WikiDer > L-функция Артина

Artin L-function

В математика, Артин L-функция это тип Серия Дирихле связано с линейное представление ρ Группа Галуа г. Эти функции были введены в 1923 г. Эмиль Артин, в связи с его исследованием теория поля классов. Их основные свойства, в частности Гипотеза Артина описанные ниже, оказались стойкими к легкому доказательству. Одна из целей предлагаемых неабелева теория поля классов состоит в том, чтобы включить комплексно-аналитическую природу Артина L-функции в более крупную структуру, например, предоставляемую автоморфные формы и Программа Langlands. Пока что лишь небольшая часть такой теории получила прочную основу.

Определение

Данный ${ displaystyle rho}$ , представление ${ displaystyle G}$ на конечномерном комплексном векторном пространстве ${ displaystyle V}$ , где ${ displaystyle G}$ группа Галуа конечное расширение ${ displaystyle L / K}$ числовых полей, Артин ${ displaystyle L}$ -функция: ${ Displaystyle L ( rho, s)}$ определяется Произведение Эйлера. Для каждого главный идеал ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ в ${ displaystyle K}$ с кольцо целых чисел, существует фактор Эйлера, который легче всего определить в случае, когда ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ является неразветвленный в ${ displaystyle L}$ (верно для почти все ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ ). В этом случае Элемент Фробениуса ${ displaystyle mathbf {Frob} ({ mathfrak {p}})}$ определяется как класс сопряженности в ${ displaystyle G}$ . Следовательно характеристический многочлен из ${ displaystyle rho ( mathbf {Frob} ({ mathfrak {p}}))}$ четко определено. Фактор Эйлера для ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ представляет собой небольшую модификацию характеристического многочлена, столь же хорошо определенного,

{ displaystyle operatorname {charpoly} ( rho ( mathbf {Frob} ({ mathfrak {p}}))) ^ {- 1} = operatorname {det} left [It rho ( mathbf {Frob } ({ mathfrak {p}})) right] ^ {- 1},}

так как рациональная функция в т, оценивается в ${ Displaystyle т = N ({ mathfrak {p}}) ^ {- s}}$ , с участием ${ displaystyle s}$ сложная переменная в обычном Дзета-функция Римана обозначение. (Вот N это норма поля идеала.)

Когда ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ разветвлен, и я это группа инерции которая является подгруппой г, аналогичная конструкция применяется, но к подпространству V фиксировано (поточечно) на я.^{[примечание 1]}

L-функция Артина ${ Displaystyle L ( rho, s)}$ - тогда бесконечное произведение по всем простым идеалам ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ этих факторов. Так как Артиновая взаимность показывает, когда г является абелева группа эти L-функции имеют второе описание (как Дирихле L-функции когда K это рациональное число поле, а как Гекке L-функции в общем). Новинка приходит с неабелев г и их представления.

Одно из приложений - разложение на множители Дзета-функции Дедекинда, например, в случае числового поля Галуа над рациональными числами. В соответствии с разложением регулярное представительство в неприводимые представления, такая дзета-функция распадается на продукт Артина L-функции, для каждого неприводимого представления г. Например, самый простой случай - когда г это симметричная группа на трех буквах. поскольку г имеет неприводимое представление степени 2, Артин L-функция для такого представления встречается в квадрате при факторизации дзета-функции Дедекинда для такого числового поля в произведении с дзета-функцией Римана (для тривиальное представление) и L-функция типа Дирихле для представления подписи.

Точнее для ${ displaystyle L / K}$ расширение Галуа степени п, факторизация

{ displaystyle zeta _ {L} (s) = L (s, rho _ { text {regular}}) = prod _ { rho { text {Irr rep}} { text {Gal}} (L / K)} L ( rho, s) ^ { deg ( rho)}}

следует из

{ Displaystyle L ( rho, s) = prod _ {{ mathfrak {p}} in K} { frac {1} { det left [IN ({ mathfrak {p}}) ^ { -s} rho ( mathbf {Frob} _ { mathfrak {p}}) {| V _ {{ mathfrak {p}}, rho}} right]}}}

{ displaystyle - log det left [IN ({ mathfrak {p}}) ^ {- s} rho left ( mathbf {Frob} _ { mathfrak {p}} right) right] = sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {{ text {tr}} ( rho ( mathbf {Frob} _ { mathfrak {p}}) ^ {m})} { m}} N ({ mathfrak {p}}) ^ {- sm}}

{ displaystyle sum _ { rho { text {Irr}}} deg ( rho) { text {tr}} ( rho ( sigma)) = { begin {cases} n & sigma = 1 0 & sigma neq 1 end {case}}}

{ displaystyle - sum _ { rho { text {Irr}}} deg ( rho) log det left [IN left ({ mathfrak {p}} ^ {- s} right) rho left ( mathbf {Frob} _ { mathfrak {p}} right) right] = n sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {N ({ mathfrak {p }}) ^ {- sfm}} {fm}} = - log left [ left (1-N ({ mathfrak {p}}) ^ {- sf} right) ^ { frac {n} {f}} right]}

где ${ displaystyle deg ( rho)}$ - кратность неприводимого представления в регулярном представлении, ж это заказ из ${ displaystyle mathbf {Frob} _ { mathfrak {p}}}$ и п заменяется на н / д у разветвленных простых чисел.

Поскольку символы являются ортонормированной основой функции класса, показав некоторые аналитические свойства ${ Displaystyle L ( rho, s)}$ получаем Теорема плотности Чеботарева как обобщение Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях.

Функциональное уравнение

L-функции Артина удовлетворяют функциональное уравнение. Функция ${ Displaystyle L ( rho, s)}$ связана по своим ценностям с ${ Displaystyle L ( rho ^ {*}, 1-s)}$ , где ${ displaystyle rho ^ {*}}$ обозначает комплексно-сопряженное представление. Точнее L заменяется на ${ Displaystyle Lambda ( rho, s)}$ , который L умноженный на определенные гамма-факторы, а затем существует уравнение мероморфных функций

{ Displaystyle Lambda ( rho, s) = W ( rho) Lambda ( rho ^ {*}, 1-s)}

,

с определенным комплексным числом W(ρ) по модулю 1. Это Артиновое корневое число. Он был глубоко изучен в отношении двух типов свойств. в первую очередь Роберт Лэнглендс и Пьер Делинь установил факторизацию в Локальные константы Ленглендса – Делиня; это важно в связи с предполагаемыми отношениями к автоморфные представления. Также случай, когда ρ и ρ * являются эквивалентные представления в точности то, в котором функциональное уравнение имеет одну и ту же L-функцию с каждой стороны. Алгебраически говоря, это случай, когда ρ является реальное представление или кватернионное представление. Таким образом, корневое число Артина равно +1 или -1. Вопрос о том, какой знак возникает, связан с Модуль Галуа теория (Перлис 2001).

Гипотеза Артина

В Гипотеза Артина на L-функциях Артина утверждает, что L-функция Артина ${ Displaystyle L ( rho, s)}$ нетривиального неприводимого представления ρ аналитично во всей комплексной плоскости.^[1]

Это известно для одномерных представлений, при этом L-функции ассоциируются с Гекке персонажи - и в частности для L-функции Дирихле.^[1] В более общем плане Артин показал, что гипотеза Артина верна для всех представлений, индуцированных из одномерных представлений. Если группа Галуа сверхразрешимый или в более общем смысле одночлен, то все представления имеют этот вид, поэтому гипотеза Артина верна.

Андре Вайль доказал гипотезу Артина в случае функциональные поля.

Двумерные представления классифицируются по природе подгруппы изображений: они могут быть циклическими, двугранными, тетраэдрическими, октаэдрическими или икосаэдрическими. Гипотеза Артина для циклического или диэдрального случая легко следует из Эрих Хеккеработа. Ленглендс использовал изменение базы подъема чтобы доказать тетраэдрический случай, и Джеррольд Таннелл расширил свою работу, чтобы охватить восьмигранный случай; Эндрю Уайлс использовал эти случаи в своем доказательстве Гипотеза Таниямы – Шимуры. Ричард Тейлор и другие достигли некоторого прогресса в (неразрешимом) икосаэдрическом случае; это активная область исследований. Гипотеза Артина для нечетных неприводимых двумерных представлений следует из доказательства Гипотеза Серра о модульностинезависимо от подгруппы проективных изображений.

Теорема Брауэра об индуцированных характерах означает, что все L-функции Артина являются произведениями положительных и отрицательных целых степеней L-функций Гекке и, следовательно, являются мероморфный во всей комплексной плоскости.

Ленглендс (1970) указал, что гипотеза Артина следует из достаточно сильных результатов Философия Ленглендса, относящиеся к L-функциям, связанным с автоморфные представления для GL (n) для всех ${ Displaystyle п geq 1}$ . Точнее, гипотезы Ленглендса связывают автоморфное представление группа аделей GL_п(А_Q) каждому п-мерное неприводимое представление группы Галуа, являющееся куспидальное представление если представление Галуа неприводимо, так что L-функция Артина представления Галуа совпадает с автоморфной L-функцией автоморфного представления. Гипотеза Артина немедленно следует из известного факта, что L-функции каспидальных автоморфных представлений голоморфны. Это было одним из основных мотивов работы Ленглендса.

Гипотеза Дедекинда

Более слабая гипотеза (иногда известная как гипотеза Дедекинда) утверждает, что если M/K является продолжением числовые поля, то частное ${ Displaystyle s mapsto zeta _ {M} (s) / zeta _ {K} (s)}$ от их Дзета-функции Дедекинда целая.

Теорема Араматы-Брауэра утверждает, что гипотеза верна, если M/K это Галуа.

В общем, пусть N закрытие Галуа M над K,и г группа Галуа N/K.Частное ${ Displaystyle s mapsto zeta _ {M} (s) / zeta _ {K} (s)}$ равен L-функциям Артина, связанным с естественным представлением, связанным с действием г на K-инвариантов комплексного вложения M. Таким образом, из гипотезы Артина следует гипотеза Дедекинда.

Гипотеза была доказана, когда г это разрешимая группа, независимо от Коджи Учиды и Р. В. ван дер Ваала в 1975 г.^[2]

Смотрите также

Эквивариантная L-функция

Заметки

^ Возможно, правильнее вместо этого думать о коинварианты, самый большой факторное пространство фиксируется я, а не инварианты, но результат здесь будет тот же. Ср. L-функция Хассе – Вейля для подобной ситуации.

использованная литература

^ ^а ^б Мартине (1977) стр.18
^ (Прасад и Йогананда2000)

Артин, Э. (1923). "Uber eine neue Art von L Reihen". Хамб. Математика. Abh. 3. Печатается в его собрании сочинений, ISBN 0-387-90686-X. Английский перевод в L-функции Артина: исторический подход Н. Снайдера.
Артин, Эмиль (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen Hamburg (на немецком), 8: 292–306, Дои:10.1007 / BF02941010, JFM 56.0173.02
Таннелл, Джерролд (1981). "Гипотеза Артина для представлений октаэдрического типа". Бык. Амер. Математика. Soc. Н.С. 5 (2): 173–175. Дои:10.1090 / S0273-0979-1981-14936-3.
Гелбарт, Стивен (1977). «Автоморфные формы и гипотеза Артина». Модульные функции одной переменной, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976). Конспект лекций по математике. 627. Берлин: Springer. С. 241–276.
Лэнглендс, Роберт (1967), Письмо профессору Вайлю
Ланглендс, Роберт П. (1970), "Проблемы теории автоморфных форм", Лекции по современному анализу и приложениям, III, Конспект лекций по математике, 170, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 18–61, Дои:10.1007 / BFb0079065, ISBN 978-3-540-05284-5, Г-Н 0302614
Мартине, Дж. (1977), "Теория характеров и L-функции Артина", в Фрёлих, А. (ред.), Поля алгебраических чисел, Тр. Symp. Лондонская математика. Soc., Univ. Дарем 1975, Academic Press, стр. 1–87, ISBN 0-12-268960-7, Zbl 0359.12015
Прасад, Дипендра; Йогананда, С.С. (2000), Бамбах, Р.П .; Dumir, V. C .; Ханс-Гилл, Р. Дж. (Ред.), Отчет о гипотезе Артина о голоморфности (PDF), Birkhäuser Basel, стр. 301–314, Дои:10.1007/978-3-0348-7023-8_16, ISBN 978-3-0348-7023-8

внешние ссылки

Перлис, Р. (2001) [1994], "Корневые числа Артина", Энциклопедия математики, EMS Press

[1] Возможно, правильнее вместо этого думать о коинварианты, самый большой факторное пространство фиксируется я, а не инварианты, но результат здесь будет тот же. Ср. L-функция Хассе – Вейля для подобной ситуации.

[Mar18-2] а ^б Мартине (1977) стр.18

[3] (Прасад и Йогананда2000)

[примечание 1]

[1]

[2]

v т е L-функции в теория чисел
Аналитические примеры	Дзета-функция Римана Дирихле L-функции L-функции персонажей Гекке Автоморфный L-функции Класс Сельберга
Алгебраические примеры	Дзета-функции Дедекинда Артин L-функции Хассе-Вайль L-функции Мотивный L-функции
Теоремы	Формула числа аналитических классов Формула Римана – фон Мангольдта Гипотезы Вейля
Аналитические догадки	Гипотеза Римана Обобщенная гипотеза Римана Гипотеза Линделёфа Гипотеза Рамануджана – Петерсона Гипотеза Артина
Алгебраические гипотезы	Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера Гипотеза Делиня Гипотезы Бейлинсона Гипотеза Блоха – Като Гипотеза Ленглендса
п-адический L-функции	Основная гипотеза теории Ивасавы Группа Сельмера Система Эйлера

Navigation