WikiDer > Методы Неймана – Неймана

В математике Методы Неймана – Неймана разложение области предварительные кондиционеры названы так, потому что они решают Проблема Неймана на каждом субдомене с обеих сторон интерфейса между субдоменами.^[1] Как и все методы декомпозиции области, так что количество итераций не растет с увеличением числа подобластей, методы Неймана – Неймана требуют решения грубой задачи для обеспечения глобальной связи. В балансировка декомпозиции области является методом Неймана – Неймана со специальным видом грубой задачи.

Более конкретно, рассмотрим область Ω, в которой мы хотим решить уравнение Пуассона

${ displaystyle - Delta u = f, qquad u | _ { partial Omega} = 0}$

для какой-то функции ж. Разделим область на две неперекрывающиеся подобласти Ω₁ и Ω₂ с общей границей Γ и пусть ты₁ и ты₂ быть значениями ты в каждом поддомене. На границе между двумя подобластями два решения должны удовлетворять условиям согласования

${ displaystyle u_ {1} = u_ {2}, qquad partial _ {n_ {1}} u_ {1} = partial _ {n_ {2}} u_ {2}}$

куда ${ textstyle n_ {i}}$ - единичный вектор нормали к Γ в каждой подобласти.

Итерационный метод с итерациями k = 0,1, ... для аппроксимации каждого u_я (i = 1,2), удовлетворяющая условиям согласования, должна сначала решить задачи Дирихле

${ displaystyle - Delta u_ {i} ^ {(k)} = f_ {i} ; { text {in}} ; Omega _ {i}, qquad u_ {i} ^ {(k) } | _ { partial Omega} = 0, quad u_ {i} ^ {(k)} | _ { Gamma} = lambda ^ {(k)}}$

для некоторой функции λ^(k) на Γ, где λ⁽⁰⁾ - любое недорогое первоначальное предположение Затем мы решаем две задачи Неймана.

${ displaystyle - Delta psi _ {i} ^ {(k)} = 0 ; { text {in}} ; Omega _ {i}, qquad psi _ {i} ^ {(k )} | _ { partial Omega} = 0, quad partial _ {n_ {i}} psi _ {i} ^ {(k)} | _ { Gamma} = omega ( partial _ { n_ {1}} u_ {1} ^ {(k)} + partial _ {n_ {2}} u_ {2} ^ {(k)}).}$

Затем мы получаем следующую итерацию, задав

${ displaystyle lambda ^ {(k + 1)} = lambda ^ {(k)} - omega ( theta _ {1} psi _ {1} ^ {(k)} + theta _ {2 } psi _ {2} ^ {(k)}) ; { text {on}} ; Gamma}$

для некоторых параметров ω, θ₁ и θ₂.

Эту процедуру можно рассматривать как Итерация Ричардсона для итерационного решения уравнений, возникающих из Метод дополнения Шура.^[2]

Эта непрерывная итерация может быть дискретизирована метод конечных элементов а затем решали - параллельно - на компьютере. Расширение на большее количество поддоменов является простым, но использование этого метода, как указано в качестве предварительного условия для системы дополнений Шура, не масштабируется с количеством поддоменов; отсюда необходимость глобального грубого решения.

Смотрите также

• Метод Неймана – Дирихле.

Рекомендации