WikiDer > Метод линий

Method of lines
Метод строк - пример, показывающий происхождение названия метода.

В метод линий (MOL, NMOL, NUMOL[1][2][3]) - это метод решения уравнения в частных производных (PDE), в которых дискретизируются все измерения, кроме одного. MOL позволяет использовать стандартные универсальные методы и программное обеспечение, разработанные для численное интегрирование ODE и DAE, которые будут использоваться. Многие процедуры интеграции были разработаны на протяжении многих лет на разных языках программирования, а некоторые из них были опубликованы как Открытый исходный код Ресурсы.[4]

Метод линий чаще всего относится к построению или анализу численных методов для уравнений с частными производными, который осуществляется сначала путем дискретизации только пространственных производных и сохранения непрерывности временной переменной. Это приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой можно применить численный метод для обыкновенных уравнений начального значения. Метод линий в этом контексте восходит как минимум к началу 1960-х годов.[5] С тех пор появилось много работ, в которых обсуждается точность и устойчивость метода прямых для различных типов дифференциальных уравнений в частных производных.[6][7]

Приложение к эллиптическим уравнениям

MOL требует, чтобы проблема PDE была правильно сформулирована как начальное значение (Коши) проблема хотя бы в одном измерении, потому что интеграторы ODE и DAE проблема начального значения (IVP) решатели. Таким образом, его нельзя использовать непосредственно на чистом эллиптические уравнения в частных производных, Такие как Уравнение Лапласа. Однако MOL использовался для решения уравнения Лапласа с помощью метод ложных переходных процессов.[1][8] В этом методе к уравнению Лапласа добавляется производная зависимой переменной по времени. Затем конечные разности используются для аппроксимации пространственных производных, и полученная система уравнений решается с помощью MOL. Также можно решать эллиптические задачи с помощью полуаналитический метод линий.[9] В этом методе процесс дискретизации приводит к набору ОДУ, которые решаются за счет использования свойств связанной экспоненциальной матрицы.

Недавно для преодоления проблем устойчивости, связанных с методом ложных переходных процессов, был предложен метод возмущений, который оказался более устойчивым, чем стандартный метод ложных переходных процессов для широкого диапазона эллиптических УЧП.[10]

Рекомендации

  1. ^ а б Шиссер, В. Э. (1991). Численный метод линий. Академическая пресса. ISBN 0-12-624130-9.
  2. ^ Hamdi, S .; W. E. Schiesser; Г. В. Гриффитс (2007), «Метод линий», Scholarpedia, 2 (7): 2859, Дои:10.4249 / scholarpedia.2859
  3. ^ Schiesser, W. E .; Г. В. Гриффитс (2009). Сборник моделей дифференциальных уравнений в частных производных: метод анализа линий с помощью Matlab. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-51986-1.
  4. ^ Lee, H.J .; В. Э. Шиссер (2004). Обыкновенные и частные дифференциальные уравнения в C, C ++, Fortran, Java, Maple и Matlab. CRC Press. ISBN 1-58488-423-1.
  5. ^ Э. Н. Сармин; Л. А. Чудов (1963), «Об устойчивости численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при использовании метода прямых», Вычислительная математика и математическая физика СССР, 3 (6): 1537–1543, Дои:10.1016/0041-5553(63)90256-8
  6. ^ А. Зафарулла (1970), "Применение метода прямых к параболическим дифференциальным уравнениям с частными производными с оценками ошибок", Журнал Ассоциации вычислительной техники, 17 (2), стр. 294–302, Дои:10.1145/321574.321583
  7. ^ Дж. Г. Вервер; Дж. М. Санс-Серна (1984), «Сходимость метода аппроксимации прямых к уравнениям в частных производных», Вычисление, 33 (3–4): 297–313, Дои:10.1007 / bf02242274
  8. ^ Шиссер, В. Э. (1994). Вычислительная математика в инженерии и прикладных науках: ODE, DAE и PDE. CRC Press. ISBN 0-8493-7373-5.
  9. ^ Субраманиан, В.Р .; R.E. Уайт (2004), "Полуаналитический метод прямых для решения эллиптических уравнений в частных производных", Химическая инженерия, 59 (4): 781–788, Дои:10.1016 / j.ces.2003.10.019
  10. ^ П. В. К. Нортроп; П. А. Рамачандран; W. E. Schiesser; В. Р. Субраманиан (2013), "Робастный метод линий с ложными переходными процессами для эллиптических уравнений с частными производными", Chem. Англ. Sci., 90, стр. 32–39, Дои:10.1016 / j.ces.2012.11.033

внешняя ссылка