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In dem homologische Algebra, eine Filiale der Mathematik, ist ein Kettenkomplex ein Struktur was den allgemeinen Begriffen Bedeutung verleiht "Zyklus" (Zyklus) und "Kante".

Definition

EIN Kettenkomplex oder kurz Komplex ist eine reihe Module über ein gegebenes Kommutativer Ring, verbunden durch Homomorphismen, mit der Eigenschaft, dass die Komposition zweier aufeinanderfolgender Morphismen ist immer trivial.

${displaystyle ldots {stackrel {d_{n 1}}{longrightarrow}}A_{n}{stackrel {d_{n}}{longrightarrow}}A_{n-1}{stackrel {d_{n-1}}{longrightarrow }}A_{n-2}{Stapel {d_{n-2}}{longrightarrow }}ldots }$

Der Komplex heißt endlich wenn alle außer einer endlichen Anzahl von Modulen trivial sind.

Die mit der Zusammensetzung von Morphismen verbundene Bedingung kann auch wie folgt ausgedrückt werden:

${displaystyle {hbox{Im}},d_{n 1}Teilmenge {hbox{Ker}},d_{n}}$

Das Ader von jedem Morphismus, den es enthält Statue des vorhergehenden Morphismus.

Das Elemente von Ker ${displaystyle d_{n}}$ heißen die Fahrräder, die Elemente von ${displaystyle mathrm {Im} ,d_{n 1}}$ sind die Kanten. Diese beiden Namen sind inspiriert vom Beispiel der singulären Simplizes, siehe unten unter "algebraische Topologie".

Ganz analog, nur durch Vertauschen des Vorzeichens des Index definiert man a Co-Ketten-Komplex als eine Reihe von Modulen und Morphismen

${displaystyle ldots {stackrel {d_{n-1}}{longrightarrow }}A_{n}{stackrel {d_{n}}{longrightarrow }}A_{n 1}{stackrel {d_{n 1}}{longrightarrow } }A_{n 2}{Stapel {d_{n 2}}{longrightarrow }}ldots }$

Die Bedingung an die Morphismen lautet dann:

${displaystyle mathrm {Im} ,d_{n-1}Subset mathrm {Ker} ,d_{n}}$

Die Elemente von ${displaystyle mathrm {Ker} ,d_{n}}$ sind die cocycles, das von ${displaystyle mathrm {Im} ,d_{n-1}}$ das Korand.

Beispiel

In konkreten Beispielen sind die Module meist real Vektorräume oder abelsche Gruppen. Abelsche Gruppen entsprechen eindeutig Modulen über den Ring der ganze Zahlen.

Sie ${Anzeigestil S}$ der reelle Vektorraum von unbegrenzt differenzierbar echte Funktionen (Skalarfelder) auf dem dreidimensionalen euklidischen Raum und ${Anzeigestil V=S^{3}}$ der raum des differenzierbaren Vektorfelder. Betrachten Sie zwischen diesen Vektorräumen den klassischen Differentialoperatoren: Gradient, Drehung und Abweichungen.

${displaystyle 0{stackrel {0}{longrightarrow }}mathbb {R} {stackrel {mathrm {const} }{longrightarrow }}S{stackrel {mathrm {grad} }{longrightarrow }}V{stackrel {mathrm {rot} } {longrightarrow }}V{stackrel {mathrm {div} }{longrightarrow }}S{stackrel {0}{longrightarrow }}0}$

Der Pfeil "const" ordnet jede reelle Zahl ihrer entsprechenden konstanten Funktion zu.

Die klassischen Beziehungen zwischen diesen Differentialoperatoren

${displaystyle {hbox{rot}},{hbox{grad}},f=0}$

${displaystyle {hbox{div}},{hbox{rot}},{stackrel {o }{v}}=0}$

und die Tatsache, dass der Gradient einer Konstanten 0 ist, können wir nun zusammenfassen, indem wir sagen, dass das obige Diagramm ein (endlicher) Komplex (oder ein Co-Chain-Komplex, je nachdem, wie wir die Räume und Morphismen nummerieren) ist.

Genaue Reihe, Kohomologie

Das obige Beispiel ist zufällig auch a genaue Zeile, denn der Kern jedes Morphismus ist genau gleich ist zum Bild des vorherigen Morphismus:

• wie ein Skalarfeld Nein Gradient hat, dann ist sie konstant;
• wenn ein Vektorfeld rotatorisch ist, dann ist es der Gradient eines Skalarfeldes (dies folgt aus dem Satz von Stokes);
• wenn ein Vektorfeld nicht divergiert, dann ist es der Rotor eines anderen Vektorfeldes;
• jedes Skalarfeld ist die Divergenz eines Vektorfeldes.

Betrachten wir Skalarfunktionen und Vektorfelder auf a offene Teilmenge des euklidischen Raums, dann haben wir immer noch einen Kettenkomplex, aber nicht unbedingt eine exakte Folge. Zum Beispiel das Vektorfeld

${displaystyle left({-y über x^{2} y^{2}},{x über x^{2} y^{2}},0ight)}$

Rotationsfrei auf dem euklidischen Raum außerhalb der z-Achse, aber es ist nicht der Gradient eines global definierten Skalarfeldes auf dem euklidischen Raum minus der z-Achse.

Um dieses Beispiel besser zu verstehen, kann man beachten, dass das gegebene Vektorfeld lokal entspricht der Steigung des orientierten Ecke um die z-Achse. Zum Beispiel, wenn ${Anzeigestil x}$ unterscheidet sich von 0:

${displaystyle mathrm {grad} arctan left({y over x}ight)}$

Das Quotientenraum zwischen dem Kern eines Homomorphismus und dem Bild des vorherigen Homomorphismus, heißt Homologie (in Co-Ketten, Kohomologie). Sie gibt gewissermaßen an, inwieweit der zugrunde liegende Raum (hier: der dreidimensionale Raum ohne z-Achse) von a . abweicht kontraktiler Raum.

Algebraische Topologie

Sie ${Anzeigestil X}$ eine zufällige topologischer Raum. Name ${Displaystil A_{n}}$freie abelsche Gruppe auf der Singular ${displaystyle n}$-einfach im ${Anzeigestil X}$. Der Homomorphismus abelscher Gruppen ${displaystyle d_{n}}$ wird durch das jeweilige Bild erzeugt ${displaystyle n}$-simplex verbindet die orientierte Summe der ${displaystyle n1}$${Anzeigestil (n-1)}$-Simplices, die seinen Rand bilden. Es stellt sich heraus, dass die orientierte Kante einer orientierten Kante null ist, also haben wir einen Komplex von abelschen Gruppen.

Die entsprechende Homologie heißt singuläre Homologie.

Differentialgeometrie

Es ${displaystyle k}$-fach antisymmetrisch Tensorprodukt des Corraking-Bündel auf einem glatten Vielfalt ist der reelle Vektorraum des homogenen Differentialformen von Rang ${displaystyle k}$, Zusamenfassend ${displaystyle k}$-Formen. Das Differential${displaystyle mathrm {d} }$ ist ein Homomorphismus der ${displaystyle k}$-Form zum ${Anzeigestil(k1)}$-Formen. Das Differential eines Differentials ist null, also ist ${displaystyle k}$-Formen, für ${displaystyle k}$ von 0 bis Abmessungen der Mannigfaltigkeit einen endlichen Komplex reeller Vektorräume bilden: die Der Rham-Komplex, benannt nach Georges de Rham.

Die entsprechende Kohomologie heißt die Rham-Kohomologie.