WikiDer > Гиперболическая траектория

Синий путь на этом изображении - пример гиперболической траектории.

Гиперболическая траектория изображена в правом нижнем квадранте этой диаграммы, где гравитационная потенциальная яма центральной массы показывает потенциальную энергию, а кинетическая энергия гиперболической траектории показана красным. Высота кинетической энергии уменьшается по мере уменьшения скорости и увеличения расстояния согласно законам Кеплера. Та часть кинетической энергии, которая остается выше нуля полной энергии, связана с гиперболической избыточной скоростью.

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Параметры орбиты Апсис Аргумент периапсиса Азимут Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Виды двухчастичные орбиты, к эксцентриситет Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита (Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки (Гало-орбиты) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

В астродинамика или же небесная механика, а гиперболическая траектория это траектория любого объекта вокруг центральный орган с более чем достаточной скоростью, чтобы избежать гравитационного воздействия центрального объекта. Название происходит от того, что согласно Ньютоновская теория такая орбита имеет форму гипербола. В более технических терминах это может быть выражено условием, что орбитальный эксцентриситет больше единицы.

Согласно упрощенным предположениям, тело, движущееся по этой траектории, будет двигаться к бесконечности, устанавливая конечную избыточную скорость относительно центрального тела. Аналогично параболические траектории, все гиперболические траектории также траектории ухода. В удельная энергия орбиты гиперболической траектории положительна.

Планетарные облеты, используемые для гравитационные рогатки, можно описать в пределах планеты сфера влияния с использованием гиперболических траекторий.

Параметры, описывающие гиперболическую траекторию

Подобно эллиптической орбите, гиперболическая траектория для данной системы может быть определена (без учета ориентации) ее большой полуосью и эксцентриситетом. Однако для гиперболической орбиты другие параметры могут быть более полезными для понимания движения тела. В следующей таблице перечислены основные параметры, описывающие путь тела, следующего по гиперболической траектории вокруг другого при стандартных предположениях, и формулы, связывающие их.

Эти уравнения могут быть неточными. Нужны дополнительные ссылки.

Уравнения гиперболической траектории

Элемент	Символ	Формула	с помощью ${ displaystyle v _ { infty}}$ (или же ${ displaystyle a}$), и ${ displaystyle b}$
Стандартный гравитационный параметр	${ displaystyle mu ,}$	${ displaystyle { frac {v ^ {2}} {(2 / r-1 / a)}}}$	${ displaystyle bv _ { infty} ^ {2} cot theta _ { infty}}$
Эксцентриситет (>1)	${ displaystyle e}$	${ displaystyle { frac { ell} {r_ {p}}} - 1}$	${ displaystyle { sqrt {1 + b ^ {2} / a ^ {2}}}}$
Большая полуось (<0)	${ Displaystyle а , !}$	${ Displaystyle 1 / (2 / р-v ^ {2} / му)}$	${ displaystyle - mu / v _ { infty} ^ {2}}$
Гиперболическая избыточная скорость	${ displaystyle v _ { infty}}$	${ displaystyle { sqrt {- mu / a}}}$
(Внешний) Угол между асимптотами	${ displaystyle 2 theta _ { infty}}$	${ Displaystyle 2 соз ^ {- 1} (- 1 / е)}$	${ Displaystyle пи +2 загар ^ {- 1} (б / а)}$[1]
Угол между асимптотами и сопряженной осью гиперболического пути подхода	${ displaystyle 2 nu}$	${ displaystyle 2 theta _ { infty} - pi}$	${ displaystyle 2 sin ^ {- 1} { bigg (} { frac {1} {(1 + r_ {p} * v _ { infty} ^ {2} / mu)}} { bigg) }}$
Параметр удара (малая полуось)	${ displaystyle b}$	${ displaystyle -a { sqrt {е ^ {2} -1}}}$
Полу-латусная прямая кишка	${ displaystyle ell}$	${ Displaystyle а (е ^ {2} -1)}$	${ displaystyle -b ^ {2} / a = h ^ {2} / mu}$
Расстояние периапсиса	${ displaystyle r_ {p}}$	${ Displaystyle а (1-е)}$	${ displaystyle { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} + a}$
Удельная орбитальная энергия	${ displaystyle varepsilon}$	${ displaystyle - mu / 2a}$	${ displaystyle v _ { infty} ^ {2} / 2}$
Удельный угловой момент	${ displaystyle h}$	${ displaystyle { sqrt { mu ell}}}$	${ displaystyle bv _ { infty}}$

Большая полуось, энергия и гиперболическая избыточная скорость

Большая полуось (${ Displaystyle а , !}$) не сразу виден с гиперболической траекторией, но может быть построен, поскольку это расстояние от перицентра до точки пересечения двух асимптот. Обычно, по соглашению, он отрицательный, чтобы различные уравнения согласовывались с эллиптическими орбитами.

Большая полуось напрямую связана с удельная орбитальная энергия (${ displaystyle epsilon ,}$) или же характерная энергия ${ displaystyle C_ {3}}$ орбиты и скорости, которой тело достигает при стремлении расстояния к бесконечности, гиперболическая избыточная скорость (${ Displaystyle v _ { infty} , !}$).

${ Displaystyle v _ { infty} ^ {2} = 2 epsilon = C_ {3} = - mu / a}$ или же ${ displaystyle a = - { mu / {v _ { infty} ^ {2}}}}$

куда: ${ displaystyle mu = Gm , !}$ это стандартный гравитационный параметр и ${ displaystyle C_ {3}}$ характерная энергия, обычно используемая при планировании межпланетных миссий.

Обратите внимание, что полная энергия положительна в случае гиперболической траектории (тогда как она отрицательна для эллиптической орбиты).

Эксцентриситет и угол между заходом на посадку и вылетом

При гиперболической траектории орбитальный эксцентриситет (${ Displaystyle е ,}$) больше 1. Эксцентриситет напрямую связан с углом между асимптотами. С эксцентриситетом чуть больше 1 гипербола имеет острую форму буквы «v». В ${ displaystyle e = { sqrt {2}}}$ асимптоты расположены под прямым углом. С ${ displaystyle e> 2}$ асимптоты разнесены более чем на 120 °, а расстояние между ними больше, чем большая полуось. По мере дальнейшего увеличения эксцентриситета движение приближается к прямой.

Угол между направлением перицентра и асимптотой от центрального тела равен истинная аномалия поскольку расстояние стремится к бесконечности (${ displaystyle theta _ { infty} ,}$), так ${ Displaystyle 2 theta _ { infty} ,}$ - внешний угол между направлениями подхода и отъезда (между асимптотами). потом

${ Displaystyle тета {_ { infty}} = соз ^ {- 1} (- 1 / е) ,}$ или же ${ Displaystyle е = -1 / соз тета {_ { infty}} ,}$

Параметр удара и дальность максимального сближения

Гиперболические траектории, за которыми следуют объекты, приближающиеся к центральному объекту (маленькая точка) с одинаковой гиперболической избыточной скоростью (и большой полуосью (= 1)) и с одного направления, но с разными параметрами удара и эксцентриситетом. Желтая линия действительно проходит вокруг центральной точки, приближаясь к ней.

В прицельный параметр это расстояние, на которое тело, если бы оно продолжало двигаться невозмущенным путем, могло бы пропустить центральное тело на своем ближайший подход. Для тел, испытывающих гравитационные силы и следующих по гиперболическим траекториям, он равен малой полуоси гиперболы.

В ситуации, когда космический корабль или комета приближается к планете, прицельный параметр и избыточная скорость будут известны точно. Если центральное тело известно, то теперь можно определить траекторию, включая то, насколько близко приближающееся тело будет в перицентре. Если он меньше радиуса планеты, следует ожидать удара. Расстояние наибольшего сближения или перицентрическое расстояние определяется как:

${ displaystyle r_ {p} = - a (e-1) = mu / v {_ { infty}} ^ {2} ({ sqrt {1+ (bv {_ { infty}} ^ {2 } / mu) ^ {2}}} - 1)}$

Итак, если приближается комета земной шар (эффективный радиус ~ 6400 км) со скоростью 12,5 км / с (примерная минимальная скорость сближения тела, идущего с внешней стороны). Солнечная система), чтобы избежать столкновения с Землей, параметр удара должен быть не менее 8600 км, или на 34% больше радиуса Земли. Тело приближается Юпитер (радиус 70000 км) от внешней части Солнечной системы со скоростью 5,5 км / ч, во избежание столкновения потребуется, чтобы параметр удара был не менее 770 000 км или в 11 раз больше радиуса Юпитера.

Если масса центрального тела неизвестна, его стандартный гравитационный параметр и, следовательно, его масса могут быть определены путем отклонения меньшего тела вместе с параметром удара и скоростью приближения. Поскольку обычно все эти переменные могут быть определены точно, пролет космического корабля даст хорошую оценку массы тела.

${ displaystyle mu = bv _ { infty} ^ {2} tan delta / 2}$ куда ${ displaystyle delta = 2 theta _ { infty} - pi}$ - угол, на который меньшее тело отклоняется от прямой на своем пути.

Уравнения движения

Позиция

В гиперболической траектории истинная аномалия ${ displaystyle theta}$ связана с расстоянием между вращающимися телами (${ Displaystyle г ,}$) посредством уравнение орбиты:

${ Displaystyle г = { гидроразрыва { ell} {1 + е cdot cos theta}}}$

Связь между истинной аномалией θ и эксцентрическая аномалия E (в качестве альтернативы гиперболическая аномалия ЧАС) является:^[2]

${ displaystyle cosh {E} = {{ cos { theta} + e} over {1 + e cdot cos { theta}}}}$ или же ${ displaystyle tan { frac { theta} {2}} = { sqrt { frac {e + 1} {e-1}}} cdot tanh { frac {E} {2}}}$ или же ${ displaystyle tanh { frac {E} {2}} = { sqrt { frac {e-1} {e + 1}}} cdot tan { frac { theta} {2}}}$

Эксцентрическая аномалия E относится к средняя аномалия M к Уравнение Кеплера:

${ Displaystyle M = е зп E-E}$

Средняя аномалия пропорциональна времени

${ displaystyle M = { sqrt { frac { mu} {- a ^ {3}}}}. (t- tau),}$ куда μ это гравитационный параметр и а это большая полуось орбиты.

Угол траектории полета

Угол траектории полета (φ) - это угол между направлением скорости и перпендикуляром к радиальному направлению, поэтому он равен нулю в перицентре и стремится к 90 градусам на бесконечности.

${ Displaystyle загар ( фи) = { гидроразрыва {е cdot грех тета} {1 + е cdot соз тета}}}$

Скорость

При стандартных предположениях орбитальная скорость (${ displaystyle v ,}$) тела, движущегося по гиперболическая траектория можно вычислить из vis-viva уравнение в качестве:

${ displaystyle v = { sqrt { mu left ({2 over {r}} - {1 over {a}} right)}}}$

куда:

• ${ displaystyle mu ,}$ является стандартный гравитационный параметр,
• ${ Displaystyle г ,}$ - радиальное расстояние орбитального тела от центральный орган,
• ${ Displaystyle а , !}$ это (отрицательный) большая полуось.

При стандартных предположениях в любой позиции на орбите для орбитальная скорость (${ displaystyle v ,}$), местный скорость убегания (${ displaystyle {v_ {esc}} ,}$) и гиперболической избыточной скорости (${ Displaystyle v _ { infty} , !}$):

${ displaystyle v ^ {2} = {v_ {esc}} ^ {2} + {v _ { infty}} ^ {2}}$

Обратите внимание: это означает, что относительно небольшая дополнительная дельта-v выше, чем необходимо для ускорения до скорости убегания, получается относительно большая скорость на бесконечности. Например, в месте, где скорость эвакуации составляет 11,2 км / с, прибавление 0,4 км / с дает гиперболическую избыточную скорость 3,02 км / с.

${ displaystyle { sqrt {11.6 ^ {2} -11.2 ^ {2}}} = 3.02}$

Это пример Эффект Оберта. Верно и обратное - тело не нужно сильно замедлять по сравнению с его гиперболической избыточной скоростью (например, за счет атмосферного сопротивления около периапсиса), чтобы скорость упала ниже скорости убегания и, таким образом, тело могло быть захвачено.

Радиальная гиперболическая траектория

Радиальная гиперболическая траектория - это непериодическая траектория по прямой где относительная скорость двух объектов всегда превышает скорость убегания. Возможны два случая: тела удаляются друг от друга или навстречу друг другу. Это гиперболическая орбита с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита.

Релятивистская проблема двух тел

В контексте задача двух тел в общей теории относительности, траектории объектов с достаточной энергией, чтобы избежать гравитационного притяжения другого, больше не имеют формы гиперболы. Тем не менее, термин «гиперболическая траектория» все еще используется для описания орбит этого типа.

Смотрите также

• Орбита
• Орбитальное уравнение
• Орбита Кеплера
• Список орбит
• Планетарный пролет
• Гиперболический астероид
• Гиперболическая комета

Рекомендации

внешняя ссылка

• https://web.archive.org/web/20081008041919/http://homepage.mac.com/sjbradshaw/msc/traject.html
• https://web.archive.org/web/20050316084931/http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/ellipse.html
• https://web.archive.org/web/20120204054322/http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm#hyperbolic