WikiDer > Арнольд язык

Arnold tongue

Число вращения для разных значений двух параметров карты окружности: Ω на Иксось и K на у-ось. Видны некоторые формы языка.

В математика, особенно в динамические системы, Языки Арнольда (названный в честь Владимир Арнольд)[1][2] являются живописным явлением, возникающим при визуализации того, как номер вращения динамической системы или других связанных инвариантное свойство из них изменяется в зависимости от двух или более параметров. Области постоянного числа вращения наблюдались для некоторых динамических систем, чтобы сформировать геометрические фигуры напоминающие языки, в этом случае их называют языками Арнольда.[3]

Языки Арнольда наблюдаются в большом количестве разнообразных природных явлений, которые связаны с колеблющимися величинами, такими как концентрация ферментов и субстратов в биологических процессах.[4] и сердечные электрические волны. Иногда частота колебаний зависит от или ограничена (т. Е. с фазовой синхронизацией или же режим блокировки, в некоторых контекстах) на основе некоторого количества, и часто бывает интересно изучить эту связь. Например, начало опухоль вызывает в области серию колебаний вещества (в основном белков), которые взаимодействуют друг с другом; Моделирование показывает, что эти взаимодействия вызывают появление языков Арнольда, то есть частота одних колебаний ограничивает другие, и это можно использовать для контроля роста опухоли.[3]

Другие примеры, где можно найти языки Арнольда, включают негармоничность музыкальных инструментов, орбитальный резонанс и приливная блокировка орбитальных спутников, синхронизация мод в волоконная оптика и петли фазовой автоподстройки частоты и другие электронные генераторы, а также в сердечные ритмы, сердечные аритмии и клеточный цикл.[5]

Одна из простейших физических моделей с синхронизацией мод состоит из двух вращающихся дисков, соединенных слабой пружиной. Один диск может свободно вращаться, а другой приводится в движение двигателем. Синхронизация мод происходит, когда свободно вращающийся диск вращается с частотой, равной рациональный в несколько раз больше, чем у ведомого ротатора.

Простейшей математической моделью, демонстрирующей синхронизацию мод, является круговая карта, которая пытается зафиксировать движение вращающихся дисков через дискретные промежутки времени.

Стандартная круговая карта

Бифуркационная диаграмма за фиксируется на . идет от внизу к вверху, а орбиты показаны в интервале вместо . Черные области соответствуют языкам Арнольда.

Языки Арнольда чаще всего появляются при изучении взаимодействия между генераторы, особенно в случае, когда один осциллятор диски еще один. То есть один осциллятор зависит от другого, но не наоборот, поэтому они не влияют друг на друга, как это происходит в Курамото модели, Например. Это частный случай управляемые генераторы, с движущей силой, которая имеет периодическое поведение. В качестве практического примера клетки сердца (внешний осциллятор) генерируют периодические электрические сигналы для стимуляции сердечных сокращений (ведомый осциллятор); здесь может быть полезно определить соотношение между частотами осцилляторов, возможно, чтобы лучше спроектировать искусственные кардиостимуляторы. Семейство круговых карт служит полезной математической моделью для этого биологического явления, а также многих других.[6]

Семейство круговых карт - это функции (или эндоморфизмы) круга к себе. Математически проще рассматривать точку в круге как точку в реальной строке, которую следует интерпретировать по модулю , представляющий угол, под которым точка находится в окружности. Когда по модулю берется значение, отличное от , результат по-прежнему представляет собой угол, но его необходимо нормализовать, чтобы весь диапазон могут быть представлены. Имея это в виду, семья круговые карты дан кем-то:[7]

куда - "собственная" частота генератора, а является периодической функцией, которая дает влияние, вызванное внешним осциллятором. Обратите внимание, что если частица просто ходит по кругу в единицы за раз; в частности, если иррационально, отображение сводится к иррациональное вращение.

Конкретная карта круга, первоначально изученная Арнольдом,[8] и который продолжает приносить пользу даже в наши дни:

куда называется сила сцепления, и следует интерпретировать по модулю . Эта карта показывает очень разнообразное поведение в зависимости от параметров и ; если мы исправим и варьировать , то бифуркационная диаграмма вокруг этого абзаца получается, где мы можем наблюдать периодические орбиты, бифуркации удвоения периода как можно лучше хаотичное поведение.

Получение круговой карты

Изображение простой модели, в которой круговая карта возникает «естественно». Красная линия и сбрасывается каждый раз, когда достигает синусоидальной черной линии.

Другой способ просмотра круговой карты следующий. Рассмотрим функцию который линейно убывает с наклоном . Как только он достигает нуля, его значение сбрасывается до определенного колеблющегося значения, описываемого функцией . Теперь нас интересует последовательность времен при котором y (t) достигает нуля.

Эта модель говорит нам, что в свое время действительно, что . С этого момента затем будет линейно уменьшаться, пока , где функция равно нулю, что дает:

и выбрав и мы получаем карту круга, о которой говорилось ранее:

Гласс, Л. (2001) утверждает, что эта простая модель применима к некоторым биологическим системам, таким как регулирование концентрации вещества в клетках или крови, с выше представляет концентрацию определенного вещества.

В этой модели фазовая синхронизация будет означать, что сброшен точно раз каждый периоды синусоидального . Число вращения, в свою очередь, будет частным .[7]

Характеристики

Рассмотрим общее семейство эндоморфизмов окружности:

где для стандартной окружности мы имеем . Иногда также будет удобно представить карту круга в виде отображения :

Перейдем к перечислению некоторых интересных свойств этих эндоморфизмов окружности.

P1. монотонно возрастает при , поэтому для этих значений повторяет двигайтесь только вперед по кругу, а не назад. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что производная от является:

что положительно, пока .

P2. Расширяя рекуррентное соотношение, получаем формулу для :

P3. Предположим, что , поэтому они являются периодическими неподвижными точками периода . Поскольку синус колеблется с частотой 1 Гц, количество колебаний синуса за цикл составляет будет , что характеризует фазовая синхронизация из .[7]

P4. Для любого , правда, что , что в свою очередь означает, что . Из-за этого для многих целей не имеет значения, повторяется ли взяты по модулю или нет.

P5 (трансляционная симметрия).[9][7] Предположим, что для данного Существует фазовая синхронизация в системе. Тогда для с целым числом , будет фазовая синхронизация. Это также означает, что если периодическая орбита для параметра , то это тоже периодическая орбита для любого .

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что отношение рекурсии в свойстве 2 будет выглядеть следующим образом:
так с тех пор благодаря оригинальной фазовой синхронизации, теперь у нас будет .

P6. За будет фазовая синхронизация всякий раз, когда является рациональным. Кроме того, пусть , то фазовая синхронизация .

Учитывая рекуррентное соотношение в свойстве 2, рациональное подразумевает:

и модуль равенства будет держать только когда является целым числом, а первое это удовлетворяет это . Как следствие:

имея в виду фазовая синхронизация.

Для иррационального (что приводит к иррациональное вращение) необходимо было бы иметь для целых чисел и , но потом и рационально, что противоречит исходной гипотезе.

Блокировка режима

Некоторые из языков Арнольда для стандартной круговой карты, ε = K/2π
Номер вращения как функция от Ω с K постоянным на K = 1

Для малых и средних значений K (то есть в диапазоне K = От 0 до примерно K = 1) и при определенных значениях Ω на карте наблюдается явление, называемое синхронизация режима или же фазовая синхронизация. В области фазовой синхронизации значения θп продвигаться по существу как рациональное множественное из п, хотя они могут делать это хаотично в небольших масштабах.

Предельное поведение в областях с синхронизацией мод определяется номер вращения.

[10]

которую также иногда называют картой номер намотки.

Области с синхронизацией по фазе, или языки Арнольда, показаны желтым на рисунке справа. Каждая такая V-образная область достигает рационального значения Ω =п/q в пределах K → 0. Значения (K, Ω) в одной из этих областей все приведет к движению, при котором число вращения ω = п/q. Например, все значения (K, Ω) в большой V-образной области в центре нижней части рисунка соответствуют числу вращения ω = 1/2. Одна из причин, по которой используется термин «блокировка», заключается в том, что отдельные значения θп могут возмущаться довольно большими случайными возмущениями (вплоть до ширины языка при заданном значении K), не нарушая предельного числа оборотов. То есть последовательность остается "привязанной" к сигналу, несмотря на добавление значительного шума к серии. θп. Эта способность «захватывать» в присутствии шума является центральной для полезности электронной схемы фазовой автоподстройки частоты.[нужна цитата]

Для каждого рационального числа существует область с синхронизацией режима. п/q. Иногда говорят, что круговая карта отображает рациональные числа, набор измерять ноль в K = 0, к множеству ненулевой меры для K ≠ 0. Самые большие языки, отсортированные по размеру, встречаются в Фарея дроби. Фиксация K и сделав поперечный разрез этого изображения, чтобы ω изображен как функция от Ω, дает "лестницу Дьявола" форму, которая в целом похожа на Функция КантораЭто можно показать для К <1, отображение окружности является диффеоморфизмом, существует только одно устойчивое решение. Однако как К> 1 это больше не выполняется, и можно найти области двух перекрывающихся областей блокировки. Для круговой карты можно показать, что в этой области могут перекрываться не более двух областей стабильной синхронизации мод, но неизвестно, существует ли какое-либо ограничение на количество перекрывающихся языков Арнольда для общих синхронизированных систем.[нужна цитата]

На круговой карте также изображены субгармонические маршруты к хаосу, то есть удвоение периода в форме 3, 6, 12, 24, ....

Стандартная карта Чирикова

В Стандартная карта Чирикова связана с картой окружности, имея аналогичные рекуррентные соотношения, которые можно записать как

с обеими итерациями, взятыми по модулю 1. По сути, стандартное отображение вводит импульс пп который может динамически изменяться, а не фиксироваться принудительно, как на карте круга. Стандартное отображение изучается в физика с помощью выбитый ротор Гамильтониан.

Приложения

Языки Арнольда применялись для изучения

Галерея

Круговая карта, показывающая регионы с заблокированным режимом или языки Арнольда черным цветом. Ω изменяется от 0 до 1 вдоль Икс-ось и K варьируется от 0 внизу до 4π на вершине. Чем краснее цвет, тем больше время повторения.
Номер вращения: черный соответствует 0, зеленый - 1/2 и красный до 1. Ω изменяется от 0 до 1 вдоль Икс-ось и K варьируется от 0 внизу до 2π на вершине.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Арнольд, В. (1961). «Малые знаменатели. I. Отображение круга на себя». Известия Российской Академии Наук. Серия Математическая. 25 (1): 21–86. В разделе 12 на странице 78 есть рисунок, показывающий языки Арнольда.
  2. ^ Перевод статьи Арнольда на английский язык: С. Аджан; В. И. Арнольд; С. П. Демушкин; Ju. С. Гуревич; С.С. Кемхадзе; Климов Н. И.; Ju. В. Линник; А. В. Малышев; Новиков П.С.; Д. А. Супруненко; В. А. Тартаковский; В. Ташбаев. Одиннадцать статей по теории чисел, алгебре и функциям комплексного переменного. 46. Переводы Американского математического общества, серия 2.
  3. ^ а б Jensen, M.H .; Кришна, С. (2012). «Вызвание фазовой синхронизации и хаоса в клеточных осцилляторах путем модуляции управляющих стимулов». Письма FEBS. 586 (11): 1664–1668. arXiv:1112.6093. Дои:10.1016 / j.febslet.2012.04.044. PMID 22673576. S2CID 2959093.
  4. ^ Gérard, C .; Гольдбетер, А. (2012). «Клеточный цикл - это предельный цикл». Математическое моделирование природных явлений. 7 (6): 126–166. Дои:10.1051 / mmnp / 20127607.
  5. ^ Nakao, M .; Энххудулмур, Т.Е .; Katayama, N .; Карашима, А. (2014). Увлекаемость моделей осцилляторов клеточного цикла с экспоненциальным ростом клеточной массы. Конференция инженерного общества медицины и биологии. IEEE. С. 6826–6829.
  6. ^ Гласс, Л. (2001). «Синхронизация и ритмические процессы в физиологии». Природа. 410 (6825): 277–284. Bibcode:2001Натура.410..277Г. Дои:10.1038/35065745. PMID 11258383. S2CID 4379463.
  7. ^ а б c d Стекло, л .; Перес, Р. (1982). «Тонкая структура фазовой синхронизации». Письма с физическими проверками. 48 (26): 1772. Bibcode:1982ПхРвЛ..48.1772Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.48.1772.
  8. ^ Он изучал это, используя косинус вместо синуса; см. страницу 78 из Арнольд, В. (1961).
  9. ^ Гевара, М.Р .; Гласс, Л. (1982). «Фазовая синхронизация, бифуркации удвоения периода и хаос в математической модели периодически управляемого осциллятора: теория увлечения биологических осцилляторов и генерации сердечных аритмий». Журнал математической биологии. 14 (1): 1–23. Дои:10.1007 / BF02154750. PMID 7077182. S2CID 2273911.
  10. ^ Вайсштейн, Эрик. "Число намотки карты". MathWorld. Получено 20 июн 2016.
  11. ^ Romeira, B .; Фигейредо, J.M .; Ironside, C.N .; Слайт, Т. (2009). «Хаотическая динамика в резонансно-туннельных оптоэлектронных генераторах, управляемых напряжением». Письма IEEE Photonics Technology. 21 (24): 1819–1821. Bibcode:2009IPTL ... 21.1819R. Дои:10.1109 / LPT.2009.2034129. S2CID 41327316.

Рекомендации

внешняя ссылка