WikiDer > Внешний луч

An внешний луч это изгиб что бежит от бесконечность к Юля или же Набор Мандельброта.^[1]Хотя эта кривая редко бывает полупрямая (луч) это называется луч потому что это изображение луча.

Внешние лучи используются в комплексный анализ, особенно в сложная динамика и геометрическая теория функций.

История

Внешние лучи были введены в Дуади и Хаббардисследование Набор Мандельброта

Типы

Критерии классификации:

• плоскость: параметрическая или динамическая
• карта
• бифуркация динамических лучей
• Растяжка

самолет

Внешние лучи (связаны) Юля наборы на динамический самолет часто называют динамические лучи.

Внешние лучи множества Мандельброта (и аналогичных одномерных локусы связности) на плоскость параметров называются лучи параметров.

бифуркация

Динамический луч может быть:

• раздвоенный = разветвленный^[2] = сломанный ^[3]
• неразветвленный = гладкий

Когда заполненный Юля набор не подключается никакие внешние лучи плеча. Когда комплект Джулии не подключен, некоторые внешние лучи^[4]

растяжение

Растягивающие лучи были введены Браннером и Хаббардом.^[5]

«понятие растягивающихся лучей является обобщением понятия внешних лучей для множества Мандельброта для полиномов более высокой степени». ^[6]

Карты

Полиномы

Динамическая плоскость = z-плоскость

Внешние лучи связаны с компактный, полный, связаны подмножество ${displaystyle K,}$ из комплексная плоскость в качестве :

• изображения радиальных лучей под Карта Римана дополнения ${displaystyle K,}$
• в градиентные линии из Функция Грина из ${displaystyle K,}$
• полевые линии потенциала Дуади-Хаббарда^[7]
• ан интегральная кривая градиентного векторного поля Функция Грина по соседству с бесконечность^[8]

Внешние лучи вместе с эквипотенциальными линиями потенциала Дуади-Хаббарда (наборы уровней) образуют новый полярная система координат за внешний вид ( дополнять ) из ${displaystyle K,}$.

Другими словами, внешние лучи определяют вертикаль. слоение которая ортогональна горизонтальному слоению, определяемому множествами уровней потенциала.^[9]

Униформа

Позволять ${displaystyle Psi _ {c},}$ быть конформный изоморфизм от дополнение (внешний вид) из закрытый единичный диск ${displaystyle {overline {mathbb {D}}}}$ в дополнение к заполненный Юля набор ${displaystyle K_ {c}}$.

${displaystyle Psi _ {c}: {hat {mathbb {C}}} setminus {overline {mathbb {D}}} o {hat {mathbb {C}}} setminus K_ {c}}$

куда ${displaystyle {hat {mathbb {C}}}}$ обозначает расширенная комплексная плоскость.Позволять ${displaystyle Phi _ {c} = Psi _ {c} ^ {- 1},}$ обозначить Карта Бетчера.^[10]${displaystyle Phi _ {c},}$ это униформа карта бассейна притяжения бесконечности, потому что она сопрягает ${displaystyle f_ {c}}$ на дополнении заполненного множества Юля ${displaystyle K_ {c}}$ к ${displaystyle f_ {0} (z) = z ^ {2}}$ в комплекте единичного диска:

${displaystyle {egin {align} Phi _ {c}: {hat {mathbb {C}}} setminus K_ {c} & o {hat {mathbb {C}}} setminus {overline {mathbb {D}}} z & mapsto lim _ {n o infty} (f_ {c} ^ {n} (z)) ^ {2 ^ {- n}} конец {выровнено}}}$

и

${displaystyle Phi _ {c} circ f_ {c} circ Phi _ {c} ^ {- 1} = f_ {0}}$

Ценность ${displaystyle w = Phi _ {c} (z)}$ называется Координата Бетчера на точку ${displaystyle zin {hat {mathbb {C}}} setminus K_ {c}}$.

Формальное определение динамического луча

полярная система координат и Ψ_c для c = −2

В внешний луч угла ${displaystyle heta,}$ отмечен как ${displaystyle {mathcal {R}} _ {heta} ^ {K}}$является:

• изображение под ${displaystyle Psi _ {c},}$ прямых линий ${displaystyle {mathcal {R}} _ {heta} = {left (rcdot e ^ {2pi i heta} ight): r> 1}}$

${displaystyle {mathcal {R}} _ {heta} ^ {K} = Psi _ {c} ({mathcal {R}} _ {heta})}$

• множество точек экстерьера залитого множества Джулии с одинаковым внешним углом ${displaystyle heta}$

${displaystyle {mathcal {R}} _ {heta} ^ {K} = {zin {hat {mathbb {C}}} setminus K_ {c}: arg (Phi _ {c} (z)) = heta}}$

Характеристики

Внешний луч для периодического угла ${displaystyle heta,}$ удовлетворяет:

${displaystyle f ({mathcal {R}} _ {heta} ^ {K}) = {mathcal {R}} _ {2 heta} ^ {K}}$

и его точка приземления^[11] ${displaystyle gamma _ {f} (heta)}$ удовлетворяет:

${displaystyle f (gamma _ {f} (heta)) = gamma _ {f} (2 heta)}$

Параметр plane = c-plane

«Параметрические лучи - это просто кривые, которые проходят перпендикулярно эквипотенциальным кривым М-набора».^[12]

Униформа

Граница Набор Мандельброта в качестве изображение из единичный круг под ${displaystyle Psi _ {M},}$

Униформа из дополнение (внешний вид) из Набор Мандельброта

Позволять ${displaystyle Psi _ {M},}$ быть отображением из дополнение (внешний вид) из закрытый единичный диск ${displaystyle {overline {mathbb {D}}}}$ в дополнение к Набор Мандельброта ${displaystyle M}$.

${displaystyle Psi _ {M}: mathbb {шляпа {C}} setminus {overline {mathbb {D}}} o mathbb {шляпа {C}} setminus M}$

и карта Бетчера (функция) ${displaystyle Phi _ {M},}$, который униформа карта^[13] дополнения множества Мандельброта, поскольку оно конъюгирует дополнение Набор Мандельброта ${displaystyle M}$ и дополнение (внешний вид) из закрытый единичный диск

${displaystyle Phi _ {M}: mathbb {шляпа {C}} setminus M o mathbb {шляпа {C}} setminus {overline {mathbb {D}}}}$

его можно нормализовать так, чтобы:

${displaystyle {frac {Phi _ {M} (c)} {c}} o 1 as c o infty,}$^[14]

куда :

${displaystyle mathbb {шляпа {C}}}$ обозначает расширенная комплексная плоскость

Функция Юнгрейса ${displaystyle Psi _ {M},}$ инверсия униформа карта :

${displaystyle Psi _ {M} = Phi _ {M} ^ {- 1},}$

В случае комплексный квадратичный многочлен можно вычислить эту карту, используя Серия Laurent о бесконечность^[15][16]

${displaystyle c = Psi _ {M} (w) = w + sum _ {m = 0} ^ {infty} b_ {m} w ^ {- m} = w- {frac {1} {2}} + { frac {1} {8w}} - {frac {1} {4w ^ {2}}} + {frac {15} {128w ^ {3}}} + ...,}$

куда

${displaystyle cin mathbb {шляпа {C}} setminus M}$

${displaystyle win mathbb {шляпа {C}} setminus {overline {mathbb {D}}}}$

Формальное определение луча параметров

В внешний луч угла ${displaystyle heta,}$ является:

• изображение под ${displaystyle Psi _ {c},}$ прямых линий ${displaystyle {mathcal {R}} _ {heta} = {left (r * e ^ {2pi i heta} ight): r> 1}}$

${displaystyle {mathcal {R}} _ {heta} ^ {M} = Psi _ {M} ({mathcal {R}} _ {heta})}$

• множество точек экстерьера множества Мандельброта с одинаковым внешним углом ${displaystyle heta}$^[17]

${displaystyle {mathcal {R}} _ {heta} ^ {M} = {cin mathbb {hat {C}} setminus M: arg (Phi _ {M} (c)) = heta}}$

Значение ${displaystyle Phi _ {M},}$

Дуади и Хаббард определяют:

${displaystyle Phi _ {M} (c) {overset {underset {mathrm {def}} {}} {=}} Phi _ {c} (z = c),}$

так внешний угол точки ${displaystyle c,}$ плоскости параметров равен внешнему углу точки ${displaystyle z = c,}$ динамической плоскости

Внешний угол

Угол θ назван внешний угол ( аргумент ).^[18]

Главное значение внешних углов измеренный в повороты по модулю 1

1 повернуть = 360 градусы = 2 × π радианы

Сравните разные виды углов:

• внешний (точка экстерьера набора)
• внутренняя (точка внутри компонента)
• простой ( аргумент комплексного числа )

	внешний угол	внутренний угол	простой угол
плоскость параметров	${displaystyle arg (Phi _ {M} (c)),}$	${displaystyle arg (ho _ {n} (c)),}$	${displaystyle arg (c),}$
динамический самолет	${displaystyle arg (Phi _ {c} (z)),}$		${displaystyle arg (z),}$

Вычисление внешнего аргумента

• аргумент координаты Бёттхера как внешний аргумент^[19]
  • ${displaystyle arg _ {M} (c) = arg (Phi _ {M} (c))}$
  • ${displaystyle arg _ {c} (z) = arg (Phi _ {c} (z))}$
• последовательность замешивания как двоичное разложение внешнего аргумента^[20][21][22]

Трансцендентные карты

За трансцендентный карты (например экспоненциальный ) бесконечность не фиксированная точка, а существенная особенность и нет Изоморфизм Бетчера.^[23][24]

Здесь динамический луч определяется как кривая:

• соединение точки в набор побега и бесконечность^{[требуется разъяснение]}
• лежа в набор побега

Изображений

Динамические лучи

• неразветвленный
• 

  Юля настроена на ${displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} -1}$ с 2-мя внешними лучами, приземляющимися на отражающую фиксированную точку альфа

• 

  Юля набор и 3 внешние лучи посадка на фиксированную точку ${displaystyle alpha _ {c},}$

• 

  Динамические внешние лучи, приземляющиеся на период отталкивания 3 цикла, и 3 внутренних луча, приземляющиеся в фиксированной точке ${displaystyle alpha _ {c},}$

• 

  Набор Джулии с внешними лучами, приземляющимися на орбиту периода 3

• Воспроизвести медиа

  Лучи, падающие на параболическую фиксированную точку для периодов 2-40

• разветвленный
• 

  Разветвленный динамический луч

Параметрические лучи

Набор Мандельброта за комплексный квадратичный многочлен с параметрическими лучами корневых точек

• 

  Наружные лучи для углов формы: n / (2¹ - 1) (0/1; 1/1) приземление в точку c = 1/4, которая является куспидом основной кардиоиды (компонент периода 1)

• 

  Наружные лучи для углов формы: n / (2² - 1) (1/3, 2/3) приземление в точку c = - 3/4, которая является корневой точкой компонента периода 2

• 

  Наружные лучи для углов формы: n / (2³ - 1) (1 / 7,2 / 7) (3 / 7,4 / 7) приземление на точку c = -1,75 = -7/4 (5 / 7,6 / 7) приземление на корневые точки периода 3 компонента.

• 

  Наружные лучи для углов формы: n / (2⁴ - 1) (1 / 15,2 / 15) (3/15, 4/15) (6/15, 9/15) приземление на корневую точку c = -5/4 (7/15, 8/15) (15.11, 12/15) (13/15, 14/15) посадка на корневые точки компонентов периода 4.

• 

  Наружные лучи для углов формы: n / (2⁵ - 1) посадка на корневые точки периода 5 компонентов

• 

  внутренний луч главной кардиоиды под углом 1/3: начинается от центра основной кардиоиды c = 0, заканчивается в корневой точке компонента периода 3, которая является точкой посадки параметрических (внешних) лучей с углами 1/7 и 2 / 7

• 

  Внутренний луч для угла 1/3 основной кардиоиды, полученный по конформной карте из единичной окружности

• 

  Мини-набор Мандельброта с периодом 134 и 2 внешними лучами

• 
• 
• 
• 

  Просыпается около острова периода 3

• 

  Просыпается по основной антенне

Пространство параметров комплексное экспоненциальное семейство f (z) = exp (z) + c. Восемь лучей параметров, попадающих в этот параметр, нарисованы черным.

Программы, которые могут рисовать внешние лучи

• Мандель - программа Вольфа Юнга, написанная на C ++ с помощью Qt с исходный код доступно под Стандартная общественная лицензия GNU
  • Java-апплеты Евгения Демидова (код функции mndlbrot :: turn от Wolf Jung перенесен на Java) бесплатно исходный код
  • ezfract Майкл Сарджент, использует код Вольфа Юнга
• ОТИС Томоки Кавахира - Java-апплет без исходный код
• Программа Spider XView Юваля Фишера
• ЯБМП проф. Евгения Заустинского за ДОС без исходный код
• DH_Drawer к Арно Шерита написан для Windows 95 без исходный код
• Программы Linas Vepstas C за Linux консоль с исходный код
• Program Julia by Кертис Т. Макмаллен написано на C и Команды Linux за Оболочка C консоль с исходный код
• Программа mjwinq от Matjaz Erat написано в delphi / windows без исходный код (Для внешних лучей он использует методы из quad.c в julia.tar Кертиса Т. Макмаллена)
• RatioField Герта Бушмана, для окон с Паскаль исходный код для Дев-Паскаль 1.9.2 (с Free Pascal компилятор)
• Программа Мандельброта Милана Ва, написанная на Delphi с исходным кодом
• Power MANDELZOOM Роберт Мунафо
• ерш - Клод Хейланд-Аллен

Смотрите также

Викискладе есть медиафайлы по теме Категория: Наружные лучи.

• внешние лучи Точка Мисюревича
• Орбитальный портрет
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений
• Постоянная Пруэ-Туэ-Морса
• Теорема Каратеодори
• Полевые линии множеств Юлии

Рекомендации

• Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Комплексная динамика, Springer 1993 г.
• Адриан Дуади и Джон Хаббард, Динамичный этюд комплексов полиномов, Prepublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)
• Джон В. Милнор, Периодические орбиты, внешние лучи и множество Мандельброта: пояснительный отчет; Géométrie complexe et systèmes Dynamiques (Орсе, 1995), Astérisque № 261 (2000), 277–333. (Впервые появился как Препринт Stony Brook IMS в 1999 г., доступен как arXiV: math.DS / 9905169.)
• Джон Милнор, Динамика в одной сложной переменной, Третье издание, Princeton University Press, 2006 г., ISBN 0-691-12488-4
• Вольф Юнг: гомеоморфизмы на ребрах множества Мандельброта. Кандидат наук. дипломная работа 2002 г.

внешняя ссылка

В Викиучебнике есть книга на следующие темы: Фракталы

• Потенциал Хаббарда-Дуади, полевые линии Иниго Куилеса ^{[постоянная мертвая ссылка]}
• Рисование Mc по алгоритму Юнгрейса
• Внутренние лучи компонентов множества Мандельброта
• Презентация Джона Хаббарда, Красота и сложность множества Мандельброта, часть 3.1.
• видео от ImpoliteFruit
• Милан Ва. "Рисунок множества Мандельброта". Получено 2009-06-15.