 1220.11118

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