WikiDer > Хаусон собственность

В математическом предмете теория групп, то Хаусон собственность, также известный как конечно порожденное свойство пересечения (FGIP), является свойством группы, говорящим, что пересечение любых двух конечно порожденных подгрупп этой группы снова конечно порождено. Имущество названо в честь Альберт Г. Хаусон который в статье 1954 г. установил, что бесплатные группы есть это свойство.^[1]

Формальное определение

А группа ${ displaystyle G}$ говорят, что имеет Хаусон собственность если для каждого конечно порожденный подгруппы ${ displaystyle H, K}$ из ${ displaystyle G}$ их пересечение ${ displaystyle H cap K}$ снова является конечно порожденной подгруппой в ${ displaystyle G}$.^[2]

Примеры и не примеры

• Каждая конечная группа обладает свойством Хаусона.
• Группа ${ Displaystyle G = F (а, Ь) раз mathbb {Z}}$ не имеет свойства Howson. В частности, если ${ displaystyle t}$ является генератором ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ фактор ${ displaystyle G}$, то для ${ Displaystyle H = F (a, b)}$ и ${ Displaystyle К = langle a, tb rangle leq G}$, надо ${ displaystyle H cap K = operatorname {ncl} _ {F (a, b)} (a)}$. Следовательно, ${ displaystyle H cap K}$ не конечно порожден.^[3]
• Если ${ displaystyle Sigma}$ компактная поверхность, то фундаментальная группа ${ Displaystyle pi _ {1} ( Sigma)}$ из ${ displaystyle Sigma}$ имеет свойство Howson.^[4]
• А free-by- (бесконечная циклическая группа) ${ Displaystyle F_ {п} rtimes mathbb {Z}}$, где ${ Displaystyle п geq 2}$, никогда не имеет свойства Howson.^[5]
• Ввиду недавнего доказательства Фактически гипотеза Хакена и Практически расслоенная гипотеза для 3-многообразий из ранее установленных результатов следует, что если M является замкнутым трехмерным гиперболическим многообразием, то ${ Displaystyle pi _ {1} (М)}$ не имеет свойства Howson.^[6]
• Среди групп 3-многообразий есть много примеров, которые обладают или не обладают свойством Хаусона. Группы 3-многообразий со свойством Хоусона включают фундаментальные группы 3-мерных гиперболических многообразий бесконечного объема, группы 3-многообразий, основанные на Sol и Ноль геометрии, а также группы 3-многообразий, полученные некоторой связной суммой и Разложение JSJ конструкции.^[6]
• Для каждого ${ Displaystyle п geq 1}$ то Баумслаг – Солитэр группа ${ displaystyle BS (1, n) = langle a, t mid t ^ {- 1} at = a ^ {n} rangle}$ имеет свойство Howson.^[3]
• Если г - группа, в которой каждая конечно порожденная подгруппа Нётерян тогда г имеет свойство Howson. В частности, все абелевы группы и все нильпотентные группы имеют свойство Howson.
• Каждая конечная полициклическая группа обладает свойством Хаусона.^[7]
• Если ${ displaystyle A, B}$ группы со свойством Howson, то их бесплатный продукт ${ Displaystyle A ast B}$ также имеет свойство Howson.^[8] В более общем плане свойство Howson сохраняется при приеме объединенных бесплатных продуктов и HNN-расширение групп со свойством Хаусона над конечными подгруппами.^[9]
• В общем, свойство Howson довольно чувствительно к объединенным продуктам и расширениям HNN на бесконечные подгруппы. В частности, для бесплатных групп ${ Displaystyle F, F '}$ и бесконечная циклическая группа ${ displaystyle C}$, объединенный бесплатный продукт ${ Displaystyle F ast _ {C} F '}$ имеет свойство Howson тогда и только тогда, когда ${ displaystyle C}$ является максимальной циклической подгруппой в обоих ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle F '}$.^[10]
• А прямоугольная группа Артина ${ Displaystyle А ( Гамма)}$ имеет свойство Howson тогда и только тогда, когда каждый связанный компонент ${ displaystyle Gamma}$ является полным графом.^[11]
• Ограничить группы имеют свойство Howson.^[12]
• Неизвестно, были ли ${ Displaystyle SL (3, mathbb {Z})}$ имеет свойство Howson.^[13]
• Для ${ displaystyle n geq 4}$ группа ${ Displaystyle SL (п, mathbb {Z})}$ содержит подгруппу, изоморфную ${ Displaystyle F (a, b) times F (a, b)}$ и не имеет свойства Howson.^[13]
• Много небольшие группы отмены и Группы Кокстера, удовлетворяющие условию "сокращения периметра" при их представлении, являются локально квазивыпуклыми словесно-гиперболические группы и, следовательно, обладают свойством Howson.^[14][15]
• Группы с одним родителем ${ displaystyle G = langle x_ {1}, dots, x_ {k} mid r ^ {n} = 1 rangle}$, где ${ Displaystyle п geq | г |}$ также локально квазивыпуклые словесно-гиперболические группы и, следовательно, обладают свойством Howson.^[16]
• В Григорчук группа г промежуточного роста не обладает свойством Хаусона.^[17]
• Свойство Howson не является Первый заказ свойство, то есть свойство Howson не может быть охарактеризовано коллекцией первого порядка язык группы формулы.^[18]
• Бесплатный группа pro-p ${ displaystyle F}$ удовлетворяет топологической версии свойства Howson: если ${ displaystyle H, K}$ топологически конечно порожденные замкнутые подгруппы группы ${ displaystyle F}$ затем их пересечение ${ displaystyle H cap K}$ топологически конечно порожден.^[19]
• Для любых фиксированных целых чисел ${ Displaystyle м geq 2, п geq 1, d geq 1,}$ "общий" ${ displaystyle m}$-генератор ${ displaystyle n}$группа связи ${ displaystyle G = langle x_ {1}, dots x_ {m} | r_ {1}, dots, r_ {n} rangle}$ обладает тем свойством, что для любого ${ displaystyle d}$-генерированные подгруппы ${ displaystyle H, K leq G}$ их пересечение ${ displaystyle H cap K}$ снова конечно порожден.^[20]
• В венок ${ Displaystyle mathbb {Z} wr mathbb {Z}}$ не имеет свойства Howson.^[21]

Смотрите также

• Гипотеза Ханны Нойман

использованная литература