WikiDer > Компактный оператор в гильбертовом пространстве - Википедия

Compact operator on Hilbert space - Wikipedia

В функциональный анализ, концепция компактный оператор на Гильбертово пространство является расширением понятия матрицы, действующей в конечномерном векторном пространстве; в гильбертовом пространстве компактные операторы - это в точности замыкание операторы конечного ранга (представимых конечномерными матрицами) в топология вызванный норма оператора. Таким образом, результаты теории матриц иногда можно распространить на компактные операторы, используя аналогичные аргументы. Напротив, изучение общих операторов в бесконечномерных пространствах часто требует совершенно иного подхода.

Например, спектральная теория компактных операторов на Банаховы пространства принимает форму, очень похожую на Иорданская каноническая форма матриц. В контексте гильбертовых пространств квадратная матрица унитарно диагонализуема тогда и только тогда, когда она нормальный. Соответствующий результат верен для нормальных компактных операторов в гильбертовых пространствах. В более общем смысле от предположения о компактности можно отказаться. Но, как указано выше, методы, используемые для доказательства, например, то спектральная теорема разные, включая операторно-оценочные меры на спектр.

Некоторые результаты для компактных операторов в гильбертовом пространстве будут обсуждаться, начиная с общих свойств до рассмотрения подклассов компактных операторов.

Определение

Позволять ${ displaystyle H}$ - гильбертово пространство и ${ Displaystyle L (H)}$ быть набором ограниченные операторы на ${ displaystyle H}$ . Тогда оператор ${ Displaystyle T in L (H)}$ считается компактный оператор если образ каждого ограниченного множества при ${ displaystyle T}$ является относительно компактный.

Некоторые общие свойства

В этом разделе мы перечислим некоторые общие свойства компактных операторов.

Если Икс и Y являются гильбертовыми пространствами (на самом деле Икс Банах и Y Нормед будет достаточно), тогда Т : Икс → Y компактен тогда и только тогда, когда он непрерывен, если рассматривать его как карту из Икс с слабая топология к Y (с топологией нормы). (Видеть (Чжу 2007, Теорема 1.14, стр.11), и отметим в этой ссылке, что равномерная ограниченность будет применяться в ситуации, когда F ⊆ Икс удовлетворяет (∀φ ∈ Hom (Икс, K)) Как дела{Икс**(φ) = φ (Икс) : Икс} <∞, где K - основное поле. Принцип равномерной ограниченности применим, поскольку Hom (Икс, K) с топологией нормы будет банаховым пространством, а отображения Икс** : Hom (Икс,K) → K являются непрерывными гомоморфизмами относительно этой топологии.)

Семейство компактных операторов является замкнутым по норме двусторонним * -идеальным в L(ЧАС). Следовательно, компактный оператор Т не может иметь ограниченного обратного, если ЧАС бесконечномерно. Если ST = TS = я, то единичный оператор был бы компактным; противоречие.

Если последовательности ограниченных операторов B_п → B, C_п → C в сильная операторная топология и Т компактно, то ${ displaystyle B_ {n} TC_ {n} ^ {*}}$ сходится к ${ displaystyle BTC ^ {*}}$ в норме.^[1] Например, рассмотрим гильбертово пространство ${ Displaystyle л ^ {2} ( mathbf {N}),}$ со стандартной основой {е_п}. Позволять п_м - ортогональная проекция на линейную оболочку {е₁ ... е_м}. Последовательность {п_м} сходится к оператору идентичности я сильно, но не равномерно. Определять Т к ${ displaystyle Te_ {n} = { tfrac {1} {n ^ {2}}} e_ {n}.}$ Т компактен и, как утверждалось выше, п_мТ → ЭТО = Т в единой операторной топологии: для всех Икс,

{ Displaystyle left | P_ {m} Tx-Tx right | leq left ({ frac {1} {m + 1}} right) ^ {2} | x |.}

Обратите внимание на каждую п_м - оператор конечного ранга. Аналогичные рассуждения показывают, что если Т компактно, то Т - равномерный предел некоторой последовательности операторов конечного ранга.

В силу замкнутости по норме идеала компактных операторов верно и обратное.

Фактор-С * -алгебра L(ЧАС) по модулю компактных операторов называется Калкина алгебра, в котором можно рассматривать свойства оператора с точностью до компактного возмущения.

Компактный самосопряженный оператор

Ограниченный оператор Т в гильбертовом пространстве ЧАС как говорят самосопряженный если Т = Т *, или эквивалентно,

{ displaystyle langle Tx, y rangle = langle x, Ty rangle, quad x, y in H.}

Отсюда следует, что <Tx, Икс> реально для каждого Икс ∈ ЧАС, таким образом, собственные значения Т, когда они существуют, реальны. Когда замкнутое линейное подпространство L из ЧАС инвариантен относительно Т, то ограничение Т к L является самосопряженным оператором на L, и, кроме того, ортогональное дополнение L^⊥ из L также инвариантен относительно Т. Например, пространство ЧАС можно разложить на ортогональные прямая сумма из двух Т–Инвариантные замкнутые линейные подпространства: ядро из Т, а ортогональное дополнение (кер Т)^⊥ ядра (что равно закрытию диапазона Т, для любого ограниченного самосопряженного оператора). Эти основные факты играют важную роль в доказательстве следующей спектральной теоремы.

Результат классификации для эрмитова п × п матрицы - это спектральная теорема: Если M = М *, тогда M унитарно диагонализуема, и диагонализация M есть реальные записи. Позволять Т - компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве ЧАС. Докажем то же утверждение для Т: Оператор Т можно диагонализовать ортонормированным набором собственных векторов, каждый из которых соответствует действительному собственному значению.

Спектральная теорема

Теорема Для каждого компактного самосопряженного оператора Т на действительном или комплексном гильбертовом пространстве ЧАС, существует ортонормированный базис из ЧАС состоящий из собственных векторов Т. Более конкретно, ортогональное дополнение ядра Т допускает либо конечный ортонормированный базис собственных векторов Т, или счетно бесконечный ортонормированный базис {е_п} собственных векторов Т, с соответствующими собственными значениями {λ_п} ⊂ р, так что λ_п → 0.

Другими словами, компактный самосопряженный оператор можно унитарно диагонализовать. Это спектральная теорема.

Когда ЧАС является отделяемый, можно смешать основу {е_п} с счетный ортонормированный базис для ядра Т, и получим ортонормированный базис {ж_п} за ЧАС, состоящий из собственных векторов Т с действительными собственными значениями {μ_п} такой, что μ_п → 0.

Следствие Для каждого компактного самосопряженного оператора Т на вещественном или комплексном сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве ЧАСсуществует счетно бесконечный ортонормированный базис {ж_п} из ЧАС состоящий из собственных векторов Т, с соответствующими собственными значениями {μ_п} ⊂ р, так что μ_п → 0.

Идея

Обсудим сначала конечномерное доказательство. Доказательство спектральной теоремы для эрмитова п × п матрица Т зависит от демонстрации существования одного собственного вектора Икс. Как только это будет сделано, эрмитичность подразумевает, что как линейная оболочка, так и ортогональное дополнение к Икс (размерности п-1) являются инвариантными подпространствами Т. Тогда желаемый результат получается индукцией по ${ Displaystyle Т_ {х ^ { перп}}}$ .

Существование собственного вектора можно показать (как минимум) двумя альтернативными способами:

Можно рассуждать алгебраически: характеристический многочлен Т имеет сложный корень, поэтому Т имеет собственное значение с соответствующим собственным вектором.
Собственные значения можно охарактеризовать вариационно: наибольшее собственное значение - это максимум на замкнутом блоке. сфера функции ж: р^2п → р определяется ж(Икс) = x * Tx = <Tx, Икс>.

Примечание. В конечномерном случае часть первого подхода работает в гораздо большей степени; любая квадратная матрица, не обязательно эрмитова, имеет собственный вектор. Это просто неверно для общих операторов в гильбертовых пространствах. В бесконечных измерениях также непросто обобщить концепцию характеристического полинома.

Спектральная теорема для компактного самосопряженного случая может быть получена аналогично: собственный вектор находят, расширяя второй конечномерный аргумент выше, а затем применяют индукцию. Сначала мы набросаем аргументы в пользу матриц.

Поскольку замкнутая единичная сфера S в р^2п компактный, и ж непрерывно, ж(S) компактна на прямой, поэтому ж достигает максимума на S, на некотором единичном векторе у. К Множитель Лагранжа теорема у удовлетворяет

{ displaystyle nabla f = nabla y ^ {*} Ty = lambda cdot nabla y ^ {*} y}

для некоторого λ. По отшельничеству, Ty = λу.

В качестве альтернативы пусть z ∈ C^п быть любым вектором. Обратите внимание, что если единичный вектор у максимизирует <Tx, Икс> на единичной сфере (или на единичном шаре) он также максимизирует Фактор Рэлея:

{ displaystyle g (x) = { frac { langle Tx, x rangle} { | x | ^ {2}}}, qquad 0 neq x in mathbf {C} ^ {n} .}

Рассмотрим функцию:

{ displaystyle { begin {cases} h: mathbf {R} to mathbf {R} h (t) = g (y + tz) end {cases}}}

По расчетам, час′(0) = 0, т.е.,

{ Displaystyle { begin {align} h '(0) & = lim _ {t to 0} { frac {h (t) -h (0)} {t-0}} & = lim _ {t to 0} { frac {g (y + tz) -g (y)} {t}} & = lim _ {t to 0} { frac {1} {t} } left ({ frac { langle T (y + tz), y + tz rangle} { | y + tz | ^ {2}}} - { frac { langle Ty, y rangle} { | y | ^ {2}}} right) & = lim _ {t to 0} { frac {1} {t}} left ({ frac { langle T (y + tz), y + tz rangle - langle Ty, y rangle} { | y | ^ {2}}} right) & = { frac {1} { | y | ^ {2}}} lim _ {t to 0} { frac { langle T (y + tz), y + tz rangle - langle Ty, y rangle} {t}} & = { frac {1} { | y | ^ {2}}} left ({ frac {d} {dt}} { frac { langle T (y + tz), y + tz rangle} { langle y + tz, y + tz rangle}} right) (0) & = 0. end {align}}}

Определять:

{ displaystyle m = { frac { langle Ty, y rangle} { langle y, y rangle}}}

После некоторой алгебры вышеприведенное выражение становится (Re обозначает действительную часть комплексного числа)

{ displaystyle mathrm {Re} ( langle Ty-my, z rangle) = 0.}

Но z произвольно, поэтому Ty − мой = 0. Это суть доказательства спектральной теоремы в матричном случае.

Примечание что в то время как множители Лагранжа обобщаются на бесконечномерный случай, компактность единичной сферы теряется. Отсюда предположение, что оператор Т быть компактным полезно.

Подробности

Требовать Если Т - компактный самосопряженный оператор в ненулевом гильбертовом пространстве ЧАС и

{ Displaystyle м (T): = sup { bigl {} | langle Tx, x rangle |: x in H, , | x | leq 1 { bigr }},}

тогда м(Т) или -м(Т) является собственным значением Т.

Если м(Т) = 0, тогда Т = 0 по поляризационная идентичность, и этот случай ясен. Рассмотрим функцию

{ displaystyle { begin {cases} f: H to mathbf {R} f (x) = langle Tx, x rangle end {cases}}}

Замена Т автор -Т при необходимости можно предположить, что супремум ж на замкнутом единичном шаре B ⊂ ЧАС равно м(Т) > 0. Если ж достигает максимума м(Т) на B на некотором единичном векторе у, то по тому же аргументу, что и для матриц, у является собственным вектором Т, с соответствующим собственным значением λ = <λy, у> = <Ty, у> = ж(у) = м(Т).

Посредством Теорема Банаха – Алаоглу и рефлексивность ЧАС, замкнутый шар B слабо компактный. Также компактность Т означает (см. выше), что Т : Икс со слабой топологией → Икс с топологией нормы непрерывна. Эти два факта подразумевают, что ж продолжается на B со слабой топологией, и ж достигает максимума м на B некоторые у ∈ B. По максимальности ${ Displaystyle | у | = 1,}$ что, в свою очередь, означает, что у также максимизирует фактор Рэлея грамм(Икс) (см. выше). Это показывает, что у является собственным вектором Т, и заканчивает доказательство утверждения.

Примечание. Компактность Т это важно. В целом, ж не обязательно быть непрерывным для слабой топологии на единичном шаре B. Например, пусть Т - тождественный оператор, некомпактный при ЧАС бесконечномерно. Возьмем любую ортонормированную последовательность {у_п}. потом у_п сходится к 0 слабо, но lim ж(у_п) = 1 ≠ 0 = ж(0).

Позволять Т компактный оператор в гильбертовом пространстве ЧАС. Конечная (возможно, пустая) или счетно бесконечная ортонормированная последовательность {е_п} собственных векторов Т, с соответствующими ненулевыми собственными значениями, строится по индукции следующим образом. Позволять ЧАС₀ = ЧАС и Т₀ = Т. Если м(Т₀) = 0, то Т = 0 и построение останавливается, не создавая собственного вектора е_п. Предположим, что ортонормированные собственные векторы е₀, ..., е_{п − 1} из Т были найдены. потом E_п: = промежуток (е₀, ..., е_{п − 1}) инвариантен относительно Т, а в силу самосопряженности ортогональное дополнение ЧАС_п из E_п инвариантное подпространство Т. Позволять Т_п обозначают ограничение Т к ЧАС_п. Если м(Т_п) = 0, то Т_п = 0, и построение прекращается. В противном случае требовать применительно к Т_п, существует норма один собственный вектор е_п из Т в ЧАС_п, с соответствующим ненулевым собственным значением λ_п = ± м(Т_п).

Позволять F = (span {е_п})^⊥, куда {е_п} - конечная или бесконечная последовательность, построенная индуктивным процессом; по самосопряженности, F инвариантен относительно Т. Позволять S обозначают ограничение Т к F. Если процесс был остановлен после конечного числа шагов, с последним вектором е_м−1, тогда F= ЧАС_м и S = Т_м = 0 по построению. В бесконечном случае компактность Т и слабая сходимость е_п к 0 означает, что Te_п = λ_пе_п → 0, следовательно λ_п → 0. С F содержится в ЧАС_п для каждого п, следует, что м(S) ≤ м({Т_п}) = |λ_п| для каждого п, следовательно м(S) = 0. Отсюда снова следует, что S = 0.

Дело в том, что S = 0 означает, что F содержится в ядре Т. Наоборот, если Икс ∈ ker (Т), то по самосопряженности Икс ортогонален каждому собственному вектору {е_п} с ненулевым собственным значением. Следует, что F = ker (Т), и что {е_п} является ортонормированным базисом для ортогонального дополнения ядра Т. Можно завершить диагонализацию Т выбрав ортонормированный базис ядра. Это доказывает спектральную теорему.

Более короткое, но более абстрактное доказательство выглядит следующим образом: Лемма Цорна, Выбрать U быть максимальным подмножеством ЧАС со следующими тремя свойствами: все элементы U являются собственными векторами Т, у них есть норма один, и любые два различных элемента U ортогональны. Позволять F - ортогональное дополнение линейной оболочки U. Если F ≠ {0}, это нетривиальное инвариантное подпространство Т, и по первоначальному утверждению должен существовать норма один собственный вектор у из Т в F. Но потом U ∪ {у} противоречит максимальности U. Следует, что F = {0}, следовательно, span (U) плотно в ЧАС. Это показывает, что U является ортонормированным базисом ЧАС состоящий из собственных векторов Т.

Функциональное исчисление

Если Т компактна в бесконечномерном гильбертовом пространстве ЧАС, тогда Т не обратима, поэтому σ (Т) спектр Т, всегда содержит 0. Спектральная теорема показывает, что σ (Т) состоит из собственных значений {λ_п} из Т, и 0 (если 0 еще не является собственным значением). Множество σ (Т) - компактное подмножество комплексных чисел, а собственные значения плотны в σ (Т).

Любую спектральную теорему можно переформулировать в терминах функциональное исчисление. В данном контексте мы имеем:

Теорема. Позволять C(σ (Т)) обозначим C * -алгебра непрерывных функций на σ (Т). Существует единственный изометрический гомоморфизм Φ: C(σ (Т)) → L(ЧАС) такое, что Φ (1) = я и если ж функция идентичности ж(λ) = λ, то Φ (ж) = Т. Более того, σ (ж(Т)) = ж(σ (Т)).

Отображение функционального исчисления Φ определяется естественным образом: пусть {е_п} - ортонормированный базис собственных векторов для ЧАС, с соответствующими собственными значениями {λ_п}; за ж ∈ C(σ (Т)), оператор Φ (ж), диагональная относительно ортонормированного базиса {е_п}, определяется установкой

{ Displaystyle Phi (е) (е_ {п}) = е ( лямбда _ {п}) е_ {п}}

для каждого п. Поскольку Φ (ж) диагонально относительно ортонормированного базиса, его норма равна супремуму модуля диагональных коэффициентов,

{ Displaystyle | Phi (f) | = sup _ { lambda _ {n} in sigma (T)} | f ( lambda _ {n}) | = | f | _ { C ( sigma (T))}.}

Остальные свойства Φ легко проверить. Наоборот, любой гомоморфизм Ψ, удовлетворяющий требованиям теоремы, должен совпадать с Φ, когда ж является многочленом. Посредством Аппроксимационная теорема Вейерштрасса, полиномиальные функции плотны в C(σ (Т)), откуда следует Ψ = Φ. Это показывает, что Φ единственно.

Более общий непрерывное функциональное исчисление можно определить для любого самосопряженного (или даже нормального в комплексном случае) ограниченного линейного оператора в гильбертовом пространстве. Компактный случай, описанный здесь, является особенно простым примером этого функционального исчисления.

Одновременная диагонализация

Рассмотрим гильбертово пространство ЧАС (например, конечномерное C^п) и коммутирующее множество ${ displaystyle { mathcal {F}} substeq operatorname {Hom} (H, H)}$ самосопряженных операторов. Затем при подходящих условиях можно одновременно (унитарно) диагонализовать. А именно., существует ортонормированный базис Q состоящий из общих собственных векторов операторов - т.е.

{ displaystyle ( forall {q in Q, T in { mathcal {F}}}) ( exists { sigma in mathbf {C}}) (T- sigma) q = 0}

Лемма. Предположим, что все операторы в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ компактны. Тогда каждый замкнутый ненулевой ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ -инвариантное подпространство S ⊆ ЧАС имеет общий собственный вектор для ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ .

Доказательство. Случай I: у всех операторов есть ровно одно собственное значение. Тогда возьмите любой ${ displaystyle s in S}$ единицы длины. Это общий собственный вектор.

Случай II: есть какой-то оператор ${ displaystyle T in { mathcal {F}}}$ минимум с двумя собственными значениями и пусть ${ displaystyle 0 neq alpha in sigma (T upharpoonright S)}$ . С Т компактно и α не равно нулю, имеем ${ Displaystyle S ': = ker (T upharpoonright S- alpha)}$ является конечномерным (а потому замкнутым) ненулевым ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ -инвариантное подпространство (поскольку все операторы коммутируют с Т, у нас есть для ${ displaystyle T ' in { mathcal {F}}}$ и ${ Displaystyle х в ker (T upharpoonright S- alpha)}$ , который ${ Displaystyle (T- альфа) (T'x) = (T '(T ~ x) - alpha T'x) = 0}$ ). В частности, у нас определенно есть ${ displaystyle dim S '< dim S.}$ Таким образом, мы могли бы в принципе рассуждать индукцией по размерности, получая, что ${ Displaystyle S ' substeq S}$ имеет общий собственный вектор для ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ .

Теорема 1. Если все операторы в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ компактны, то операторы можно одновременно (унитарно) диагонализовать.

Доказательство. Следующий набор

{ displaystyle mathbf {P} = {A substeq H: A { text {- ортонормированный набор общих собственных векторов для}} { mathcal {F}} },}

частично упорядочивается включением. Это явно имеет свойство Zorn. Так что принимая Q максимальный член, если Q является базисом всего гильбертова пространства ЧАС, мы сделали. Если бы это было не так, то позволяя ${ Displaystyle S = langle Q rangle ^ { bot}}$ , легко увидеть, что это будет ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ -инвариантное нетривиальное замкнутое подпространство; и, таким образом, по лемме выше, в нем будет лежать общий собственный вектор для операторов (обязательно ортогональный к Q). Но тогда было бы правильное расширение Q в п; противоречие с его максимальностью.

Теорема 2. Если существует инъективный компактный оператор в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ ; тогда операторы можно одновременно (унитарно) диагонализовать.

Доказательство. Исправить ${ displaystyle T_ {0} in { mathcal {F}}}$ компактный инъекционный. Тогда согласно спектральной теории компактных симметрических операторов в гильбертовых пространствах:

{ displaystyle H = { overline { bigoplus _ { lambda in sigma (T_ {0})} ker (T_ {0} - sigma)}},}

куда ${ displaystyle sigma (T_ {0})}$ - дискретное счетное подмножество положительных действительных чисел, а все собственные подпространства конечномерны. С ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ коммутирующее множество, у нас все собственные подпространства инвариантны. Поскольку все операторы, ограниченные собственными подпространствами (которые конечномерны), автоматически все компактны, мы можем применить теорему 1 к каждому из них и найти ортонормированные базисы Q_σ для ${ displaystyle ker (T_ {0} - sigma)}$ . С Т₀ симметрично, имеем

{ Displaystyle Q: = bigcup _ { sigma in sigma (T_ {0})} Q _ { sigma}}

является (счетным) ортонормированным множеством. Кроме того, согласно впервые сформулированному разложению, это основа для ЧАС.

Теорема 3. Если ЧАС конечномерное гильбертово пространство, и ${ displaystyle { mathcal {F}} substeq operatorname {Hom} (H, H)}$ коммутативный набор операторов, каждый из которых диагонализуем; тогда операторы можно одновременно диагонализовать.

Доказательство. Случай I: все операторы имеют ровно одно собственное значение. Тогда любая основа для ЧАС Сделаю.

Случай II: Исправить ${ displaystyle T_ {0} in { mathcal {F}}}$ оператор, имеющий не менее двух собственных значений, и пусть ${ displaystyle P in operatorname {Hom} (H, H) ^ { times}}$ так что ${ displaystyle P ^ {- 1} T_ {0} P}$ является симметричным оператором. Пусть теперь α - собственное значение оператора ${ displaystyle P ^ {- 1} T_ {0} P}$ . Тогда легко увидеть, что оба:

{ displaystyle ker left (P ^ {- 1} ~ T_ {0} (P- alpha) right), quad ker left (P ^ {- 1} ~ T_ {0} (P- alpha) right) ^ { bot}}

нетривиальны ${ Displaystyle P ^ {- 1} { mathcal {F}} P}$ -инвариантные подпространства. Индукцией по размерности получаем, что существуют линейно независимые базисы Q₁, Q₂ для подпространств, которые демонстрируют, что операторы в ${ Displaystyle P ^ {- 1} { mathcal {F}} P}$ могут быть одновременно диагонализуемы на подпространствах. Ясно тогда ${ Displaystyle P (Q_ {1} чашка Q_ {2})}$ демонстрирует, что операторы в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ можно одновременно диагонализовать.

Обратите внимание, что в этом доказательстве нам вообще не пришлось напрямую использовать механизм матриц. Есть и другие версии.

Мы можем усилить сказанное выше для случая, когда все операторы просто коммутируют со своим сопряженным; в этом случае мы убираем термин «ортогональный» из диагонализации. Есть более слабые результаты для операторов, возникающих из представлений Вейля – Петера. Позволять грамм фиксированная локально компактная хаусдорфова группа и ${ Displaystyle H = L ^ {2} (G)}$ (пространство измеримых функций, суммируемых с квадратом относительно единственной масштабной меры Хаара на грамм). Рассмотрим непрерывное переключение:

{ displaystyle { begin {cases} G times H to H (gf) (x) = f (g ^ {- 1} x) end {cases}}}

Тогда если грамм были компактными, то существует единственное разложение ЧАС в счетную прямую сумму конечномерных неприводимых инвариантных подпространств (по сути, это диагонализация семейства операторов ${ Displaystyle G substeq U (H)}$ ). Если грамм не были компактными, но были абелевыми, то диагонализация не достигается, но мы получаем уникальную непрерывный разложение ЧАС в одномерные инвариантные подпространства.

Компактный нормальный оператор

Семейство эрмитовых матриц - это собственное подмножество матриц, которые унитарно диагонализируемы. Матрица M унитарно диагонализуема тогда и только тогда, когда она нормальна, т. е. М * М = ММ *. Аналогичные утверждения верны для компактных нормальных операторов.

Позволять Т быть компактным и Т * Т = TT *. Применить Декартово разложение к Т: определять

{ displaystyle R = { frac {T + T ^ {*}} {2}}, quad J = { frac {T-T ^ {*}} {2i}}.}

Самосопряженные компактные операторы р и J называются действительной и мнимой частями Т соответственно. Т компактно означает Т *, как следствие р и J, компактны. Кроме того, нормальность Т подразумевает р и J ездить. Следовательно, они могут быть одновременно диагонализованы, из чего следует утверждение.

А гипонормальный компактный оператор (в частности, субнормальный оператор) это нормально.

Унитарный оператор

Спектр унитарный оператор U лежит на единичной окружности комплексной плоскости; это может быть весь единичный круг. Однако если U тождество плюс компактное возмущение, U имеет только счетный спектр, содержащий 1 и, возможно, конечное множество или последовательность, стремящуюся к 1 на единичной окружности. Точнее предположим U = я + C куда C компактный. Уравнения UU * = U * U = я и C = U − я покажи это C это нормально. Спектр C содержит 0 и, возможно, конечное множество или последовательность, стремящуюся к 0. Поскольку U = я + C, спектр U получается сдвигом спектра C Автор: 1.

Примеры

Позволять ЧАС = L²([0, 1]). Оператор умножения M определяется

{ displaystyle (Mf) (x) = xf (x), quad f in H, , , x in [0,1]}

- ограниченный самосопряженный оператор на ЧАС который не имеет собственного вектора и, следовательно, по спектральной теореме не может быть компактным.

Позволять K(Икс, у) квадратично интегрируемо на [0, 1]² и определить Т_K на ЧАС к

{ Displaystyle (T_ {K} f) (x) = int _ {0} ^ {1} K (x, y) f (y) , mathrm {d} y.}

потом Т_K компактна на ЧАС; это Оператор Гильберта – Шмидта.

Предположим, что ядро K(Икс, у) удовлетворяет условию эрмитовости

{ Displaystyle К (y, x) = { overline {K (x, y)}}, quad x, y in [0,1].}

потом Т_K компактна и самосопряжена на ЧАС; если {φ_п} - ортонормированный базис собственных векторов с собственными значениями {λ_п}, можно доказать, что

{ displaystyle sum lambda _ {n} ^ {2} < infty, K (x, y) sim sum lambda _ {n} varphi _ {n} (x) { overline { varphi _ {n} (y)}},}

где под суммой ряда функций понимается L² сходимость меры Лебега на [0, 1]². Теорема Мерсера дает условия, при которых ряд сходится к K(Икс, у) поточечно и равномерно на [0, 1]².

Смотрите также

Калкина алгебра
Компактный оператор
Разложение спектра (функциональный анализ). Если снять предположение о компактности, операторы, вообще говоря, не обязательно должны иметь счетный спектр.
Сингулярное разложение # Ограниченные операторы в гильбертовых пространствах. Понятие сингулярных значений можно распространить с матриц на компактные операторы.

v т е Функциональный анализ (темы – глоссарий)
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

v т е Гильбертовы пространства
Базовые концепты	Примыкающий Внутренний продукт и L-полувнутренний продукт Гильбертово пространство и Предгильбертово пространство
Основные результаты	Неравенство Бесселя Неравенство Коши – Шварца Представительство Рисса
Другие результаты	Личность Парсеваля Поляризационная идентичность
Карты	Компактный оператор в гильбертовом пространстве Плотно очерченный Эрмитова форма Гильберта-Шмидта Нормальный Самосопряженный Полуторалинейная форма Класс трассировки Унитарный
Примеры	C^п(K) с K компактный и п<∞ Сегал – Баргманн F

Navigation