WikiDer > Гипотеза континуума

В математика, то гипотеза континуума (сокращенно CH) - гипотеза о возможных размерах бесконечные множества. Говорится:

Нет набора, чей мощность находится строго между целые числа и действительные числа.

В Теория множеств Цермело – Френкеля с аксиома выбора (ZFC), это эквивалентно следующему уравнению в числа алеф: ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}} = алеф _ {1}}$.

Гипотеза континуума была выдвинута Георг Кантор в 1878 году, и установление его истинности или лжи является первым из 23 проблемы Гильберта представлен в 1900 году. Ответ на эту проблему: независимый ZFC, так что либо гипотеза континуума, либо ее отрицание может быть добавлена ​​в качестве аксиомы к теории множеств ZFC, при этом результирующая теория согласована тогда и только тогда, когда ZFC согласована. Эта независимость была доказана в 1963 г. Пол Коэн, дополняя предыдущую работу Курт Гёдель в 1940 г.

Название гипотезы происходит от термина континуум для реальных чисел.

История

Кантор считал, что гипотеза континуума верна, и долгие годы тщетно пытался ее доказать (Dauben 1990). Он стал первым из произведений Дэвида Гильберта. список важных открытых вопросов который был представлен на Международный конгресс математиков в 1900 году в Париже. Аксиоматическая теория множеств на тот момент еще не было сформулировано. Курт Гёдель В 1940 году доказал, что отрицание гипотезы континуума, т. е. существования множества промежуточной мощности, не может быть доказано в стандартной теории множеств. Вторая половина независимости гипотезы континуума, т. Е. Недоказуемость отсутствия множества промежуточных размеров, была доказана в 1963 г. Пол Коэн.

Мощность бесконечных множеств

Говорят, что два набора имеют одинаковые мощность или же количественное числительное если существует биекция (взаимно однозначное соответствие) между ними. Интуитивно для двух наборов S и Т иметь одинаковую мощность означает, что можно "разделить" элементы S с элементами Т таким образом, что каждый элемент S соединяется ровно с одним элементом Т наоборот. Следовательно, множество {банан, яблоко, груша} имеет ту же мощность, что и {желтый, красный, зеленый}.

С бесконечными наборами, такими как набор целые числа или же рациональное число, существование биекции между двумя множествами становится труднее продемонстрировать. Рациональные числа, по-видимому, образуют контрпример к гипотезе континуума: целые числа образуют собственное подмножество рациональных чисел, которые сами образуют собственное подмножество действительных чисел, поэтому интуитивно понятно, что рациональных чисел больше, чем целых, и больше реальных чисел, чем рациональных чисел. Однако этот интуитивный анализ ошибочен; он не принимает во внимание тот факт, что все три набора бесконечный. Оказывается, рациональные числа действительно могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с целыми числами, и поэтому набор рациональных чисел имеет тот же размер (мощность) как набор целых чисел: они оба счетные множества.

Кантор дал два доказательства того, что мощность множества целые числа строго меньше, чем у множества действительные числа (видеть Первое доказательство несчетности Кантора и Диагональный аргумент Кантора). Его доказательства, однако, не указывают, насколько мощность целых чисел меньше, чем мощность действительных чисел. Кантор предложил гипотезу континуума как возможное решение этого вопроса.

Гипотеза континуума утверждает, что набор действительных чисел имеет минимально возможную мощность, которая больше, чем мощность набора целых чисел. То есть каждый набор, S, действительных чисел можно либо взаимно однозначно преобразовать в целые числа, либо действительные числа могут быть взаимно однозначно преобразованы в S. Поскольку настоящие числа равномерный с powerset целых чисел, ${displaystyle | mathbb {R} | = 2 ^ {алеф _ {0}}}$ и гипотеза континуума утверждает, что не существует множества ${displaystyle S}$ для которого ${displaystyle aleph _ {0} <| S | <2 ^ {aleph _ {0}}}$.

Если предположить аксиома выбора, есть наименьшее кардинальное число ${displaystyle aleph _ {1}}$ лучше чем ${displaystyle aleph _ {0}}$, а гипотеза континуума, в свою очередь, эквивалентна равенству ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}} = алеф _ {1}}$ (Гольдрей 1996).

Независимость от ZFC

Независимость гипотезы континуума (CH) от Теория множеств Цермело – Френкеля (ZF) следует из совместной работы Курт Гёдель и Пол Коэн.

Гёдель (1940) показал, что CH не может быть опровергнут ZF, даже если аксиома выбора (AC) принимается (делая ZFC). Доказательство Гёделя показывает, что CH и AC выполняются в конструируемая вселенная L, an внутренняя модель теории множеств ZF, предполагая только аксиомы ZF. Существование внутренней модели ZF, в которой выполняются дополнительные аксиомы, показывает, что дополнительные аксиомы последовательный с ZF, при условии, что сам ZF совместим. Последнее условие не может быть доказано в самом ZF из-за Теоремы Гёделя о неполноте, но широко считается верным и может быть доказано с помощью более сильных теорий множеств.

Коэн (1963, 1964) показал, что CH не может быть доказан с помощью аксиом ZFC, завершая полное доказательство независимости. Чтобы доказать свой результат, Коэн разработал метод принуждение, который стал стандартным инструментом в теории множеств. По сути, этот метод начинается с модели ZF, в которой выполняется CH, и строит другую модель, которая содержит больше множеств, чем исходная, таким образом, что CH не выполняется в новой модели. Коэн был награжден Медаль Филдса в 1966 г. за доказательство.

Только что описанное доказательство независимости показывает, что CH не зависит от ZFC. Дальнейшие исследования показали, что СН не зависит от всех известных большие кардинальные аксиомы в контексте ZFC. (Феферман (1999)) Более того, было показано, что мощность континуума может быть любой кардинальной, согласованной с Теорема Кенига. Результат Соловея, доказанный вскоре после результата Коэна о независимости гипотезы континуума, показывает, что в любой модели ZFC, если ${displaystyle kappa}$ кардинал бесчисленных конфинальность, то есть принудительное расширение, в котором ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}} = каппа}$. Однако, согласно теореме Кенига, предположение ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}}}$ является ${displaystyle aleph _ {omega}}$ или же ${displaystyle aleph _ {omega _ {1} + omega}}$ или любой кардинал с конфинальностью ${displaystyle omega}$.

Гипотеза континуума тесно связана со многими утверждениями в анализ, набор точек топология и теория меры. В результате его независимости многие существенные догадки в этих областях, как впоследствии было показано, также независимы.

Независимость от ZFC означает, что доказательство или опровержение CH в ZFC невозможно. Однако отрицательные результаты Геделя и Коэна не повсеместно признаются как устранение всякого интереса к гипотезе континуума. Проблема Гильберта остается активной темой исследований; см. Вудин (2001a, 2001b) и Кёллнер (2011a) для обзора текущего статуса исследования.

Гипотеза континуума была не первым утверждением, независимым от ZFC. Непосредственное следствие Теорема Гёделя о неполноте, который был опубликован в 1931 году, состоит в том, что есть формальное заявление (по одному для каждого подходящего Гёделевская нумерация схема), выражающая согласованность ZFC, которая не зависит от ZFC, предполагая, что ZFC согласован. Гипотеза континуума и аксиома выбора были одними из первых математических утверждений, не зависящих от теории множеств ZF.

Аргументы за и против гипотезы континуума

Гёдель считал, что CH ложно, и что его доказательство того, что CH согласуется с ZFC, только показывает, что Цермело – Френкель аксиомы не могут адекватно характеризовать универсум множеств. Гёдель был платоник и поэтому не испытывал проблем с утверждением истинности или ложности утверждений независимо от их доказуемости. Коэн, хотя формалист (Гудман 1979), также склонны к отклонению CH.

Исторически сложилось так, что математики, отдававшие предпочтение «богатым» и «большим» вселенная наборов были против CH, в то время как те, кто предпочитал "аккуратную" и "управляемую" вселенную, предпочитали CH. Параллельные аргументы приводились за и против аксиома конструктивности, откуда следует CH. В последнее время, Мэтью Форман указал, что онтологический максимализм фактически может использоваться для аргументации в пользу CH, потому что среди моделей, которые имеют одинаковые действительные числа, модели с «большим» набором действительных чисел имеют больше шансов удовлетворить CH (Мэдди 1988, п. 500).

Другая точка зрения состоит в том, что концепция множества недостаточно конкретна, чтобы определить, является ли CH истинным или ложным. Эту точку зрения еще в 1923 г. Сколем, даже до первой теоремы Гёделя о неполноте. Сколем утверждал, основываясь на том, что сейчас известно как Парадокс Сколема, и позже это было подтверждено независимостью CH от аксиом ZFC, поскольку этих аксиом достаточно, чтобы установить элементарные свойства множеств и мощностей. Чтобы возразить против этой точки зрения, было бы достаточно продемонстрировать новые аксиомы, поддерживаемые интуицией, и разрешить СН в том или ином направлении. Хотя аксиома конструктивности разрешает CH, это обычно не считается интуитивно истинным, как и CH обычно считается ложным (Кунен 1980, п. 171).

Были предложены, по крайней мере, две другие аксиомы, которые имеют значение для гипотезы континуума, хотя в настоящее время эти аксиомы не нашли широкого признания в математическом сообществе. В 1986 году Крис Фрейлинг представил аргумент против CH, показав, что отрицание CH эквивалентно Аксиома симметрии Фрейлинга, утверждение, основанное на доводах определенной интуиции о вероятности. Фрейлинг считает, что эта аксиома «интуитивно верна», но другие не согласны. Трудный аргумент против CH, разработанный В. Хью Вудин привлекает значительное внимание с 2000 года (Woodin2001a, 2001b). Форман (2003) не отвергает аргумент Вудина полностью, но призывает к осторожности.

Соломон Феферман (2011) утверждал, что CH не является определенной математической проблемой. Он предлагает теорию «определенности», используя полуинтуиционистскую подсистему ZF, которая принимает классическая логика для ограниченных кванторов, но использует интуиционистская логика для неограниченных, и предполагает, что предложение ${displaystyle phi}$ математически "определен", если полуинтуиционистская теория может доказать ${displaystyle (phi lor eg phi)}$. Он предполагает, что CH не определен в соответствии с этим понятием, и предлагает, таким образом, считать, что CH не имеет истинностного значения. Питер Кёльнер (2011b) написал критический комментарий к статье Фефермана.

Джоэл Дэвид Хэмкинс предлагает мультивселенная подход к теории множеств и утверждает, что «гипотеза континуума основана на представлении о мультивселенной благодаря нашим обширным знаниям о том, как он ведет себя в мультивселенной, и, в результате, она больше не может быть решена так, как раньше надеялись». (Хэмкинс 2012). В родственном ключе Сахарон Шелах писал, что он «не согласен с чисто платонической точкой зрения, согласно которой интересные проблемы теории множеств могут быть решены, что нам просто нужно открыть дополнительную аксиому. Моя мысленная картина такова, что у нас есть много возможных теорий множеств, и все они соответствуют ZFC. " (Шела 2003).

Гипотеза обобщенного континуума

В гипотеза обобщенного континуума (GCH) утверждает, что если мощность бесконечного множества лежит между мощностью бесконечного множества S и что из набор мощности ${displaystyle {mathcal {P}} (S)}$ из S, то он имеет ту же мощность, что и любой S или же ${displaystyle {mathcal {P}} (S)}$. То есть для любого бесконечный кардинал ${displaystyle lambda}$ нет кардинала ${displaystyle kappa}$ такой, что ${displaystyle lambda$. GCH эквивалентен:

${displaystyle aleph _ {alpha +1} = 2 ^ {aleph _ {alpha}}}$ для каждого порядковый ${displaystyle alpha}$ (Гольдрей 1996) (иногда называют Гипотеза кантора об алефах).

В числа Бет дайте альтернативное обозначение для этого условия: ${displaystyle aleph _ {alpha} = eth _ {alpha}}$ для каждого порядкового номера ${displaystyle alpha}$. Гипотеза континуума является частным случаем кардинального ${displaystyle alpha = 0}$. GCH был впервые предложен Журден (1905). (О ранней истории GCH см. Мур 2011).

Как и CH, GCH также не зависит от ZFC, но Серпинский доказал, что ZF + GCH влечет аксиома выбора (AC) (и, следовательно, отрицание аксиома детерминированности, AD), поэтому выбор и GCH не независимы в ZF; нет моделей ZF, в которых GCH держится, а AC выходит из строя. Чтобы доказать это, Серпинский показал, что из GCH следует, что каждая мощность n меньше некоторой число алеф, и, таким образом, можно заказать. Это делается путем демонстрации того, что n меньше, чем ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0} + n}}$ который меньше, чем его собственный Число Хартогса- здесь используется равенство ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0} + n}, =, 2cdot, 2 ^ {алеф _ {0} + n}}$; полное доказательство см. в Gillman (2002).

Курт Гёдель показал, что GCH является следствием ZF + V = L (аксиома о том, что каждый набор конструктивен относительно ординалов), и поэтому согласуется с ZFC. Поскольку GCH подразумевает CH, модель Коэна, в которой CH выходит из строя, является моделью, в которой GCH выходит из строя, и, таким образом, GCH не может быть доказан с помощью ZFC. В. Б. Истон использовал метод принуждения, разработанный Коэном, чтобы доказать Теорема истона, что показывает, что это согласуется с ZFC для произвольно больших кардиналов ${displaystyle aleph _ {alpha}}$ не удовлетворить ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {альфа}} = алеф _ {альфа +1}}$. Много позже, мастер и Woodin доказал, что (в предположении непротиворечивости очень больших кардиналов) непротиворечиво, что ${displaystyle 2 ^ {каппа}> каппа ^ {+}}$ справедливо для каждого бесконечного кардинала ${displaystyle kappa}$. Позже Вудин расширил это, показав последовательность ${displaystyle 2 ^ {каппа} = каппа ^ {++}}$ для каждого ${displaystyle kappa}$. Карми Меримович (2007) показал, что для каждого п ≥ 1, согласно ZFC, для каждого κ, 2^κ это п-й преемник κ. С другой стороны, Ласло Патай (1930) доказал, что если γ - ординал и для каждого бесконечного кардинала κ, 2^κ является γ-м преемником κ, то γ конечно.

Для любых бесконечных множеств A и B, если есть инъекция из A в B, то есть инъекция из подмножеств A в подмножества B. Таким образом, для любых бесконечных кардиналов A и B, ${displaystyle A$ . Если A и B конечны, более сильное неравенство ${displaystyle A$ держит. Из GCH следует, что это строгое более сильное неравенство выполняется как для бесконечных кардиналов, так и для конечных кардиналов.

Значение GCH для кардинального возведения в степень

Хотя обобщенная гипотеза континуума относится непосредственно только к кардинальному возведению в степень с 2 в качестве основы, из нее можно вывести значения кардинального возведения в степень. ${displaystyle aleph _ {alpha} ^ {aleph _ {eta}}}$ во всех случаях. GCH означает, что (Хайден и Кеннисон 1968):

${displaystyle aleph _ {alpha} ^ {aleph _ {eta}} = aleph _ {eta +1}}$ когда α ≤ β+1;

${displaystyle aleph _ {alpha} ^ {aleph _ {eta}} = алеф _ {альфа}}$ когда β+1 < α и ${displaystyle aleph _ {eta} <имя оператора {cf} (алеф _ {альфа})}$, куда ср это конфинальность операция; и

${displaystyle aleph _ {alpha} ^ {aleph _ {eta}} = алеф _ {альфа +1}}$ когда β+1 < α и ${displaystyle aleph _ {eta} geq operatorname {cf} (алеф _ {альфа})}$.

Первое равенство (когда α ≤ β+1) следует из:

${displaystyle aleph _ {alpha} ^ {aleph _ {eta}} leq aleph _ {eta +1} ^ {aleph _ {eta}} = (2 ^ {aleph _ {eta}}) ^ {алеф _ {eta} } = 2 ^ {алеф _ {эта} cdot алеф _ {эта}} = 2 ^ {алеф _ {эта}} = алеф _ {эта +1}}$ , пока:

${displaystyle aleph _ {eta +1} = 2 ^ {aleph _ {eta}} leq aleph _ {alpha} ^ {aleph _ {eta}}}$ ;

Третье равенство (когда β+1 < α и ${displaystyle aleph _ {eta} geq operatorname {cf} (алеф _ {альфа})}$) следует из:

${displaystyle aleph _ {alpha} ^ {aleph _ {eta}} geq aleph _ {alpha} ^ {operatorname {cf} (алеф _ {альфа})}> алеф _ {альфа}}$, к Теорема Кенига, пока:

${displaystyle aleph _ {alpha} ^ {aleph _ {eta}} leq aleph _ {alpha} ^ {aleph _ {alpha}} leq (2 ^ {aleph _ {alpha}}) ^ {aleph _ {alpha}} = 2 ^ {алеф _ {альфа} cdot алеф _ {альфа}} = 2 ^ {алеф _ {альфа}} = алеф _ {альфа +1}}$

Где для каждого γ GCH используется для приравнивания ${displaystyle 2 ^ {aleph _ {gamma}}}$ и ${displaystyle aleph _ {gamma +1}}$; ${displaystyle aleph _ {gamma} ^ {2} = aleph _ {gamma}}$ используется как есть эквивалент аксиомы выбора.

Смотрите также