WikiDer > Последовательность Майера – Виеториса

Mayer–Vietoris sequence

В математикаособенно алгебраическая топология и теория гомологии, то Последовательность Майера – Виеториса является алгебраический инструмент, помогающий вычислить алгебраические инварианты из топологические пространства, известные как их гомология и группы когомологий. Результат обусловлен двумя Австрийский математики, Вальтер Майер и Леопольд Виеторис. Метод состоит в разбиении пространства на подпространства, для которых группы гомологий или когомологий может быть проще вычислить. Последовательность связывает группы (ко) гомологий пространства с группами (ко) гомологий подпространств. Это естественный длинная точная последовательность, элементами которого являются группы (ко) гомологий всего пространства, прямая сумма групп (ко) гомологий подпространств и групп (ко) гомологий пересечение подпространств.

Последовательность Майера – Виеториса верна для множества когомология и теории гомологии, в том числе симплициальные гомологии и особые когомологии. В общем, последовательность верна для тех теорий, удовлетворяющих Аксиомы Эйленберга – Стинрода, и есть вариации как для уменьшенный и родственник (ко) гомологии. Поскольку (ко) гомологии большинства пространств не могут быть вычислены непосредственно из их определений, можно использовать такие инструменты, как последовательность Майера – Виеториса, в надежде получить частичную информацию. Многие места встречаются в топология создаются путем соединения очень простых патчей. Тщательный выбор двух покрывающих подпространств так, чтобы вместе с их пересечением они имели более простые (ко) гомологии, чем гомология всего пространства, может позволить сделать полный вывод (ко) гомологии пространства. В этом отношении последовательность Майера – Виеториса аналогична последовательности Теорема Зейферта – ван Кампена для фундаментальная группа, и точное соотношение существует для гомологий размерности один.

Предпосылки, мотивация и история

Леопольд Виеторис к 110-летию со дня рождения

Словно фундаментальная группа или выше гомотопические группы пространства, группы гомологий являются важными топологическими инвариантами. Хотя некоторые теории (ко) гомологии вычислимы с использованием инструментов линейная алгебра, многие другие важные теории (ко) гомологии, особенно сингулярные (ко) гомологии, не вычисляются непосредственно из их определения для нетривиальных пространств. Для сингулярных (ко) гомологий группы сингулярных (ко) цепей и (ко) циклов часто слишком велики для непосредственной обработки. Необходимы более тонкие и косвенные подходы. Последовательность Майера – Виеториса представляет собой такой подход, который дает частичную информацию о группах (ко) гомологий любого пространства, связывая его с группами (ко) гомологий двух его подпространств и их пересечением.

Наиболее естественный и удобный способ выразить отношение включает алгебраическое понятие точные последовательности: последовательности объекты (в таком случае группы) и морфизмы (в таком случае групповые гомоморфизмы) между ними так, что образ одного морфизма равно ядро следующего. В общем, это не позволяет полностью вычислить группы (ко) гомологий пространства. Однако, поскольку многие важные пространства, встречающиеся в топологии, являются топологические многообразия, симплициальные комплексы, или Комплексы CW, которые построены путем объединения очень простых фрагментов воедино, теорема, подобная теореме Майера и Виеториса, потенциально имеет широкое и глубокое применение.

Майер познакомил с топологией его коллега Виеторис, когда он посещал свои лекции в 1926 и 1927 годах в местном университете в г. Вена.[1] Ему рассказали о предполагаемом результате и способе его решения, и он решил вопрос за Бетти числа в 1929 г.[2] Он применил свои результаты к тор рассматривается как соединение двух цилиндров.[3][4] Позднее Вьеторис доказал полный результат для групп гомологии в 1930 году, но не выразил его в виде точной последовательности.[5] Концепция точной последовательности появилась в печати только в книге 1952 года. Основы алгебраической топологии от Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод[6] где результаты Майера и Виеториса были выражены в современной форме.[7]

Основные версии сингулярных гомологий

Позволять Икс быть топологическое пространство и А, B - два подпространства, интерьеры обложка Икс. (Интерьеры А и B не должны быть непересекающимися.) Последовательность Майера – Виеториса в особые гомологии для триады (Икс, А, B) это длинная точная последовательность связывающие группы особых гомологий (с группой коэффициентов целые числа Z) пространств Икс, А, B, а пересечение АB.[8] Есть нередуцированная и сокращенная версия.

Нередуцированная версия

Для нередуцированной гомологии последовательность Майера – Виеториса утверждает, что следующая последовательность является точной:[9]

Вот я : АBА, j : АBB, k : АИкс, и л : BИкс находятся карты включения и обозначает прямая сумма абелевых групп.

Граничная карта

Иллюстрация граничной карты ∂ на торе, где 1-цикл Икс = ты + v представляет собой сумму двух 1-цепей, граница которых лежит в пересечении А и B.

Граничные отображения ∂ снижение размера можно определить следующим образом.[10] Элемент в ЧАСп(Икс) - класс гомологии п-цикл Икс который, по барицентрическое подразделение например, можно записать как сумму двух п-цепи ты и v чьи образы полностью лежат в А и Bсоответственно. Таким образом, ∂Икс = ∂(ты + v) = 0, так что ∂ты = −∂v. Отсюда следует, что образы обеих этих границ (п - 1) -циклы содержатся в пересечении АB. Тогда ∂([Икс]) можно определить как класс ∂ты в ЧАСп−1(АB). Выбор другого разложения Икс = u ′ + v ′ не влияет на [∂ты], поскольку ∂ты + ∂v = ∂Икс = ∂u ′ + ∂v ′, откуда следует ∂ты − ∂u ′ = ∂(v ′v), поэтому ∂ты и ∂u ′ принадлежат к одному классу гомологии; и выбор другого представителя Икс', с тех пор ∂Икс' = ∂Икс = 0. Обратите внимание, что отображения в последовательности Майера – Виеториса зависят от выбора порядка для А и B. В частности, карта границ меняет знак, если А и B поменяны местами.

Уменьшенная версия

Для пониженная гомология существует также последовательность Майера – Виеториса в предположении, что А и B имеют непустой пересечение.[11] Последовательность идентична для положительных размеров и заканчивается следующим образом:

Аналогия с теоремой Зейферта – ван Кампена.

Существует аналогия между последовательностью Майера – Виеториса (особенно для групп гомологии размерности 1) и последовательностью Теорема Зейферта – ван Кампена.[10][12] Всякий раз, когда является соединенный путём, приведенная последовательность Майера – Виеториса дает изоморфизм

где по точности

Это как раз то абелианизированный формулировка теоремы Зейферта – ван Кампена. Сравните с тем, что абелианизация фундаментальная группа когда связано с путями.[13]

Основные приложения

k-сфера

Разложение для Икс = S2

Чтобы полностью вычислить гомологии k-сфера Икс = Sk, позволять А и B быть двумя полушариями Икс с пересечением гомотопический эквивалент к (k - 1) -мерная экваториальная сфера. Поскольку k-мерные полушария гомеоморфный к k-диски, которые стягиваемый, группы гомологий для А и B находятся банальный. Последовательность Майера – Виеториса для пониженная гомология группы затем дает

Из точности сразу следует, что отображение ∂* является изоморфизмом. С использованием пониженная гомология из 0-сфера (два балла) как базовый вариант, следует[14]

где δ - Дельта Кронекера. Такое полное понимание групп гомологии сфер резко контрастирует с современными знаниями о гомотопические группы сфер, особенно для случая п > k о которых мало что известно.[15]

Бутылка Клейна

Бутылка Клейна (фундаментальный многоугольник с соответствующими отождествлениями ребер), разложенных на две полосы Мёбиуса А (синим цветом) и B (в красном).

Несколько более сложным применением последовательности Майера – Виеториса является вычисление групп гомологии Бутылка Клейна Икс. Используется разложение Икс как союз двух Ленты Мебиуса А и B приклеенный вдоль их ограничивающего круга (см. иллюстрацию справа). потом А, B и их пересечение АB находятся гомотопический эквивалент в круги, поэтому нетривиальная часть последовательности дает[16]

а тривиальная часть подразумевает исчезающие гомологии для размерностей больше 2. Центральное отображение α переводит 1 в (2, −2), поскольку граничная окружность ленты Мёбиуса дважды оборачивается вокруг основной окружности. В частности, α является инъективный поэтому гомологии размерности 2 также исчезают. Наконец, выбирая (1, 0) и (1, −1) в качестве основы для Z2, следует

Клин-суммы

Это разложение суммы клина Икс двух 2-х сфер K и L дает все группы гомологий Икс.

Позволять Икс быть сумма клина двух пространств K и L, и предположим, кроме того, что идентифицированные базовая точка это деформационный отвод из открытые кварталы UK и VL. Сдача А = KV и B = UL это следует из того АB = Икс и АB = UV, который стягиваемый по конструкции. Тогда сокращенная версия последовательности дает (по точности)[17]

для всех размеров п. На рисунке справа показано Икс как сумма двух 2-сфер K и L. Для этого конкретного случая, используя результат сверху для 2-х сфер

Подвески

Это разложение суспензии Икс 0-сферы Y дает все группы гомологий Икс.

Если Икс это подвеска SY пространства Y, позволять А и B быть дополняет в Икс верхней и нижней «вершин» двойного конуса соответственно. потом Икс это союз АB, с участием А и B сжимаемый. Также перекресток АB гомотопически эквивалентен Y. Следовательно, последовательность Майера – Виеториса дает для всех п,[18]

На рисунке справа показана 1-сфера. Икс как подвеска 0-сферы Y. Отмечая в целом, что k-сфера - приостановка (k - 1) -сферы легко вывести группы гомологий k-сфера по индукции, как указано выше.

Дальнейшее обсуждение

Относительная форма

А родственник форма последовательности Майера – Виеториса также существует. Если YИкс и это союз CА и DB, то точная последовательность такова:[19]

Натуральность

Группы гомологии естественный в том смысле, что если это непрерывный map, то есть канонический продвигать отображение групп гомологии таким образом, что композиция pushforwards является pushforward композиции: то есть, Последовательность Майера – Виеториса также естественна в том смысле, что если

то связующий морфизм последовательности Майера – Виеториса, ездит с .[20] То есть следующая диаграмма ездит на работу[21] (горизонтальные карты обычные):

Когомологические версии

Длинная точная последовательность Майера – Виеториса для особые когомологии группы с коэффициентом группа г является двойной к гомологической версии. Это следующее:[22]

где сохраняющие размерность отображения - это ограничительные отображения, индуцированные из включений, а (ко-) граничные отображения определены аналогично гомологической версии. Есть и относительная формулировка.

Как важный частный случай, когда г это группа действительные числа р а основное топологическое пространство имеет дополнительную структуру гладкое многообразие, последовательность Майера – Виеториса для когомологии де Рама является

где {U, V} является открытая крышка из X, ρ обозначает карту ограничения, а Δ это разница. Карта определяется аналогично отображению сверху. Кратко это можно описать следующим образом. Для класса когомологий [ω] представлена закрытая форма ω в UV, экспресс ω как разница форм через разделение единства подчиняться открытой обложке {U, V}, Например. Внешняя производная U и V соглашаться UV и поэтому вместе определяют п + 1 форма σ на Икс. Тогда есть d([ω]) = [σ].

Для когомологий де Рама с компактными носителями существует "перевернутый" вариант указанной выше последовательности:

где ,, как указано выше, это подписанная карта включения где расширяет форму с компактной опорой до формы на нулем и это сумма.[23]

Вывод

Рассмотрим длинная точная последовательность, связанная с то короткие точные последовательности из цепные группы (составляющие группы цепные комплексы)

где α (Икс) = (Икс, −Икс), β (Икс, у) = Икс + у, и Cп(А + B) - цепная группа, состоящая из сумм цепей в А и цепи в B.[9] Это факт, что единственное число п-просты Икс чьи изображения содержатся либо в А или B порождают всю группу гомологий ЧАСп(Икс).[24] Другими словами, ЧАСп(А + B) изоморфна ЧАСп(Икс). Это дает последовательность Майера – Виеториса для сингулярных гомологий.

То же самое вычисление применялось к коротким точным последовательностям векторных пространств дифференциальные формы

дает последовательность Майера – Виеториса для когомологий де Рама.[25]

С формальной точки зрения последовательность Майера – Виеториса может быть получена из Аксиомы Эйленберга – Стинрода для теории гомологии с использованием длинная точная последовательность в гомологии.[26]

Другие теории гомологии

Вывод последовательности Майера – Виеториса из аксиом Эйленберга – Стинрода не требует аксиома размерности,[27] так что в дополнение к существующим в обычные теории когомологий, это держится в необычные теории когомологий (такие как топологическая K-теория и кобордизм).

Когомологии пучков

С точки зрения когомологии пучковпоследовательность Майера – Виеториса связана с Когомологии Чеха. В частности, он возникает из вырождение из спектральная последовательность который связывает когомологии Чеха с когомологиями пучков (иногда называемых Спектральная последовательность Майера – Виеториса.) в случае, когда открытое покрытие, используемое для вычисления когомологий Чеха, состоит из двух открытых множеств.[28] Эта спектральная последовательность существует в произвольных Topoi.[29]

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Хирцебрух 1999
  2. ^ Майер 1929
  3. ^ Дьедонне 1989, п. 39
  4. ^ Майер 1929, п. 41 год
  5. ^ Вьеторис 1930
  6. ^ Корри 2004, п. 345
  7. ^ Эйленберг и Стинрод, 1952 г., Теорема 15.3
  8. ^ Эйленберг и Стинрод, 1952 г., §15
  9. ^ а б Хэтчер 2002, п. 149
  10. ^ а б Хэтчер 2002, п. 150
  11. ^ Spanier 1966, п. 187
  12. ^ Мэсси 1984, п. 240
  13. ^ Хэтчер 2002, Теорема 2A.1, с. 166
  14. ^ Хэтчер 2002, Пример 2.46, с. 150
  15. ^ Хэтчер 2002, п. 384
  16. ^ Хэтчер 2002, п. 151
  17. ^ Хэтчер 2002, Упражнение 31 на странице 158
  18. ^ Хэтчер 2002, Упражнение 32 на странице 158
  19. ^ Хэтчер 2002, п. 152
  20. ^ Мэсси 1984, п. 208
  21. ^ Эйленберг и Стинрод, 1952 г., Теорема 15.4
  22. ^ Хэтчер 2002, п. 203
  23. ^ Ботт, Рауль, 1923–2005 гг. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Ту, Лоринг В.,. Нью-Йорк. ISBN 978-0-387-90613-3. OCLC 7597142.CS1 maint: лишняя пунктуация (ссылка на сайт) CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)
  24. ^ Хэтчер 2002, Предложение 2.21, с. 119
  25. ^ Ботт и Ту 1982, §I.2
  26. ^ Хэтчер 2002, п. 162
  27. ^ Коно и Тамаки 2006, стр. 25–26
  28. ^ Dimca 2004, стр. 35–36
  29. ^ Вердье 1972 (SGA 4.V.3)

использованная литература

  • Корри, Лео (2004), Современная алгебра и рост математических структур, Биркхойзер, стр. 345, г. ISBN 3-7643-7002-5.

дальнейшее чтение