WikiDer > Noncototient

В математике несносный положительное целое число п что не может быть выражено как разница между положительным целым числом м и количество совмещать целые числа под ним. То есть, м - φ (м) = п, где φ обозначает Функция Эйлера, не имеет решения длям. В cototient из п определяется как п - φ (п), так что несносный - это число, которое никогда не бывает случайным.

Предполагается, что все некотиенты четны. Это следует из модифицированной формы немного более сильной версии Гипотеза Гольдбаха: если четное число п можно представить как сумму двух различных простых чисел п и q, тогда

${ Displaystyle pq- varphi (pq) = pq- (p-1) (q-1) = p + q-1 = n-1. ,}$

Ожидается, что каждое четное число, превышающее 6, является суммой двух различных простых чисел, поэтому, вероятно, никакое нечетное число больше 5 не является условным. Остальные нечетные числа покрываются наблюдениями ${ Displaystyle 1 = 2- phi (2), 3 = 9- phi (9)}$ и ${ displaystyle 5 = 25- phi (25)}$.

Для четных чисел это может быть показано

${ Displaystyle 2pq- varphi (2pq) = 2pq- (p-1) (q-1) = pq + p + q-1 = (p + 1) (q + 1) -2}$

Таким образом, все четные числа п такой, что п+2 можно записать как (p + 1) * (q + 1) с п, q простые числа - составляющие.

Первые несколько noncototients

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474 , 482, 490, ... (последовательность A005278 в OEIS)

Коттедж п находятся

0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, ... (последовательность A051953 в OEIS)

Наименее k такой, что составляющая k является п являются (начинаются с п = 0, 0, если такого нет k существуют)

1, 2, 4, 9, 6, 25, 10, 15, 12, 21, 0, 35, 18, 33, 26, 39, 24, 65, 34, 51, 38, 45, 30, 95, 36, 69, 0, 63, 52, 161, 42, 87, 48, 93, 0, 75, 54, 217, 74, 99, 76, 185, 82, 123, 60, 117, 66, 215, 72, 141, 0, ... (последовательность A063507 в OEIS)

Величайший k такой, что составляющая k является п являются (начинаются с п = 0, 0, если такого нет k существуют)

1, ∞, 4, 9, 8, 25, 10, 49, 16, 27, 0, 121, 22, 169, 26, 55, 32, 289, 34, 361, 38, 85, 30, 529, 46, 133, 0, 187, 52, 841, 58, 961, 64, 253, 0, 323, 68, 1369, 74, 391, 76, 1681, 82, 1849, 86, 493, 70, 2209, 94, 589, 0, ... (последовательность A063748 в OEIS)

Количество kтакие, что k-φ (k) является п являются (начинаются с п = 0)

1, ∞, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 4, 4, 3, 0, 4, 1, 4, 3, 3, 4, 3, 0, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 2, 4, 2, 6, 5, 5, 0, 3, 0, 6, 2, 4, 2, 5, 0, 7, 4, 3, 1, 8, 4, 6, 1, 3, 1, 5, 2, 7, 3, ... ( последовательность A063740 в OEIS)

Erds (1913-1996) и Серпинский (1882-1969) спросил, существует ли бесконечно много некототентов. Окончательный утвердительный ответ на этот вопрос дали Браукин и Шинцель (1995), которые показали, что каждый член бесконечной семьи ${ displaystyle 2 ^ {k} cdot 509203}$ является примером (см. Число Ризеля). С тех пор другие бесконечные семейства примерно такой же формы были даны Фламменкампом и Лукой (2000).

Рекомендации

• Browkin, J .; Шинцель, А. (1995). «О целых числах не вида n-φ (n)». Коллок. Математика. 68 (1): 55–58. Zbl 0820.11003.
• Flammenkamp, ​​A .; Лука, Ф. (2000). «Бесконечные семьи некототенцев». Коллок. Математика. 86 (1): 37–41. Zbl 0965.11003.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. С. 138–142. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

внешняя ссылка

• Некотенциальное определение из MathWorld