WikiDer > Фонон

В физика, а фонон это коллективное возбуждение в периодическом, эластичный расположение атомы или же молекулы в конденсированное веществоособенно в твердые вещества и немного жидкости. Часто обозначается как квазичастица,^[1] это возбужденное состояние в квантово-механический квантование из режимы колебаний для упругих структур взаимодействующих частиц. Фононы можно рассматривать как квантованные звуковые волны, похожий на фотоны как квантованный световые волны.^[2]

Изучение фононов - важная часть физики конденсированного состояния. Они играют важную роль во многих физических свойствах систем конденсированного состояния, таких как теплопроводность и электрическая проводимость, а также играют фундаментальную роль в моделях рассеяние нейтронов и связанные эффекты.

Понятие фононов было введено в 1932 г. Советский физик Игорь Тамм. Название фонон исходит из Греческий слово φωνή (Телефон), что переводится как звук или же голос, поскольку длинноволновые фононы приводят к звук. Название аналогично слову фотон.

Определение

Фонон - это квантово-механический описание элементарного колебательный движение, в котором решетка атомов или молекул равномерно колеблется на одном частота.^[3] В классическая механика это обозначает нормальный режим вибрации. Нормальные режимы важны, потому что любое колебание решетки можно рассматривать как суперпозиция из этих элементарный режимы вибрации (ср. Анализ Фурье). Пока нормальные режимы волнообразный явления в классической механике, фононы имеют подобный частице свойства тоже в некотором роде с дуальность волна-частица квантовой механики.

Динамика решетки

Уравнения в этом разделе не используют аксиомы квантовой механики, но вместо этого используют соотношения, для которых существует прямое переписка в классической механике.

Например: жесткий регуляр, кристаллический (нет аморфный) решетка состоит из N частицы. Эти частицы могут быть атомами или молекулами. N это большое число, скажем порядка 10²³, или по порядку Число Авогадро для типичного образца твердого тела. Поскольку решетка жесткая, атомы должны силы друг на друга, чтобы каждый атом был близок к положению равновесия. Эти силы могут быть Силы Ван-дер-Ваальса, ковалентные связи, электростатические аттракционы, и другие, все из которых в конечном итоге связаны с электрический сила. Магнитный и гравитационный силы обычно незначительны. Силы между каждой парой атомов могут быть охарактеризованы как потенциальная энергия функция V это зависит от расстояния разделения атомов. Потенциальная энергия всей решетки представляет собой сумму всех попарных потенциальных энергий, умноженных на коэффициент 1/2 для компенсации двойного счета:^[4]

${ displaystyle { frac {1} {2}} sum _ {я neq j} V left (r_ {i} -r_ {j} right)}$

куда р_я это позиция из яth атом, и V это потенциальная энергия между двумя атомами.

Это сложно решить проблема многих тел явно либо в классической, либо в квантовой механике. Чтобы упростить задачу, важны два приближения обычно накладываются. Во-первых, суммирование выполняется только по соседним атомам. Хотя электрические силы в реальных твердых телах простираются до бесконечности, это приближение все еще остается в силе, потому что поля, создаваемые удаленными атомами, эффективно экранированный. Во-вторых, потенциалы V рассматриваются как гармонические потенциалы. Это допустимо, пока атомы остаются близкими к своему положению равновесия. Формально это достигается за счет Тейлор расширяется V о его равновесном значении до квадратичного порядка, что дает V пропорционально перемещению Икс² а сила упругости просто пропорциональна Икс. Ошибка игнорирования членов более высокого порядка остается небольшой, если Икс остается близким к положению равновесия.

Полученную решетку можно представить как систему шариков, соединенных пружинами. На следующем рисунке показана кубическая решетка, которая является хорошей моделью для многих типов кристаллических твердых тел. Другие решетки включают линейную цепочку, которая представляет собой очень простую решетку, которую мы вскоре будем использовать для моделирования фононов. (О других общих решетках см. Кристальная структура.)

Потенциальная энергия решетки теперь может быть записана как

${ displaystyle sum _ { {ij } ( mathrm {nn})} { tfrac {1} {2}} nn omega ^ {2} left (R_ {i} -R_ {j} справа) ^ {2}.}$

Здесь, ω это собственная частота гармонических потенциалов, которые считаются одинаковыми, поскольку решетка регулярна. р_я координата положения яth атом, который мы теперь измеряем от его положения равновесия. Сумма по ближайшим соседям обозначается (nn).

Волны решетки

Фонон, распространяющийся через квадратную решетку (смещения атомов сильно преувеличены)

Из-за связей между атомами смещение одного или нескольких атомов из их положений равновесия вызывает набор вибраций. волны распространяется через решетку. Одна такая волна показана на рисунке справа. В амплитуда волны задаются смещениями атомов из их положений равновесия. В длина волны λ отмечен.

Минимально возможная длина волны определяется удвоением равновесного расстояния. а между атомами. Любая длина волны короче этой может быть отображена на длину волны более 2а, из-за периодичности решетки. Это можно рассматривать как одно из следствий Теорема выборки Найквиста – Шеннона, точки решетки рассматриваются как «точки выборки» непрерывной волны.

Не все возможные колебания решетки имеют четко определенные длину волны и частоту. Тем не менее нормальные режимы обладают четко определенными длинами волн и частоты.

Одномерная решетка

Анимация, показывающая первые 6 нормальных мод одномерной решетки: линейная цепочка частиц. Самая короткая длина волны находится вверху, а все более длинные волны - внизу. В самых нижних строках видно движение волн вправо.

Чтобы упростить анализ, необходимый для 3-мерной решетки атомов, удобно моделировать 1-мерную решетку или линейную цепочку. Эта модель достаточно сложна, чтобы отображать основные особенности фононов.

Классическое лечение

Предполагается, что силы между атомами являются линейными и ближайшими, и они представлены упругой пружиной. Предполагается, что каждый атом является точечной частицей, а ядро ​​и электроны движутся ступенчато (адиабатическая теорема):

п − 1   п   п + 1   ←   а   →

··· o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++++ o ++++ ++ o ++++++ o ++++++ o ···

→→ → →→→

ты_{п − 1} ты_п ты_{п + 1}

куда п маркирует п-й атом из общего количества N, а расстояние между атомами, когда цепочка находится в равновесии, и ты_п смещение п-й атом из положения равновесия.

Если C - упругая постоянная пружины и м масса атома, то уравнение движения пй атом

${ displaystyle -2Cu_ {n} + C left (u_ {n + 1} + u_ {n-1} right) = m { frac {d ^ {2} u_ {n}} {dt ^ {2 }}}.}$

Это набор связанных уравнений.

Поскольку ожидается, что решения будут колебательными, новые координаты определяются как дискретное преобразование Фурье, чтобы разъединить их.^[5]

Положить

${ displaystyle u_ {n} = sum _ {Nak / 2 pi = 1} ^ {N} Q_ {k} e ^ {ikna}.}$

Здесь, на соответствует и переходит к непрерывной переменной Икс скалярной теории поля. В Q_k известны как нормальные координаты, моды континуума поля φ_k.

Подстановка в уравнение движения дает следующее разделенные уравнения (это требует значительных манипуляций с использованием соотношений ортонормальности и полноты дискретного преобразования Фурье^[6],

${ displaystyle 2C ( cos {ka-1}) Q_ {k} = m { frac {d ^ {2} Q_ {k}} {dt ^ {2}}}.}$

Это уравнения для развязанных гармонические осцилляторы которые имеют решение

${ displaystyle Q_ {k} = A_ {k} e ^ {i omega _ {k} t}; qquad omega _ {k} = { sqrt {{ frac {2C} {m}} (1 - cos {ka})}}.}$

Каждая нормальная координата Q_k представляет собой независимую колебательную моду решетки с волновым числом k, который известен как нормальный режим.

Второе уравнение для ω_k, известен как соотношение дисперсии между угловая частота и волновое число.

В континуальном пределе а→0, N→ ∞, причем Na фиксируется, ты_п → φ(Икс), скалярное поле и ${ Displaystyle омега (к) пропто ка}$. Это классическая бесплатная скалярная теория поля, сборка независимых осцилляторов.

Квантовая обработка

Одномерная квантово-механическая гармоническая цепочка состоит из N одинаковые атомы. Это простейшая квантово-механическая модель решетки, которая позволяет фононам возникать из нее. Формализм этой модели легко обобщается для двух и трех измерений.

В отличие от предыдущего раздела, положения масс не обозначены ты_я, но вместо этого Икс₁, Икс₂…, Если измерять от их положений равновесия (т.е. Икс_я = 0, если частица я находится в положении равновесия.) В двух или более измерениях Икс_я - векторные величины. В Гамильтониан для этой системы

${ displaystyle { mathcal {H}} = sum _ {i = 1} ^ {N} { frac {p_ {i} ^ {2}} {2m}} + { frac {1} {2} } m omega ^ {2} sum _ { {ij } ( mathrm {nn})} left (x_ {i} -x_ {j} right) ^ {2}}$

куда м - масса каждого атома (при условии, что она одинакова для всех), и Икс_я и п_я положение и импульс операторов соответственно для яth атом, и сумма ведется по ближайшим соседям (nn). Однако можно ожидать, что в решетке также могут появиться волны, которые ведут себя как частицы. Принято иметь дело с волны в Пространство Фурье который использует нормальные режимы из волновой вектор как переменные вместо координат частиц. Количество нормальных мод такое же, как и количество частиц. Тем не менее Пространство Фурье очень полезно, учитывая периодичность системы.

Набор N "нормальные координаты" Q_k могут быть введены, определяемые как дискретные преобразования Фурье из Икс_k и N "сопряженные импульсы" Π_k определяется как преобразования Фурье п_k:

${ displaystyle { begin {align} Q_ {k} & = { frac {1} { sqrt {N}}} sum _ {l} e ^ {ikal} x_ {l} Pi _ { k} & = { frac {1} { sqrt {N}}} sum _ {l} e ^ {- ikal} p_ {l}. end {align}}}$

Количество k_п оказывается волновое число фонона, т.е. 2π разделенный на длина волны.

Этот выбор сохраняет желаемые коммутационные соотношения либо в реальном пространстве, либо в пространстве волновых векторов.

${ displaystyle { begin {align} left [x_ {l}, p_ {m} right] & = i hbar delta _ {l, m} left [Q_ {k}, Pi _ {k '} right] & = { frac {1} {N}} sum _ {l, m} e ^ {ikal} e ^ {- ik'am} left [x_ {l}, p_ { m} right] & = { frac {i hbar} {N}} sum _ {l} e ^ {ial left (k-k ' right)} = i hbar delta _ { k, k '} left [Q_ {k}, Q_ {k'} right] & = left [ Pi _ {k}, Pi _ {k '} right] = 0 end { выровнено}}}$

Из общего результата

${ displaystyle { begin {align} sum _ {l} x_ {l} x_ {l + m} & = { frac {1} {N}} sum _ {kk '} Q_ {k} Q_ { k '} sum _ {l} e ^ {ial left (k + k' right)} e ^ {iamk '} = sum _ {k} Q_ {k} Q _ {- k} e ^ {iamk } сумма _ {l} {p_ {l}} ^ {2} & = sum _ {k} Pi _ {k} Pi _ {- k} end {выравнивается}}}$

Термин потенциальной энергии

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} m omega ^ {2} sum _ {j} left (x_ {j} -x_ {j + 1} right) ^ {2} = { tfrac {1} {2}} m omega ^ {2} sum _ {k} Q_ {k} Q _ {- k} (2-e ^ {ika} -e ^ {- ika}) = { tfrac {1} {2}} sum _ {k} m { omega _ {k}} ^ {2} Q_ {k} Q _ {- k}}$

куда

${ displaystyle omega _ {k} = { sqrt {2 omega ^ {2} left (1- cos {ka} right)}} = 2 omega left | sin { frac {ka } {2}} right |}$

Гамильтониан можно записать в пространстве волновых векторов как

${ displaystyle { mathcal {H}} = { frac {1} {2m}} sum _ {k} left ( Pi _ {k} Pi _ {- k} + m ^ {2} омега _ {k} ^ {2} Q_ {k} Q _ {- k} right)}$

Связи между позиционными переменными были изменены; если Q и Π мы Эрмитский (а это не так), преобразованный гамильтониан описал бы N несвязанные гармонические осцилляторы.

Форма квантования зависит от выбора граничных условий; для простоты, периодический накладываются граничные условия, определяющие (N +1) -й атом эквивалентен первому атому. Физически это соответствует соединению цепочки на концах. Результирующее квантование

${ displaystyle k = k_ {n} = { frac {2 pi n} {Na}} quad { mbox {for}} n = 0, pm 1, pm 2, ldots pm { гидроразрыв {N} {2}}. }$

Верхняя граница п исходит от минимальной длины волны, которая в два раза больше шага решетки а, как обсуждалось выше.

Собственные значения гармонического осциллятора или уровни энергии для моды ω_k находятся:

${ displaystyle E_ {n} = left ({ tfrac {1} {2}} + n right) hbar omega _ {k} qquad n = 0,1,2,3 ldots}$

Уровни равномерно расположены:

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} hbar omega, { tfrac {3} {2}} hbar omega, { tfrac {5} {2}} hbar omega cdots}$

куда 1/2ħω это энергия нулевой точки из квантовый гармонический осциллятор.

An точный количество энергия ħω должна подаваться на решетку гармонического осциллятора, чтобы подтолкнуть ее к следующему уровню энергии. По сравнению с фотон случай, когда электромагнитное поле квантуется, квант колебательной энергии называется фононом.

Все квантовые системы одновременно проявляют волнообразные и корпускулярные свойства. Частично-подобные свойства фонона лучше всего понять, используя методы второе квантование и операторские методы, описанные ниже.^[7]

Трехмерная решетка

Это может быть обобщено на трехмерную решетку. Волновое число k заменяется трехмерным волновой вектор k. Кроме того, каждый k теперь связан с тремя нормальными координатами.

Новые индексы s = 1, 2, 3 обозначить поляризация фононов. В одномерной модели движение атомов ограничивалось движением вдоль линии, поэтому фононы соответствовали продольные волны. В трех измерениях вибрация не ограничивается направлением распространения и также может возникать в перпендикулярных плоскостях, например поперечные волны. Это приводит к появлению дополнительных нормальных координат, которые, как показывает форма гамильтониана, мы можем рассматривать как независимые разновидности фононов.

Отношение дисперсии

Кривые дисперсии в линейной двухатомной цепочке

Оптические и акустические колебания в линейной двухатомной цепочке.

Отношение дисперсии ω = ω(k) для некоторых волн, соответствующих колебаниям решетки в GaAs.^[8]

Для одномерного переменного массива двух типов иона или атома массы м₁, м₂ периодически повторяется на расстоянии а, соединенные пружинами пружинной постоянной K, возникают два режима вибрации:^[9]

${ displaystyle omega _ { pm} ^ {2} = K left ({ frac {1} {m_ {1}}} + { frac {1} {m_ {2}}} right) pm K { sqrt { left ({ frac {1} {m_ {1}}} + { frac {1} {m_ {2}}} right) ^ {2} - { frac {4 грех ^ {2} { frac {ka} {2}}} {m_ {1} m_ {2}}}}},}$

куда k - волновой вектор колебания, связанный с его длиной волны соотношением${ Displaystyle к = { tfrac {2 pi} { lambda}}}$.

Связь между частотой и волновым вектором, ω = ω(k), известна как соотношение дисперсии. Знак плюс приводит к так называемому оптический режим, а знак минус - на акустический режим. В оптическом режиме два соседних разных атома движутся друг против друга, а в акустическом - вместе.

Скорость распространения акустического фонона, которая также является скорость звука в решетке, задается наклоном уравнения акустической дисперсии, ∂ω_k/∂k (видеть групповая скорость.) При низких значениях k (т. е. длинные волны), дисперсионное соотношение почти линейно, а скорость звука приблизительно равна ωa, не зависящие от частоты фонона. В результате пакеты фононов с разными (но длинными) длинами волн могут распространяться на большие расстояния по решетке, не разрушаясь. Это причина того, что звук распространяется через твердые тела без значительных искажений. Такое поведение не работает при больших значениях k, то есть короткие длины волн из-за микроскопических деталей решетки.

Для кристалла, имеющего в своем составе не менее двух атомов примитивная клеткадисперсионные соотношения демонстрируют два типа фононов: оптические и акустические моды, соответствующие верхней синей и нижней красной кривой на диаграмме соответственно. По вертикальной оси отложена энергия или частота фонона, а по горизонтальной оси отложена волновой вектор. Границы по адресу -π/а и π/а те из первых Зона Бриллюэна.^[9] Кристалл с N ≥ 2 различных атома в примитивная клетка демонстрирует три акустических режима: один продольная акустическая мода и два поперечные акустические моды. Количество оптических режимов - 3N - 3. На нижнем рисунке показаны дисперсионные соотношения для нескольких фононных мод в GaAs как функция волнового вектора k в основные направления зоны Бриллюэна.^[8]

Многие кривые дисперсии фононов были измерены неупругое рассеяние нейтронов.

Физика звука в жидкости отличается от физики звука в твердых телах, хотя оба являются волнами плотности: звуковые волны в жидкостях имеют только продольные компоненты, тогда как звуковые волны в твердых телах имеют продольные и поперечные компоненты. Это потому, что жидкости не могут поддерживать напряжения сдвига (но см. вязкоупругий жидкости, которые применяются только к высоким частотам).

Интерпретация фононов с использованием методов вторичного квантования

Выведенный выше гамильтониан может выглядеть как классическая гамильтонова функция, но если его интерпретировать как оператор, то он описывает квантовая теория поля невзаимодействующих бозоны.^[2]В второе квантование техника, похожая на оператор лестницы метод, используемый для квантовые гармонические осцилляторы, является средством извлечения энергии собственные значения без прямого решения дифференциальных уравнений. Учитывая гамильтониан, ${ displaystyle { mathcal {H}}}$, а также сопряженная позиция, ${ displaystyle Q_ {k}}$, и сопряженный импульс ${ displaystyle Pi _ {k}}$ определенное в разделе квантовой обработки выше, мы можем определить операторы создания и уничтожения: ^[10]

${ displaystyle b_ {k} = { sqrt { frac {m omega _ {k}} {2 hbar}}} left (Q_ {k} + { frac {i} {m omega _ { k}}} Pi _ {- k} right)}$ и ${ displaystyle {b_ {k}} ^ { dagger} = { sqrt { frac {m omega _ {k}} {2 hbar}}} left (Q _ {- k} - { frac { i} {m omega _ {k}}} Pi _ {k} right)}$

Следующие коммутаторы легко получить, подставив в каноническое коммутационное соотношение:

${ displaystyle left [b_ {k}, {b_ {k '}} ^ { dagger} right] = delta _ {k, k'}, quad { Big [} b_ {k}, b_ {k '} { Big]} = left [{b_ {k}} ^ { dagger}, {b_ {k'}} ^ { dagger} right] = 0}$

Используя это, операторы б_k^† и б_k можно инвертировать, чтобы переопределить сопряженную позицию и импульс как:

${ displaystyle Q_ {k} = { sqrt { frac { hbar} {2m omega _ {k}}}} left ({b_ {k}} ^ { dagger} + b _ {- k} верно)}$ и ${ displaystyle Pi _ {k} = i { sqrt { frac { hbar m omega _ {k}} {2}}} left ({b_ {k}} ^ { dagger} -b_ { -k} right)}$

Прямая замена этих определений на ${ displaystyle Q_ {k}}$ и ${ displaystyle Pi _ {k}}$ в гамильтониан пространства волновых векторов, как он определен выше, а затем упрощение приводит к тому, что гамильтониан принимает вид:^[2]

${ displaystyle { mathcal {H}} = sum _ {k} hbar omega _ {k} left ({b_ {k}} ^ { dagger} b_ {k} + { tfrac {1}) {2}} right)}$

Это известно как метод второго квантования, также известный как формулировка числа заполнения, где п_k = б_k^†б_k это номер занятия. Можно увидеть, что это сумма N независимых гамильтонианов осциллятора, каждый из которых имеет уникальный волновой вектор и совместим с методами, используемыми для квантового гармонического осциллятора (обратите внимание, что п_k является эрмитский).^[10]. Когда гамильтониан можно записать как сумму коммутирующих субгамильтонианов, собственные состояния энергии будут заданы произведениями собственных состояний каждого из отдельных субгамильтонианов. Соответствующие энергия спектр тогда дается суммой индивидуальных собственных значений субгамильтонианов.^[10]

Как и в случае квантового гармонического осциллятора, можно показать, что б_k^† и б_k соответственно создают и разрушают одиночное возбуждение поля, фонон, с энергией ħω_k.^[10][2]

С помощью этого метода можно вывести три важных свойства фононов. Во-первых, фононы бозоны, поскольку любое количество идентичных возбуждений может быть создано повторным применением оператора создания б_k^†. Во-вторых, каждый фонон - это «коллективная мода», вызванная движением каждого атома в решетке. Это можно увидеть из того факта, что операторы создания и уничтожения, определенные здесь в пространстве импульсов, содержат суммы по операторам положения и импульса каждого атома, когда они записаны в пространстве позиций (см. позиция и импульсное пространство). ^[10] Наконец, используя позиция – позиция корреляционная функция, можно показать, что фононы действуют как волны смещения решетки.^{[нужна цитата]}

Этот метод легко обобщается на три измерения, где гамильтониан принимает вид: ^[10][2]

${ displaystyle { mathcal {H}} = sum _ {k} sum _ {s = 1} ^ {3} hbar , omega _ {k, s} left ({b_ {k, s }} ^ { dagger} b_ {k, s} + { tfrac {1} {2}} right).}$

Что можно интерпретировать как сумму 3N независимых гамильтонианов осцилляторов, по одному для каждого волнового вектора и поляризации.^[10]

Акустические и оптические фононы

Твердые тела с более чем одним атомом в наименьшем ячейка проявляют два типа фононов: акустические фононы и оптические фононы.

Акустические фононы представляют собой когерентные движения атомов решетки из их положений равновесия. Если смещение происходит в направлении распространения, то в одних областях атомы будут ближе, в других - дальше друг от друга, как в звуковой волне в воздухе (отсюда и название акустической). Смещение перпендикулярно направлению распространения сравнимо с волнами на струне. Если длина волны акустических фононов стремится к бесконечности, это соответствует простому смещению всего кристалла и требует нулевой энергии деформации. Акустические фононы демонстрируют линейную зависимость между частотой и волновым вектором фонона для длинных волн. Частоты акустических фононов стремятся к нулю с увеличением длины волны. Продольные и поперечные акустические фононы часто обозначаются сокращенно как LA и TA фононы соответственно.

Оптические фононы - противофазные движения атомов в решетке: один атом движется влево, а его сосед - вправо. Это происходит, если основа решетки состоит из двух и более атомов. Они называются оптический потому что в ионных кристаллах, таких как хлорид натрия, колебания смещения создают электрическую поляризацию, которая взаимодействует с электромагнитным полем.^[2] Следовательно, они могут быть возбуждены инфракрасная радиацияэлектрическое поле света будет перемещать каждый положительный ион натрия в направлении поля и каждый отрицательный ион хлорида в другом направлении, заставляя кристалл вибрировать.

Оптические фононы имеют ненулевую частоту на Зона Бриллюэна центр и не показывают дисперсии вблизи этого длинноволнового предела. Это потому, что они соответствуют режиму вибрации, когда положительные и отрицательные ионы в соседних узлах решетки качаются друг против друга, создавая изменяющийся во времени электрический дипольный момент. Оптические фононы, которые таким образом взаимодействуют со светом, называются инфракрасный активный. Оптические фононы, которые Раман активен может также косвенно взаимодействовать со светом через Рамановское рассеяние. Оптические фононы часто обозначают аббревиатурой LO и TO фононы для продольной и поперечной мод соответственно; расщепление между частотами LO и TO часто точно описывается Соотношение Лиддана – Сакса – Теллера..

При экспериментальном измерении энергии оптических фононов частоты оптических фононов иногда задают в спектроскопической форме. волновое число обозначение, где символ ω представляет обычную частоту (не угловую частоту) и выражается в единицах см⁻¹. Значение получается делением частоты на скорость света в вакууме. Другими словами, волновое число в см⁻¹ единиц соответствует инверсии длина волны из фотон в вакууме, который имеет ту же частоту, что и измеренный фонон.^[11]

Кристаллический импульс

k-векторы, превышающие первую зону Бриллюэна (красный цвет), не несут больше информации, чем их аналоги (черный цвет) в первой зоне Бриллюэна.

По аналогии с фотоны и волны материи, фононы обрабатывались волновым вектором k как будто у него есть импульс ħk,^[12] однако это не совсем правильно, потому что ħk на самом деле это не физический импульс; это называется импульс кристалла или же псевдомоментум. Это потому что k определяется только с точностью до добавления постоянных векторов ( векторы обратной решетки и их целые кратные). Например, в одномерной модели нормальные координаты Q и Π определены так, что

${ displaystyle Q_ {k} { stackrel { mathrm {def}} {=}} Q_ {k + K}; quad Pi _ {k} { stackrel { mathrm {def}} {=}} Pi _ {k + K}}$

куда

${ Displaystyle К = { гидроразрыва {2n pi} {а}}}$

для любого целого п. Фонон с волновым числом k Таким образом, эквивалентно бесконечному семейству фононов с волновыми числами k ± 2π/а, k ± 4π/а, и так далее. Физически векторы обратной решетки действуют как дополнительные порции импульса, которые решетка может передавать фонону. Блоховские электроны подчиняться аналогичному набору ограничений.

Зоны Бриллюэна, (а) в квадратной решетке, (б) в гексагональной решетке

Фононные волновые векторы обычно удобно рассматривать k которые имеют наименьшую величину |k| в их «семье». Набор всех таких волновых векторов определяет первый Зона Бриллюэна. Дополнительные зоны Бриллюэна могут быть определены как копии первой зоны, сдвинутые на некоторый вектор обратной решетки.

Термодинамика

В термодинамический свойства твердого тела напрямую связаны с его фононной структурой. Весь набор всех возможных фононов, описываемых уравнениями дисперсии фононов, объединяется в так называемый фононный плотность состояний что определяет теплоемкость кристалла. По характеру этого распределения в теплоемкости преобладает высокочастотная часть распределения, тогда как теплопроводность в первую очередь является результатом низкочастотной области.^{[нужна цитата]}

В абсолютный ноль температуры кристаллическая решетка лежит в своей основное состояние, и не содержит фононов. Решетка в ненулевом температура имеет энергию, которая не постоянна, но колеблется случайно о некоторых среднее значение. Эти флуктуации энергии вызваны случайными колебаниями решетки, которую можно рассматривать как газ фононов. Поскольку эти фононы генерируются температурой решетки, их иногда называют тепловыми фононами.^[13]

Тепловые фононы могут создаваться и разрушаться случайными колебаниями энергии. На языке статистической механики это означает, что химический потенциал добавления фонона равен нулю.^[13] Такое поведение является продолжением гармонического потенциала в ангармонический режим. Поведение тепловых фононов аналогично поведению фотонный газ произведенный электромагнитная полость, при этом фотоны могут излучаться или поглощаться стенками полости. Это сходство не случайно, поскольку оказывается, что электромагнитное поле ведет себя как набор гармонических осцилляторов, вызывая Излучение черного тела. Оба газа подчиняются Статистика Бозе – Эйнштейна: в тепловом равновесии и в гармоническом режиме вероятность обнаружения фононов или фотонов в данном состоянии с заданной угловой частотой равна:^[14]

${ displaystyle n left ( omega _ {k, s} right) = { frac {1} { exp left ({ dfrac { hbar omega _ {k, s}} {k _ { mathrm {B}} T}} right) -1}}}$

куда ω_k,s - частота фононов (или фотонов) в состоянии, k_B это Постоянная Больцмана, и Т это температура.

Фононное туннелирование

Фононы показали, что Квантовое туннелирование поведение (или фононное туннелирование), где через зазоры шириной до нанометра тепло может течь через фононы, которые «туннелируют» между двумя материалами.^[15] Этот тип теплопередачи работает на расстояниях, слишком больших для проводимость произойти, но слишком мало для радиация произойти и, следовательно, не может быть объяснено классическим теплопередача модели.^[15]

Операторный формализм

Фононный гамильтониан определяется выражением

${ displaystyle { mathcal {H}} = { tfrac {1} {2}} sum _ { alpha} left (p _ { alpha} ^ {2} + omega _ { alpha} ^ { 2} q _ { alpha} ^ {2} - hbar omega _ { alpha} right)}$

Что касается операторы создания и уничтожения, они даются

${ displaystyle { mathcal {H}} = sum _ { alpha} hbar omega _ { alpha} {a _ { alpha}} ^ { dagger} a _ { alpha}}$

Здесь, выражая Гамильтониан в операторном формализме мы не учли 1/2ħω_q срок как, учитывая континуум или же бесконечная решетка, то 1/2ħω_q условия складываются, давая бесконечный срок. Следовательно, это "перенормированный"путем установки коэффициента 1/2ħω_q до 0, утверждая, что мы измеряем разницу в энергии, а не ее абсолютное значение. Следовательно 1/2ħω_q фактор отсутствует в операторно формализованном выражении для Гамильтониан.

Основное состояние, также называемое "состояние вакуума", является состоянием, не состоящим из фононов. Следовательно, энергия основного состояния равна 0. Когда система находится в состоянии |п₁п₂п₃…⟩мы говорим, что есть п_α фононы типа α, куда п_α - число заполнения фононов. Энергия одиночного фонона типа α дан кем-то ħω_q а полная энергия общей фононной системы определяется выражением п₁ħω₁ + п₂ħω₂ +…. Поскольку нет перекрестных терминов (например, п₁ħω₂), фононы называются невзаимодействующими. Действие операторов создания и уничтожения задается:

${ displaystyle {a _ { alpha}} ^ { dagger} { Big |} n_ {1} ldots n _ { alpha -1} n _ { alpha} n _ { alpha +1} ldots { Big rangle} = { sqrt {n _ { alpha} +1}} { Big |} n_ {1} ldots, n _ { alpha -1}, (n _ { alpha} +1), n ​​_ { альфа +1} ldots { Big rangle}}$

и,

${ displaystyle a _ { alpha} { Big |} n_ {1} ldots n _ { alpha -1} n _ { alpha} n _ { alpha +1} ldots { Big rangle} = { sqrt {n _ { alpha}}} { Big |} n_ {1} ldots, n _ { alpha -1}, (n _ { alpha} -1), n ​​_ { alpha +1}, ldots { Большой rangle}}$

Оператор создания, а_α^† создает фонон типа α пока а_α уничтожает одного. Следовательно, они являются операторами рождения и уничтожения фононов соответственно. Аналогично квантовый гармонический осциллятор случае, мы можем определить оператор числа частиц в качестве

${ displaystyle N = sum _ { alpha} {a _ { alpha}} ^ { dagger} a _ { alpha}.}$

Числовой оператор коммутирует со строкой произведений операторов создания и уничтожения тогда и только тогда, когда количество операторов создания равно количеству операторов уничтожения.

Как можно показать, фононы симметричны относительно обмена (т.е. |α,β⟩ = |β,α⟩), они считаются бозоны.^[16]

Нелинейность

А также фотоны, фононы могут взаимодействовать через параметрическое понижающее преобразование^[17] и форма сжатые когерентные состояния.^[18]

Прогнозируемые свойства

Недавние исследования показали, что фононы и ротоны могут иметь значительную массу и подвергаться действию гравитации, как и стандартные частицы.^[19] В частности, предсказывается, что фононы обладают своего рода отрицательная масса и отрицательная гравитация.^[20] Это можно объяснить тем, что фононы, как известно, перемещаются быстрее в более плотных материалах. Поскольку часть материала, направленная к источнику гравитации, находится ближе к объекту, он становится более плотным на этом конце. Исходя из этого, предполагается, что фононы будут отклоняться, поскольку он обнаруживает разницу в плотностях, проявляя качества отрицательного гравитационного поля.^[21] Хотя эффект будет слишком мал для измерения, возможно, что будущее оборудование может привести к успешным результатам.

Фононы также были предсказаны, чтобы играть ключевую роль в сверхпроводимость в материалах и предсказании сверхпроводящих соединений.^[22]

В 2019 году исследователям впервые удалось выделить отдельные фононы, не уничтожая их.^[23]

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

Викискладе есть медиафайлы по теме Lattice vibrations.

• Котировки, связанные с Phonon в Викицитатнике
• Explained: Phonons, MIT News, 2010.
• Optical and acoustic modes
• Phonons in a One Dimensional Microfluidic Crystal [1] и [2] with movies in [3].