WikiDer > BDDC

BDDC

В численный анализ, BDDC (балансировка декомпозиции домена по ограничениям) это метод декомпозиции домена для решения больших симметричный, положительно определенный системы линейные уравнения которые возникают из метод конечных элементов. BDDC используется как предварительный кондиционер к метод сопряженных градиентов. Конкретная версия BDDC характеризуется выбором грубых степеней свободы, которые могут быть значениями в углах подобластей или средними значениями по краям или граням интерфейса между подобластями. Затем одно приложение предобуславливателя BDDC объединяет решение локальных проблем на каждом подобласти с решением глобального грубая проблема с грубыми степенями свободы в качестве неизвестных. Локальные проблемы на разных подобластях полностью независимы друг от друга, поэтому метод подходит для параллельные вычисления. При правильном выборе грубых степеней свободы (углы в 2D, углы плюс ребра или углы плюс грани в 3D) и с регулярными формами подобластей, номер условия метода ограничен при увеличении количества подобластей, и он растет очень медленно с количеством элементов в подобласти. Таким образом, количество итераций ограничено таким же образом, и метод хорошо масштабируется в зависимости от размера проблемы и количества подобластей.

История

BDDC был введен разными авторами и разными подходами примерно в одно и то же время, то есть Cros,[1] Дорманн,[2] и Фрагакис и Пападракакис,[3] в качестве основной альтернативы FETI-DP метод декомпозиции домена по Фархат и другие.[4][5] Увидеть [6] для доказательства того, что на самом деле это тот же метод, что и BDDC. Название метода было придумано Мандель и Дорманн,[7] потому что это можно понимать как дальнейшее развитие BDD (балансировка декомпозиции области) метод.[8] Мандель, Дорманн и Тезаур [9] доказали, что собственные значения BDDC и FETI-DP идентичны, за исключением собственного значения, равного единице, которое может присутствовать в BDDC, но не в FETI-DP, и, таким образом, их количество итераций практически одинаково. Намного более простые доказательства этого факта были получены позже Ли и Widlund [10] и по Бреннер и поют.[11]

Грубое пространство

В грубое пространство BDDC состоит из энергетически минимальных функций с заданными значениями грубых степеней свободы. Это такое же грубое пространство, которое используется для углов в версии BDD для тарелки и снаряды.[12] Разница в том, что в BDDC грубая задача используется аддитивно, а в BDD - мультипликативно.

Механическое описание

Метод BDDC часто используется для решения проблем с линейная эластичность, и, пожалуй, лучше всего это можно объяснить с точки зрения деформации упругой конструкции. Задача упругости заключается в определении деформации конструкции при заданных перемещениях и приложенных к ней силах. После применения метода конечных элементов мы получаем систему линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются перемещения в узлах элементов, а правая часть исходит от сил (и от ненулевых заданных перемещений на границе, но, для простоты предположим, что они равны нулю).

Предварительный кондиционер принимает правую сторону и предоставляет приблизительное решение. Итак, предположим, что у нас есть упругая структура, разделенная на неперекрывающиеся подструктуры, и для простоты предположим, что грубые степени свободы представляют собой только углы подобласти. Предположим, что заданы силы, приложенные к конструкции.

Первым шагом в методе BDDC является внутренняя коррекция, которая заключается в нахождении деформации каждой подобласти отдельно с учетом сил, приложенных к подобласти, за исключением интерфейса подобласти с ее соседями. Поскольку внутренняя часть каждой подобласти перемещается независимо, а интерфейс остается при нулевой деформации, это вызывает изгибы на границе раздела. Силы на интерфейсе, необходимые для сохранения баланса изгибов, добавляются к силам, уже заданным на интерфейсе. Затем межфазные силы распределяются по подобласти (либо одинаково, либо с весами, пропорциональными жесткости материала подобластей, так что более жесткие подобласти получают больше силы).

Второй шаг, называемый коррекцией подобласти, заключается в нахождении деформации для этих интерфейсных сил в каждой подобласти отдельно при условии нулевых смещений на углах подобласти. Обратите внимание, что значения коррекции субдомена в интерфейсе в целом различаются.

В то же время, что и коррекция подобласти, вычисляется грубая поправка, которая состоит из смещения во всех углах подобласти, интерполируемых между углами в каждой подобласти отдельно при условии, что подобласть принимает ту же форму, что и без приложения сил. ему вообще. Затем силы интерфейса, как и для коррекции подобласти, применяются, чтобы найти значения грубой коррекции в углах подобласти. Таким образом, межфазные силы усредняются, и грубое решение находится по Метод Галеркина. Опять же, значения грубой коррекции на интерфейсах субдоменов, как правило, не являются непрерывными для интерфейса.

Наконец, добавляются поправки на подобласти и грубые поправки, и сумма усредняется по интерфейсам подобластей с теми же весами, которые использовались для распределения сил на подобласть ранее. Это дает значение вывода BDDC на интерфейсах между субдоменами. Значения выхода BDDC внутри подобластей затем получаются путем повторения внутренней коррекции.

В практической реализации правая часть и начальное приближение для итераций предварительно обрабатываются, так что все силы внутри подобластей равны нулю. Это делается одним применением внутренней коррекции, как описано выше. Тогда силы внутри подобластей останутся равными нулю во время итераций сопряженных градиентов, и поэтому первую внутреннюю коррекцию в каждом приложении BDDC можно пропустить.

использованная литература

  1. ^ Ж.-М. Крос, Предобуславливатель для метода декомпозиции области дополнения Шура, в «Методы декомпозиции доменов в науке и технике», И. Эррера, Д. Э. Киз и О. Б. Видлунд, ред., Национальный автономный университет Мексики (UNAM), Мексика, 2003, стр. 373–380. 14-я Международная конференция по методам декомпозиции доменов, Кокойок, Мексика, 6–12 января 2002 г.
  2. ^ К. Р. Дорманн, Предварительная подготовка для субструктурирования на основе минимизации энергии, SIAM J. Sci. Вычисл., 25 (2003), стр. 246–258.
  3. ^ Ю. Фрагакис и М. Пападракакис, Мозаика высокопроизводительных методов декомпозиции областей для структурной механики: формулировка, взаимосвязь и численная эффективность первичных и двойственных методов, Вычисл. Методы Прил. Мех. Engrg., 192 (2003), стр. 3799–3830.
  4. ^ К. Фархат, М. Лесойн, П. Леталлек, К. Пирсон и Д. Риксен, FETI-DP: двойной первичный унифицированный метод FETI. I. Более быстрая альтернатива двухуровневому методу FETI, Internat. J. Numer. Methods Engrg., 50 (2001), стр. 1523–1544.
  5. ^ К. Фархат, М. Лесойн и К. Пирсон, Масштабируемый метод декомпозиции дуальной первичной области, Нумер. Linear Algebra Appl., 7 (2000), стр. 687–714. Методы предварительной обработки для больших задач с разреженными матрицами в промышленных приложениях (Миннеаполис, Миннесота, 1999).
  6. ^ Дж. Мандель и Б. Суседик, BDDC и FETI-DP в минималистских предположениях, Computing, 81 (2007), стр. 269–280.
  7. ^ Дж. Мандель и К. Р. Дорманн, Сходимость декомпозиции балансирующей области по ограничениям и минимизации энергии, Нумер. Приложение линейной алгебры, 10 (2003), стр. 639–659.
  8. ^ Дж. Мандель, Балансировка декомпозиции домена, Comm. Нумер. Methods Engrg., 9 (1993), стр. 233–241.
  9. ^ Дж. Мандель, К. Р. Дорманн и Р. Тезаур, Алгебраическая теория прямых и двойственных методов субструктурирования ограничениями, Прил. Нумер. Math., 54 (2005), стр. 167–193.
  10. ^ Дж. Ли и О. Б. Видлунд, Методы FETI-DP, BDDC и блочного Холецкого, Междунар. J. Numer. Methods Engrg., 66 (2006), стр. 250–271.
  11. ^ С. К. Бреннер и Л.-Ю. Поет, BDDC и FETI-DP без матриц или векторов, Вычисл. Методы Прил. Мех. Engrg., 196 (2007), стр. 1429–1435.
  12. ^ Ле Таллек, Патрик; Мандель, Ян; Видраску, Марина, Алгоритм декомпозиции области Неймана-Неймана для решения задач пластины и оболочки. SIAM J. Numer. Анальный. 35 (1998), нет. 2, 836–867

внешние ссылки

  • Интервью с Яном Манделем, Кларком Дорманном и Радеком Тезауром о «Алгебраической теории для методов прямого и двойственного подструктурирования с помощью ограничений»
  • Интервью с Улофом Видлундом и Цзин Ли о "методах FETI-DP, BDDC и Block Cholesky"