WikiDer > Метод дополнения Шура

эта статья не цитировать Любые источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удалено. Найдите источники: «Метод дополнения Шура» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Июль 2020) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В численный анализ, то Метод дополнения Шура, названный в честь Иссай Шур, это основная и самая ранняя версия неперекрывающегося метод декомпозиции домена, также называется итеративное субструктурирование. А заключительный элемент проблема разбивается на неперекрывающиеся подобласти, а неизвестные во внутренних частях подобластей удаляются. Оставшаяся система дополнений Шура на неизвестных, связанных с интерфейсами подобластей, решается с помощью метод сопряженных градиентов.

Метод и реализация

Предположим, мы хотим решить уравнение Пуассона

${displaystyle -Delta u = f, qquad u | _ {частичная омега} = 0}$

в некоторой области Ω. Когда мы дискретизируем эту проблему, мы получаем N-мерная линейная система AU = F. Метод дополнения Шура разбивает линейную систему на подзадачи. Для этого разделим Ω на две подобласти Ω₁, Ω₂ которые имеют общий интерфейс Γ. Позволять U₁, U₂ и U_Γ быть степенями свободы, связанными с каждой подобластью и с интерфейсом. Тогда мы можем записать линейную систему как

${displaystyle left [{egin {matrix} A_ {11} & 0 & A_ {1Gamma} 0 & A_ {22} & A_ {2Gamma} A_ {Gamma 1} & A_ {Gamma 2} & A_ {Gamma Gamma} end {matrix}} ight] left [{начало {матрица} U_ {1} U_ {2} U_ {Gamma} end {matrix}} ight] = left [{egin {matrix} F_ {1} F_ {2} F_ {Gamma} end {matrix}} ight],}$

где F₁, F₂ и F_Γ компоненты вектора нагрузки в каждой области.

В методе дополнения Шура отмечается, что мы можем найти значения на интерфейсе, решая меньшую систему

${displaystyle Sigma U_ {Gamma} = F_ {Gamma} -A_ {Gamma 1} A_ {11} ^ {- 1} F_ {1} -A_ {Gamma 2} A_ {22} ^ {- 1} F_ {2} ,}$

для значений интерфейса U_Γ, где мы определяем Дополнение Шура матрица

${displaystyle Sigma = A_ {Gamma Gamma} -A_ {Gamma 1} A_ {11} ^ {- 1} A_ {1Gamma} -A_ {Gamma 2} A_ {22} ^ {- 1} A_ {2Gamma}.}$

Важно отметить, что вычисление любых величин, включающих ${displaystyle A_ {11} ^ {- 1}}$ или ${displaystyle A_ {22} ^ {- 1}}$ включает решение развязанных Задачи Дирихле в каждом домене, и это можно делать параллельно. Следовательно, нам не нужно явно хранить матрицу дополнения Шура; достаточно знать, как на него умножить вектор.

Как только мы узнаем значения в интерфейсе, мы можем найти внутренние значения, используя два отношения

${displaystyle A_ {11} U_ {1} = F_ {1} -A_ {1Gamma} U_ {Gamma}, qquad A_ {22} U_ {2} = F_ {2} -A_ {2Gamma} U_ {Gamma},}$

которые можно выполнять параллельно.

Умножение вектора на дополнение Шура есть дискретный версия Оператор Пуанкаре – Стеклова, также называемый Отображение Дирихле в Неймана.

Преимущества

У этого метода есть два преимущества. Во-первых, устранение внутренних неизвестных на подобластях, то есть решение задач Дирихле, можно проводить параллельно. Во-вторых, переход к дополнению Шура уменьшает количество условий и, таким образом, имеет тенденцию к уменьшению количества итераций. Для проблем второго порядка, таких как Уравнение лапласа или линейная эластичностьматрица системы имеет номер условия порядка 1 /час², где час - характерный размер элемента. Однако дополнение Шура имеет номер обусловленности только порядка 1 /час.

Для перформансов метод дополнения Шура сочетается с предварительной подготовкой, по крайней мере, диагональный предварительный кондиционер. В Метод Неймана – Неймана и Метод Неймана – Дирихле. являются методом дополнения Шура с определенными видами предобуславливателей.