WikiDer > Арнольд язык
В математика, особенно в динамические системы, Языки Арнольда (названный в честь Владимир Арнольд)[1][2] являются живописным явлением, возникающим при визуализации того, как номер вращения динамической системы или других связанных инвариантное свойство из них изменяется в зависимости от двух или более параметров. Области постоянного числа вращения наблюдались для некоторых динамических систем, чтобы сформировать геометрические фигуры напоминающие языки, в этом случае их называют языками Арнольда.[3]
Языки Арнольда наблюдаются в большом количестве разнообразных природных явлений, которые связаны с колеблющимися величинами, такими как концентрация ферментов и субстратов в биологических процессах.[4] и сердечные электрические волны. Иногда частота колебаний зависит от или ограничена (т. Е. с фазовой синхронизацией или же режим блокировки, в некоторых контекстах) на основе некоторого количества, и часто бывает интересно изучить эту связь. Например, начало опухоль вызывает в области серию колебаний вещества (в основном белков), которые взаимодействуют друг с другом; Моделирование показывает, что эти взаимодействия вызывают появление языков Арнольда, то есть частота одних колебаний ограничивает другие, и это можно использовать для контроля роста опухоли.[3]
Другие примеры, где можно найти языки Арнольда, включают негармоничность музыкальных инструментов, орбитальный резонанс и приливная блокировка орбитальных спутников, синхронизация мод в волоконная оптика и петли фазовой автоподстройки частоты и другие электронные генераторы, а также в сердечные ритмы, сердечные аритмии и клеточный цикл.[5]
Одна из простейших физических моделей с синхронизацией мод состоит из двух вращающихся дисков, соединенных слабой пружиной. Один диск может свободно вращаться, а другой приводится в движение двигателем. Синхронизация мод происходит, когда свободно вращающийся диск вращается с частотой, равной рациональный в несколько раз больше, чем у ведомого ротатора.
Простейшей математической моделью, демонстрирующей синхронизацию мод, является круговая карта, которая пытается зафиксировать движение вращающихся дисков через дискретные промежутки времени.
Стандартная круговая карта
Языки Арнольда чаще всего появляются при изучении взаимодействия между генераторы, особенно в случае, когда один осциллятор диски еще один. То есть один осциллятор зависит от другого, но не наоборот, поэтому они не влияют друг на друга, как это происходит в Курамото модели, Например. Это частный случай управляемые генераторы, с движущей силой, которая имеет периодическое поведение. В качестве практического примера клетки сердца (внешний осциллятор) генерируют периодические электрические сигналы для стимуляции сердечных сокращений (ведомый осциллятор); здесь может быть полезно определить соотношение между частотами осцилляторов, возможно, чтобы лучше спроектировать искусственные кардиостимуляторы. Семейство круговых карт служит полезной математической моделью для этого биологического явления, а также многих других.[6]
Семейство круговых карт - это функции (или эндоморфизмы) круга к себе. Математически проще рассматривать точку в круге как точку в реальной строке, которую следует интерпретировать по модулю , представляющий угол, под которым точка находится в окружности. Когда по модулю берется значение, отличное от , результат по-прежнему представляет собой угол, но его необходимо нормализовать, чтобы весь диапазон могут быть представлены. Имея это в виду, семья круговые карты дан кем-то:[7]
куда - "собственная" частота генератора, а является периодической функцией, которая дает влияние, вызванное внешним осциллятором. Обратите внимание, что если частица просто ходит по кругу в единицы за раз; в частности, если иррационально, отображение сводится к иррациональное вращение.
Конкретная карта круга, первоначально изученная Арнольдом,[8] и который продолжает приносить пользу даже в наши дни:
куда называется сила сцепления, и следует интерпретировать по модулю . Эта карта показывает очень разнообразное поведение в зависимости от параметров и ; если мы исправим и варьировать , то бифуркационная диаграмма вокруг этого абзаца получается, где мы можем наблюдать периодические орбиты, бифуркации удвоения периода как можно лучше хаотичное поведение.
Получение круговой карты
Другой способ просмотра круговой карты следующий. Рассмотрим функцию который линейно убывает с наклоном . Как только он достигает нуля, его значение сбрасывается до определенного колеблющегося значения, описываемого функцией . Теперь нас интересует последовательность времен при котором y (t) достигает нуля.
Эта модель говорит нам, что в свое время действительно, что . С этого момента затем будет линейно уменьшаться, пока , где функция равно нулю, что дает:
и выбрав и мы получаем карту круга, о которой говорилось ранее:
Гласс, Л. (2001) утверждает, что эта простая модель применима к некоторым биологическим системам, таким как регулирование концентрации вещества в клетках или крови, с выше представляет концентрацию определенного вещества.
В этой модели фазовая синхронизация будет означать, что сброшен точно раз каждый периоды синусоидального . Число вращения, в свою очередь, будет частным .[7]
Характеристики
Рассмотрим общее семейство эндоморфизмов окружности:
где для стандартной окружности мы имеем . Иногда также будет удобно представить карту круга в виде отображения :
Перейдем к перечислению некоторых интересных свойств этих эндоморфизмов окружности.
P1. монотонно возрастает при , поэтому для этих значений повторяет двигайтесь только вперед по кругу, а не назад. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что производная от является:
что положительно, пока .
P2. Расширяя рекуррентное соотношение, получаем формулу для :
P3. Предположим, что , поэтому они являются периодическими неподвижными точками периода . Поскольку синус колеблется с частотой 1 Гц, количество колебаний синуса за цикл составляет будет , что характеризует фазовая синхронизация из .[7]
P4. Для любого , правда, что , что в свою очередь означает, что . Из-за этого для многих целей не имеет значения, повторяется ли взяты по модулю или нет.
P5 (трансляционная симметрия).[9][7] Предположим, что для данного Существует фазовая синхронизация в системе. Тогда для с целым числом , будет фазовая синхронизация. Это также означает, что если периодическая орбита для параметра , то это тоже периодическая орбита для любого .
P6. За будет фазовая синхронизация всякий раз, когда является рациональным. Кроме того, пусть , то фазовая синхронизация .
Блокировка режима
Для малых и средних значений K (то есть в диапазоне K = От 0 до примерно K = 1) и при определенных значениях Ω на карте наблюдается явление, называемое синхронизация режима или же фазовая синхронизация. В области фазовой синхронизации значения θп продвигаться по существу как рациональное множественное из п, хотя они могут делать это хаотично в небольших масштабах.
Предельное поведение в областях с синхронизацией мод определяется номер вращения.
которую также иногда называют картой номер намотки.
Области с синхронизацией по фазе, или языки Арнольда, показаны желтым на рисунке справа. Каждая такая V-образная область достигает рационального значения Ω =п/q в пределах K → 0. Значения (K, Ω) в одной из этих областей все приведет к движению, при котором число вращения ω = п/q. Например, все значения (K, Ω) в большой V-образной области в центре нижней части рисунка соответствуют числу вращения ω = 1/2. Одна из причин, по которой используется термин «блокировка», заключается в том, что отдельные значения θп могут возмущаться довольно большими случайными возмущениями (вплоть до ширины языка при заданном значении K), не нарушая предельного числа оборотов. То есть последовательность остается "привязанной" к сигналу, несмотря на добавление значительного шума к серии. θп. Эта способность «захватывать» в присутствии шума является центральной для полезности электронной схемы фазовой автоподстройки частоты.[нужна цитата]
Для каждого рационального числа существует область с синхронизацией режима. п/q. Иногда говорят, что круговая карта отображает рациональные числа, набор измерять ноль в K = 0, к множеству ненулевой меры для K ≠ 0. Самые большие языки, отсортированные по размеру, встречаются в Фарея дроби. Фиксация K и сделав поперечный разрез этого изображения, чтобы ω изображен как функция от Ω, дает "лестницу Дьявола" форму, которая в целом похожа на Функция КантораЭто можно показать для К <1, отображение окружности является диффеоморфизмом, существует только одно устойчивое решение. Однако как К> 1 это больше не выполняется, и можно найти области двух перекрывающихся областей блокировки. Для круговой карты можно показать, что в этой области могут перекрываться не более двух областей стабильной синхронизации мод, но неизвестно, существует ли какое-либо ограничение на количество перекрывающихся языков Арнольда для общих синхронизированных систем.[нужна цитата]
На круговой карте также изображены субгармонические маршруты к хаосу, то есть удвоение периода в форме 3, 6, 12, 24, ....
Стандартная карта Чирикова
В Стандартная карта Чирикова связана с картой окружности, имея аналогичные рекуррентные соотношения, которые можно записать как
с обеими итерациями, взятыми по модулю 1. По сути, стандартное отображение вводит импульс пп который может динамически изменяться, а не фиксироваться принудительно, как на карте круга. Стандартное отображение изучается в физика с помощью выбитый ротор Гамильтониан.
Приложения
Языки Арнольда применялись для изучения
- Сердечные ритмы - видеть Glass, L. et al. (1983) и McGuinness, M. et al. (2004)
- Синхронизация резонансного генераторы на туннельных диодах[11]
Галерея
Смотрите также
Примечания
- ^ Арнольд, В. (1961). «Малые знаменатели. I. Отображение круга на себя». Известия Российской Академии Наук. Серия Математическая. 25 (1): 21–86. В разделе 12 на странице 78 есть рисунок, показывающий языки Арнольда.
- ^ Перевод статьи Арнольда на английский язык: С. Аджан; В. И. Арнольд; С. П. Демушкин; Ju. С. Гуревич; С.С. Кемхадзе; Климов Н. И.; Ju. В. Линник; А. В. Малышев; Новиков П.С.; Д. А. Супруненко; В. А. Тартаковский; В. Ташбаев. Одиннадцать статей по теории чисел, алгебре и функциям комплексного переменного. 46. Переводы Американского математического общества, серия 2.
- ^ а б Jensen, M.H .; Кришна, С. (2012). «Вызвание фазовой синхронизации и хаоса в клеточных осцилляторах путем модуляции управляющих стимулов». Письма FEBS. 586 (11): 1664–1668. arXiv:1112.6093. Дои:10.1016 / j.febslet.2012.04.044. PMID 22673576. S2CID 2959093.
- ^ Gérard, C .; Гольдбетер, А. (2012). «Клеточный цикл - это предельный цикл». Математическое моделирование природных явлений. 7 (6): 126–166. Дои:10.1051 / mmnp / 20127607.
- ^ Nakao, M .; Энххудулмур, Т.Е .; Katayama, N .; Карашима, А. (2014). Увлекаемость моделей осцилляторов клеточного цикла с экспоненциальным ростом клеточной массы. Конференция инженерного общества медицины и биологии. IEEE. С. 6826–6829.
- ^ Гласс, Л. (2001). «Синхронизация и ритмические процессы в физиологии». Природа. 410 (6825): 277–284. Bibcode:2001Натура.410..277Г. Дои:10.1038/35065745. PMID 11258383. S2CID 4379463.
- ^ а б c d Стекло, л .; Перес, Р. (1982). «Тонкая структура фазовой синхронизации». Письма с физическими проверками. 48 (26): 1772. Bibcode:1982ПхРвЛ..48.1772Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.48.1772.
- ^ Он изучал это, используя косинус вместо синуса; см. страницу 78 из Арнольд, В. (1961).
- ^ Гевара, М.Р .; Гласс, Л. (1982). «Фазовая синхронизация, бифуркации удвоения периода и хаос в математической модели периодически управляемого осциллятора: теория увлечения биологических осцилляторов и генерации сердечных аритмий». Журнал математической биологии. 14 (1): 1–23. Дои:10.1007 / BF02154750. PMID 7077182. S2CID 2273911.
- ^ Вайсштейн, Эрик. "Число намотки карты". MathWorld. Получено 20 июн 2016.
- ^ Romeira, B .; Фигейредо, J.M .; Ironside, C.N .; Слайт, Т. (2009). «Хаотическая динамика в резонансно-туннельных оптоэлектронных генераторах, управляемых напряжением». Письма IEEE Photonics Technology. 21 (24): 1819–1821. Bibcode:2009IPTL ... 21.1819R. Дои:10.1109 / LPT.2009.2034129. S2CID 41327316.
Рекомендации
- Вайсштейн, Эрик В. «Круглая карта». MathWorld.
- Бойленд, П. (1986). «Бифуркации круговых карт: языки Арнольда, бистабильность и интервалы вращения». Коммуникации по математической физике. 106 (3): 353–381. Bibcode:1986CMaPh.106..353B. Дои:10.1007 / BF01207252. S2CID 121088353.
- Gilmore, R .; Лефранк, М. (2002). Топология хаоса: Алиса в Stretch and Squeezeland. Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-40816--6. - Краткий обзор основных фактов в разделе 2.12..
- Гласс, Л.; Гевара, М.Р .; Shrier, A .; Перес, Р. (1983). «Бифуркация и хаос в периодически стимулируемом сердечном осцилляторе». Physica D: нелинейные явления. 7 (1–3): 89–101. Bibcode:1983PhyD .... 7 ... 89G. Дои:10.1016/0167-2789(83)90119-7. - Выполняет подробный анализ сердце сердечные ритмы в контексте круговой карты.
- McGuinness, M .; Hong, Y .; Галлетли, Д .; Ларсен, П. (2004). «Языки Арнольда в кардиореспираторной системе человека». Хаос. 14 (1): 1–6. Bibcode:2004Хаос..14 .... 1M. Дои:10.1063/1.1620990. PMID 15003038.
внешняя ссылка
- Карта круга с интерактивным Java-апплетом