WikiDer > Уравнения Рабиновича – Фабриканта.

В Уравнения Рабиновича – Фабриканта. представляют собой набор из трех связанных обыкновенные дифференциальные уравнения экспонирование хаотичный поведение при определенных значениях параметры. Они названы в честь Михаил Рабинович и Анатолий Фабрикант, который описал их в 1979 году.

Описание системы

Уравнения следующие:^[1]

${ Displaystyle { точка {х}} = у (г-1 + х ^ {2}) + гамма х ,}$

${ Displaystyle { точка {у}} = х (3z + 1-х ^ {2}) + гамма у ,}$

${ Displaystyle { точка {z}} = - 2z ( альфа + ху), ,}$

куда α, γ - константы, управляющие эволюцией системы. Для некоторых значений α и γ, система хаотична, но для других стремится к устойчивой периодической орбите.

Данка и Чен^[2] обратите внимание, что систему Рабиновича – Фабриканта трудно анализировать (из-за наличия квадратичных и кубических членов) и что разные аттракторы могут быть получены для одних и тех же параметров, используя разные размеры шага при интегрировании. Также недавно скрытый аттрактор был открыт в системе Рабиновича – Фабриканта ^[3].

Точки равновесия

График регионов, для которых точки равновесия ${ displaystyle { tilde { mathbf {x}}} _ {1,2,3,4}}$ существовать.

Система Рабиновича – Фабриканта имеет пять гиперболических точки равновесия, один в начале координат и четыре в зависимости от параметров системы α и γ:^[2]

${ Displaystyle { тильда { mathbf {x}}} _ {0} = (0,0,0)}$

${ displaystyle { tilde { mathbf {x}}} _ {1,2} = left ( pm q _ {-}, - { frac { alpha} {q _ {-}}}, 1- left (1 - { frac { gamma} { alpha}} right) q _ {-} ^ {2} right)}$

${ displaystyle { tilde { mathbf {x}}} _ {3,4} = left ( pm q _ {+}, - { frac { alpha} {q _ {+}}}, 1- left (1 - { frac { gamma} { alpha}} right) q _ {+} ^ {2} right)}$

куда

${ displaystyle q _ { pm} = { sqrt { frac {1 pm { sqrt {1- gamma alpha left (1 - { frac {3 gamma} {4 alpha}} right) )}}} {2 left (1 - { frac {3 gamma} {4 alpha}} right)}}}}$

Эти точки равновесия существуют только для определенных значений α и γ > 0.

γ = 0,87, α = 1,1

Получен пример хаотического поведения для γ = 0,87 и α = 1.1 с начальными условиями (−1, 0, 0.5).^[4] В измерение корреляции оказался равным 2,19 ± 0,01.^[5] Показатели Ляпунова, λ приблизительно равны 0,1981, 0, -0,6581 и Измерение Каплана – Йорка, D_KY ≈ 2.3010^[4]

γ = 0,1

Данка и Ромера^[6] показал, что для γ = 0,1, система хаотична при α = 0,98, но прогрессирует стабильно предельный цикл за α = 0.14.

Трехмерный параметрический график решения уравнений Рабиновича-Фабриканта для α= 0,14 и γ= 0,1 (предельный цикл показан красной кривой)

Смотрите также

• Список хаотических карт

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Рабиновича – Фабриканта». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
• Хаотика Моделирует более подходящий подход к хаотическому графу системы. «Уравнение Рабиновича – Фабриканта»