WikiDer > Теорема Планшереля для сферических функций

В математика, то Теорема Планшереля для сферических функций важный результат в теория представлений из полупростые группы Ли, в окончательном виде Хариш-Чандра. Это естественное обобщение в некоммутативный гармонический анализ из Формула планшереля и Формула обращения Фурье в теории представлений группы действительных чисел в классических гармонический анализ и имеет столь же тесную взаимосвязь с теорией дифференциальные уравнения.Это особый случай для зональные сферические функции генерального Теорема Планшереля для полупростых групп Ли, также доказано Хариш-Чандрой. Теорема Планшереля дает разложение по собственным функциям радиальных функций для Оператор лапласа на связанных симметричное пространство Икс; это также дает прямое интегральное разложение в неприводимые представления из регулярное представительство на L²(Икс). На случай, еслигиперболическое пространствоэти разложения были известны из предыдущие результаты Мелера, Weyl и Фок.

Основным источником почти всего этого материала является энциклопедический текст Хельгасон (1984).

История

Первые версии абстрактной формулы Планшереля для преобразования Фурье на унимодулярный локально компактная группа грамм были связаны с Сигалом и Маутнером.^[1] Примерно в то же время Хариш-Чандра^[2][3] и Гельфанд и Наймарк^[4][5] вывел явную формулу для SL (2, R) и сложный полупростые группы Ли, так, в частности Группы Лоренца. Более простая абстрактная формула была выведена Маутнером для «топологического» симметричного пространства. грамм/K соответствующий максимальная компактная подгруппа K. Годемент дал более конкретную и удовлетворительную форму для положительно определенный сферические функции, класс специальные функции на грамм/K. С тех пор как грамм это полупростая группа Ли эти сферические функции φ_λ естественно помечены параметром λ в частном Евклидово пространство действием конечная группа отражений, центральной проблемой стало точное определение Планшерель мера с точки зрения этой параметризации. Обобщая идеи Герман Вейль от спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений, Хариш-Чандра^[6][7] представил свой знаменитый c-функция c(λ) для описания асимптотики сферических функций φ_λ и предложил c(λ)⁻² dλ как мера Планшереля. Он проверил эту формулу для частных случаев, когда грамм сложный или настоящий ранг один, таким образом, в частности, охватывающий случай, когда грамм/K это гиперболическое пространство. Общий случай свелся к двум гипотезам о свойствах c-функции и так называемого сферического преобразования Фурье. Явные формулы для c-функции были позже получены Бхану-Мурти для большого класса классических полупростых групп Ли. В свою очередь, эти формулы побудили Гиндикина и Карпелевича вывести формулу продукта^[8] для c-функции, сводя вычисление к формуле Хариш-Чандры для случая ранга 1. Их работа, наконец, позволила Хариш-Чандре завершить доказательство теоремы Планшереля для сферических функций в 1966 году.^[9]

Во многих частных случаях, например для сложных полупростых групп или групп Лоренца, существуют простые методы непосредственного развития теории. Некоторые подгруппы этих групп можно рассматривать с помощью методов, обобщающих хорошо известное "способ спуска" из-за Жак Адамар. Особенно Фленстед-Йенсен (1978) дал общий метод вывода свойств сферического преобразования для вещественной полупростой группы из свойств ее комплексификации.

Одним из основных приложений и мотивов сферического преобразования было Формула следа Сельберга. Классический Формула суммирования Пуассона объединяет формулу обращения Фурье на векторной группе с суммированием по кокомпактной решетке. В аналоге этой формулы Сельберга векторная группа заменяется на грамм/K, преобразование Фурье сферическим преобразованием и решетка кокомпактной (или кофинитной) дискретной подгруппой. Оригинальная статья Сельберг (1956) неявно вызывает сферическое преобразование; это было Годеман (1957) которые выдвинули преобразование на первый план, дав, в частности, элементарное рассмотрение SL (2,р) по линиям, начерченным Сельбергом.

Сферические функции

Позволять грамм быть полупростой Группа Ли и K а максимальная компактная подгруппа из грамм. В Алгебра Гекке C_c(K грамм/K), состоящий из компактно опорных K-биинвариантные непрерывные функции на грамм, действует сверткой на Гильбертово пространство ЧАС=L²(грамм / K). Потому что грамм / K это симметричное пространство, эта * -алгебра коммутативный. Замыкание его (алгебры Гекке) образа в операторной норме является неунитальным коммутативным C * алгебра ${displaystyle {mathfrak {A}}}$, так что Изоморфизм Гельфанда можно отождествить с непрерывными функциями, исчезающими на бесконечности на его спектр Икс.^[10] Точки в спектре задаются непрерывными * -гомоморфизмами ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ в C, т.е. символы из ${displaystyle {mathfrak {A}}}$.

Если S ' обозначает коммутант набора операторов S на ЧАС, тогда ${displaystyle {mathfrak {A}} ^ {prime}}$ можно отождествить с коммутантом регулярное представительство из грамм на ЧАС. Сейчас же ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ оставляет неизменным подпространство ЧАС₀ из K-инвариантные векторы в ЧАС. Кроме того, абелева алгебра фон Неймана он генерируется на ЧАС₀ максимально абелева. К спектральная теория, существует принципиально уникальный^[11] мера μ на локально компактный Космос Икс и унитарное преобразование U между ЧАС₀ и L²(Икс, μ), который переносит операторы из ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ на соответствующий операторы умножения.

Преобразование U называется сферическое преобразование Фурье а иногда просто сферическое преобразование а μ называется Планшерель мера. Гильбертово пространство ЧАС₀ можно отождествить с L²(Kграмм/K), пространство K-биинвариантные квадратично интегрируемые функции на грамм.

Персонажи χ_λ из ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ (т.е. точки Икс) можно описать как положительно определенный сферические функции φ_λ на грамм, по формуле

${displaystyle chi _ {lambda} (pi (f)) = int _ {G} f (g) cdot varphi _ {lambda} (g), dg.}$

за ж в C_c(Kграмм/K), где π (ж) обозначает оператор свертки в ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ а интеграл по Мера Хаара на грамм.

Сферические функции φ_λ на грамм даны Формула Хариш-Чандры:

${displaystyle varphi _ {lambda} (g) = int _ {K} lambda ^ {prime} (gk) ^ {- 1}, dk.}$

В этой формуле:

• интеграл по мере Хаара на K;
• λ - элемент А* = Hom (А,Т) где А - абелева векторная подгруппа в Разложение Ивасавы грамм =KAN из грамм;
• λ 'определено на грамм продолжив сначала λ до персонаж из разрешимая подгруппа AN, используя гомоморфизм групп на А, а затем установив

${displaystyle lambda ^ {prime} (kx) = Delta _ {AN} (x) ^ {1/2} lambda (x)}$

за k в K и Икс в AN, где Δ_AN это модульная функция из AN.

• Два разных символа λ₁ и λ₂ дают ту же сферическую функцию тогда и только тогда, когда λ₁ = λ₂·s, куда s находится в Группа Вейля из А

${displaystyle W = N_ {K} (A) / C_ {K} (A),}$

частное от нормализатор из А в K своим централизатор, а конечная группа отражений.

Следует, что

• Икс можно отождествить с факторпространством А*/W.

Сферическая основная серия

Сферическая функция φ_λ можно отождествить с матричным коэффициентом сферическая основная серия из грамм. Если M это централизатор из А в K, это определяется как унитарное представление π_λ из грамм индуцированный по характеру B = ЧЕЛОВЕК заданный композицией гомоморфизма ЧЕЛОВЕК на А и характер λ. Индуцированное представление определено на функциях ж на грамм с

${displaystyle f (gb) = Delta (b) ^ {1/2} lambda (b) f (g)}$

за б в B к

${displaystyle pi (g) f (x) = f (g ^ {- 1} x),}$

куда

${displaystyle | f | ^ {2} = int _ {K} | f (k) | ^ {2}, dk$

Функции ж можно отождествить с функциями из L²(K / M) и

${displaystyle chi _ {lambda} (g) = (pi (g) 1,1).}$

В качестве Костант (1969) Доказано, что представления сферической главной серии неприводимы и два представления π_λ и π_μ унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда μ = σ (λ) для некоторого σ из группы Вейля А.

Пример: SL (2, C)

Группа грамм = SL (2,C) действует транзитивно на кватернионный верхнее полупространство

${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {3} = {x + yi + tj | t> 0}}$

к Преобразования Мебиуса. Комплексная матрица

${displaystyle g = {egin {pmatrix} a & b c & dend {pmatrix}}}$

выступает в качестве

${displaystyle g (w) = (aw + b) (cw + d) ^ {- 1}.}$

Стабилизатор точки j - максимальная компактная подгруппа K = SU (2), так что ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {3} = G / K.}$ Он несет грамм-инвариантный Риманова метрика

${displaystyle ds ^ {2} = r ^ {- 2} (dx ^ {2} + dy ^ {2} + dr ^ {2})}$

со связанным элементом объема

${displaystyle dV = r ^ {- 3}, dx, dy, dr}$

и Оператор лапласа

${displaystyle Delta = -r ^ {2} (частично _ {x} ^ {2} + частично _ {y} ^ {2} + частично _ {r} ^ {2}) + rpartial _ {r}.}$

Каждая точка в ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {3}}$ можно записать как k(е^тj) с k в SU (2) и т определяется до знака. Лапласиан имеет следующий вид на функциях, инвариантных относительно SU (2), рассматриваемых как функции действительного параметра т:

${displaystyle Delta = -partial _ {t} ^ {2} -2coth tpartial _ {t}.}$

Интеграл от SU (2) -инвариантной функции дается выражением

${displaystyle int f, dV = int _ {- infty} ^ {infty} f (t), sinh ^ {2} t, dt.}$

Отождествляя суммируемые с квадратом SU (2) -инвариантные функции с L²(р) унитарным преобразованием Uf(т) = ж(т) sinh т, Δ преобразуется в оператор

${displaystyle U ^ {*} Дельта U = - {d ^ {2} над dt ^ {2}} + 1.}$

Посредством Теорема Планшереля и Формула обращения Фурье за р, любая SU (2) -инвариантная функция ж можно выразить через сферические функции

${displaystyle Phi _ {lambda} (t) = {sin lambda t over lambda sinh t},}$

сферическим преобразованием

${displaystyle {ilde {f}} (лямбда) = int fPhi _ {- лямбда}, dV}$

и формула сферического обращения

${displaystyle f (x) = int {ilde {f}} (lambda) Phi _ {lambda} (x) lambda ^ {2}, dlambda.}$

Принимая ${displaystyle f = f_ {2} ^ {*} звезда f_ {1}}$ с ж_я в C_c(грамм / K) и ${displaystyle f ^ {*} (g) = {overline {f (g ^ {- 1})}}}$, и оценка на я дает Формула планшереля

${displaystyle int _ {G} f_ {1} {overline {f_ {2}}}, dg = int {ilde {f}} _ {1} (лямбда) {overline {{ilde {f}} _ {2} (лямбда)}}, лямбда ^ {2}, лямбда.}$

Для биинвариантных функций это устанавливает Теорема Планшереля для сферических функций: карта

${displaystyle {egin {case} U: L ^ {2} (K ackslash G / K) o L ^ {2} (mathbb {R}, lambda ^ {2}, dlambda) flongmapsto {ilde {f}} конец {случаи}}}$

унитарен и отправляет оператор свертки, определенный как ${displaystyle fin L ^ {1} (K ackslash G / K)}$ в оператор умножения, определенный как ${displaystyle {ilde {f}}}$.

Сферическая функция Φ_λ является собственная функция лапласиана:

${displaystyle Delta Phi _ {lambda} = (lambda ^ {2} +1) Phi _ {lambda}.}$

Функции Шварца на р являются сферическими преобразованиями функций ж принадлежащий пространству Хариш-Чандры Шварца

${displaystyle {mathcal {S}} = left {fleft | sup _ {t} left | (1 + t ^ {2}) ^ {N} (I + Delta) ^ {M} f (t) sinh (t) ight |$

Посредством Теорема Пэли-Винера, сферические преобразования гладких SU (2) -инвариантных функций от компактная опора точно работают на р которые являются ограничениями голоморфные функции на C удовлетворяющие условию экспоненциального роста

${displaystyle | F (лямбда) | leq Ce ^ {R | {m {Im}} лямбда |}.}$

Как функция на грамм, Φ_λ - матричный коэффициент сферического главного ряда, определенного на L²(C), куда C отождествляется с границей ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {3}}$. Представление дается формулой

${displaystyle pi _ {lambda} (g ^ {- 1}) xi (z) = | cz + d | ^ {- 2-ilambda} xi (g (z)).}$

Функция

${displaystyle xi _ {0} (z) = pi ^ {- 1} влево (1+ | z | ^ {2} ight) ^ {- 2}}$

фиксируется SU (2) и

${displaystyle Phi _ {lambda} (g) = (pi _ {lambda} (g) xi _ {0}, xi _ {0}).}$

Представления π_λ неприводимы и унитарно эквивалентны только при изменении знака λ. Карта W из ${displaystyle L ^ {2} ({mathfrak {H}} ^ {3})}$ на L²([0, ∞) xC) (с мерой λ² dλ от первого множителя)

${displaystyle Wf (lambda, z) = int _ {G / K} f (g) pi _ {lambda} (g) xi _ {0} (z), dg}$

унитарен и дает разложение ${displaystyle L ^ {2} ({mathfrak {H}} ^ {3})}$ как прямой интеграл сферической основной серии.

Пример: SL (2, R)

Группа грамм = SL (2,р) действует транзитивно на верхней полуплоскости Пуанкаре

${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2} = {x + ri | r> 0}}$

к Преобразования Мебиуса. Комплексная матрица

${displaystyle g = {egin {pmatrix} a & b c & dend {pmatrix}}}$

выступает в качестве

${displaystyle g (w) = (aw + b) (cw + d) ^ {- 1}.}$

Стабилизатор точки я - максимальная компактная подгруппа K = SO (2), так что ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$ = грамм / K.Он несет грамм-инвариантный Риманова метрика

${displaystyle ds ^ {2} = r ^ {- 2} (dx ^ {2} + dr ^ {2})}$

со связанным элементом области

${displaystyle dA = r ^ {- 2}, dx, dr}$

и Оператор лапласа

${displaystyle Delta = -r ^ {2} (частично _ {x} ^ {2} + частично _ {r} ^ {2}).}$

Каждая точка в ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$ можно записать как k( е^т я ) с k в SO (2) и т определяется до знака. Лапласиан имеет следующий вид на функциях, инвариантных относительно SO (2), рассматриваемых как функции действительного параметра т:

${displaystyle Delta = -partial _ {t} ^ {2} -coth tpartial _ {t}.}$

Интеграл от SO (2) -инвариантной функции дается выражением

${displaystyle int f, dA = int _ {- infty} ^ {infty} f (t), | sinh t |, dt.}$

Существует несколько методов вывода соответствующего разложения по собственным функциям для этого обыкновенного дифференциального уравнения, включая:

1. классический спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений применяется к гипергеометрическое уравнение (Мелер, Вейль, Фок);
2. варианты метода спуска Адамара, реализующие 2-мерное гиперболическое пространство как фактор 3-мерного гиперболического пространства по свободному действию 1-параметрической подгруппы в SL (2,C);
3. Интегральное уравнение Абеля по Сельбергу и Годеману;
4. орбитальные интегралы (Хариш-Чандра, Гельфанд и Наймарк).

Второй и третий методы будут описаны ниже с двумя разными методами спуска: классический метод Адамара, знакомый по трактовкам уравнения теплопроводности.^[12] и волновое уравнение^[13] на гиперболическом пространстве; и метод Фленстеда-Йенсена на гиперболоиде.

Метод спуска Адамара

Если ж(Икс,р) - функция на ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$ и

${displaystyle M_ {1} f (x, y, r) = r ^ {1/2} cdot f (x, r)}$

тогда

${displaystyle Delta _ {3} M_ {1} f = M_ {1} left (Delta _ {2} + {frac {3} {4}} ight) f,}$

где Δ_п является лапласианом на ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {n}}$.

Поскольку действие SL (2,C) коммутирует с Δ₃, Оператор M₀ на S0 (2) -инвариантных функциях, полученных усреднением M₁ж по действию SU (2) также удовлетворяет

${displaystyle Delta _ {3} M_ {0} = M_ {0} left (Delta _ {2} + {frac {3} {4}} ight).}$

Сопряженный оператор M₁* определяется

${displaystyle M_ {1} ^ {*} F (x, r) = r ^ {1/2} int _ {- infty} ^ {infty} F (x, y, r), dy}$

удовлетворяет

${displaystyle int _ {{mathfrak {H}} ^ {3}} (M_ {1} f) cdot F, dV = int _ {{mathfrak {H}} ^ {2}} fcdot (M_ {1} ^ { *} F), dA.}$

Смежный M₀*, определяется усреднением M*ж над SO (2) удовлетворяет

${displaystyle int _ {{mathfrak {H}} ^ {3}} (M_ {0} f) cdot F, dV = int _ {{mathfrak {H}} ^ {2}} fcdot (M_ {0} ^ { *} F), dA}$

для SU (2) -инвариантных функций F и SO (2) -инвариантные функции ж. Следует, что

${displaystyle M_ {i} ^ {*} Delta _ {3} = left (Delta _ {2} + {frac {3} {4}} ight) M_ {i} ^ {*}.}$

Функция

${displaystyle f_ {lambda} = M_ {1} ^ {*} Phi _ {lambda}}$

SO (2) -инвариантно и удовлетворяет

${displaystyle Delta _ {2} f_ {lambda} = left (lambda ^ {2} + {frac {1} {4}} ight) f_ {lambda}.}$

С другой стороны,

${displaystyle b (lambda) = f_ {lambda} (i) = int {sin lambda t over lambda sinh t}, dt = {pi over lambda} anh {pi lambda over 2},}$

так как интеграл можно вычислить, интегрировав ${displaystyle e ^ {ilambda t} / sinh t}$ вокруг прямоугольного контура с отступом с вершинами в ±р и ±р + πi. Таким образом, собственная функция

${displaystyle phi _ {lambda} = b (lambda) ^ {- 1} M_ {1} Phi _ {lambda}}$

удовлетворяет условию нормировки φ_λ(я) = 1. Такое решение может быть только одно, либо потому, что Вронскиан обыкновенного дифференциального уравнения должно исчезнуть или разложиться в степенной ряд по sinh р.^[14] Следует, что

${displaystyle varphi _ {lambda} (e ^ {t} i) = {1 больше 2pi} int _ {0} ^ {2pi} (cosh t-sinh tcos heta) ^ {- 1-ilambda}, d heta.}$

Аналогично следует, что

${displaystyle Phi _ {lambda} = M_ {1} phi _ {lambda}.}$

Если сферическое преобразование SO (2) -инвариантной функции на ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$ определяется

${displaystyle {ilde {f}} (lambda) = int fvarphi _ {- lambda}, dA,}$

тогда

${displaystyle {(M_ {1} ^ {*} F)} ^ {sim} (лямбда) = {ilde {F}} (лямбда).}$

Принимая ж=M₁*F, SL (2,C) формула обращения для F немедленно дает

${displaystyle f (x) = int _ {- infty} ^ {infty} varphi _ {lambda} (x) {ilde {f}} (lambda) {lambda pi over 2} anh left ({pi lambda over 2} ight ), лямбда,}$

формула сферического обращения для SO (2) -инвариантных функций на ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$.

Что касается SL (2,C), отсюда сразу следует формула Планшереля для ж_я в C_c(SL (2,р) / SO (2)):

${displaystyle int _ {{mathfrak {H}} ^ {2}} f_ {1} {overline {f_ {2}}}, dA = int _ {- infty} ^ {infty} {ilde {f}} _ { 1} {overline {ilde {f_ {2}}}} {lambda pi over 2} anh left ({pi lambda over 2} ight), dlambda.}$

Сферическая функция φ_λ является собственная функция лапласиана:

${displaystyle Delta _ {2} varphi _ {lambda} = left (lambda ^ {2} + {frac {1} {4}} ight) varphi _ {lambda}.}$

Функции Шварца на р являются сферическими преобразованиями функций ж принадлежащий пространству Хариш-Чандры Шварца

${displaystyle {mathcal {S}} = left {fleft | sup _ {t} left | (1 + t ^ {2}) ^ {N} (I + Delta) ^ {M} f (t) varphi _ {0 } (t) ight |$

Сферические преобразования гладких SO (2) -инвариантных функций от компактная опора в точности функции на р которые являются ограничениями голоморфные функции на C удовлетворяющие условию экспоненциального роста

${displaystyle | F (lambda) | leq Ce ^ {R | Im lambda |}.}.$

Оба этих результата могут быть выведены путем спуска из соответствующих результатов для SL (2,C),^[15] путем непосредственной проверки того, что сферическое преобразование удовлетворяет заданным условиям роста^[16][17] а затем используя соотношение ${displaystyle (M_ {1} ^ {*} F) ^ {sim} = {ilde {F}}}$.

Как функция на грамм, φ_λ - матричный коэффициент сферического главного ряда, определенного на L²(р), куда р отождествляется с границей ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$. Представление дается формулой

${displaystyle pi _ {lambda} (g ^ {- 1}) xi (x) = | cx + d | ^ {- 1-ilambda} xi (g (x)).}$

Функция

${displaystyle xi _ {0} (x) = pi ^ {- 1} (1+ | x | ^ {2}) ^ {- 1}}$

фиксируется SO (2) и

${displaystyle Phi _ {lambda} (g) = (pi _ {lambda} (g) xi _ {0}, xi _ {0}).}$

Представления π_λ неприводимы и унитарно эквивалентны только при изменении знака λ. Карта ${displaystyle W: L ^ {2} ({mathfrak {H}} ^ {2}) o L ^ {2} ([0, infty) imes mathbf {R})}$ с мерой ${displaystyle {frac {lambda pi} {2}} anh left ({frac {pi lambda} {2}} ight), dlambda}$ по первому множителю дается формулой

${displaystyle Wf (lambda, x) = int _ {G / K} f (g) pi _ {lambda} (g) xi _ {0} (x), dg}$

унитарен и дает разложение ${displaystyle L ^ {2} ({mathfrak {H}} ^ {2})}$ как прямой интеграл сферической основной серии.

Метод спуска Фленстеда-Дженсена

Метод спуска Адамара опирался на функции, инвариантные относительно действия однопараметрической подгруппы трансляций в у параметр в ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {3}}$. В методе Фленстеда – Йенсена используется централизатор SO (2) в SL (2,C), которая распадается как прямое произведение SO (2) и 1-параметрической подгруппы K₁ матриц

${displaystyle g_ {t} = {egin {pmatrix} cosh t & isinh t -isinh t & coshtend {pmatrix}}.}$

Симметричное пространство SL (2,C) / SU (2) можно отождествить с пространством ЧАС³ положительных матриц 2 × 2 А с определителем 1

${displaystyle A = {egin {pmatrix} a + b & x + iy x-iy & a-bend {pmatrix}}}$

с групповым действием, заданным

${displaystyle gcdot A = gAg ^ {*}.,}$

Таким образом

${displaystyle g_ {t} cdot A = {egin {pmatrix} acosh 2t + ysinh 2t + b & x + i (ycosh 2t + asinh 2t) xi (ycosh 2t + asinh 2t) & acosh 2t + ysinh 2t-bend {pmatrix}} .}$

Итак, о гиперболоид ${displaystyle a ^ {2} = 1 + b ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2}}$, грамм_т меняет только координаты у и а. Аналогично действие SO (2) вращением действует на координаты (б,Икс) уход а и у без изменений. Космос ЧАС² вещественнозначных положительных матриц А с у = 0 можно отождествить с орбитой единичной матрицы относительно SL (2,р). Принимая координаты (б,Икс,у) в ЧАС³ и (б,Икс) на ЧАС² элементы объема и площади представлены как

${displaystyle dV = (1 + r ^ {2}) ^ {- 1/2}, db, dx, dy ,,,, dA = (1 + r ^ {2}) ^ {- 1/2}, db , dx,}$

куда р² равно б² + Икс² + у² или б² + Икс²,так что р связано с гиперболическим расстоянием от начала координат соотношением ${displaystyle r = sh t}$.

В Лапласианские операторы даются формулой

${displaystyle Delta _ {n} = - L_ {n} -R_ {n} ^ {2} - (n-1) R_ {n} ,,}$

куда

${displaystyle L_ {2} = partial _ {b} ^ {2} + partial _ {x} ^ {2} ,,,, R_ {2} = bpartial _ {b} + xpartial _ {x}}$

и

${displaystyle L_ {3} = partial _ {b} ^ {2} + partial _ {x} ^ {2} + partial _ {y} ^ {2} ,,,, R_ {3} = bpartial _ {b} + xpartial _ {x} + ypartial _ {y}.,}$

Для SU (2) -инвариантной функции F на ЧАС³ и SO (2) -инвариантная функция на ЧАС², рассматриваемые как функции р или т,

${displaystyle int _ {H ^ {3}} F, dV = 4pi int _ {- infty} ^ {infty} F (t) sinh ^ {2} t, dt ,,,, int _ {H ^ {2} } f, dV = 2pi int _ {- infty} ^ {infty} f (t) sinh t, dt.}$

Если ж(б,Икс) - функция на ЧАС², Ef определяется

${displaystyle Ef (b, x, y) = f (b, x).,}$

Таким образом

${displaystyle Delta _ {3} Ef = E (Delta _ {2} -R_ {2}) f.,}$

Если ж SO (2) -инвариантно, то относительно ж как функция р или т,

${displaystyle (-Delta _ {2} + R_ {2}) f = частичный _ {t} ^ {2} f + coth tpartial _ {t} f + rpartial _ {r} f = частичный _ {t} ^ { 2} f + (coth t + anh t) частичное _ {t} f.}$

С другой стороны,

${displaystyle partial _ {t} ^ {2} + (coth t + anh t) partial _ {t} = partial _ {t} ^ {2} + 2coth (2t) partial _ {t}.}$

Таким образом, полагая Sf(т) = ж(2т),

${displaystyle displaystyle {(Delta _ {2} -R_ {2}) Sf = 4SDelta _ {2} f},}$

ведущий к фундаментальным родство по происхождению Фленстеда-Йенсена для M₀ = ES:

${displaystyle displaystyle {Delta _ {3} M_ {0} f = 4M_ {0} Delta _ {2} f.}}$

То же соотношение верно и с M₀ к M, куда Mf получается усреднением M₀ж над SU (2).

Расширение Ef постоянно в у переменная и, следовательно, инвариантная относительно преобразований грамм_s. С другой стороны, дляF подходящая функция на ЧАС³, функция QF определяется

${displaystyle QF = int _ {K_ {1}} Fcirc g_ {s}, ds}$

не зависит от у Переменная. Непосредственная замена переменных показывает, что

${displaystyle int _ {H ^ {3}} F, dV = int _ {H ^ {2}} (1 + b ^ {2} + x ^ {2}) ^ {1/2} QF, dA.}$

С K₁ коммутирует с SO (2), QF SO (2) - инвариантен, если F в частности, если F SU (2) -инвариантно. В таком случае QF является функцией р или т, так что M*F можно определить как

${displaystyle M ^ {*} F (t) = QF (t / 2).}$

Тогда интегральная формула выше дает

${displaystyle int _ {H ^ {3}} F, dV = int _ {H ^ {2}} M ^ {*} F, dA}$

а значит, поскольку для ж SO (2) -инвариантный,

${displaystyle M ^ {*} ((Mf) cdot F) = fcdot (M ^ {*} F),}$

следующая сопряженная формула:

${displaystyle int _ {H ^ {3}} (Mf) cdot F, dV = int _ {H ^ {2}} fcdot (M * F), dV.}$

Как следствие

${displaystyle M ^ {*} Delta _ {3} = 4Delta _ {2} M ^ {*}.}$

Таким образом, как и в случае метода спуска Адамара.

${displaystyle M ^ {*} Phi _ {2lambda} = b (lambda) varphi _ {lambda}}$

с

${displaystyle displaystyle {b (лямбда) = M ^ {*} Phi _ {2lambda} (0) = пи ань пи лямбда}}$

и

${displaystyle Phi _ {2lambda} = Mvarphi _ {lambda}.}$

Следует, что

${displaystyle {(M ^ {*} F)} ^ {sim} (лямбда) = {ilde {F}} (2 лямбда).}$

Принимая ж=M*F, SL (2,C) формула обращения для F затем сразу дает

${displaystyle f (x) = int _ {- infty} ^ {infty} varphi _ {lambda} (x) {ilde {f}} (lambda), {lambda pi over 2} anh ({pi lambda over 2}) , лямбда,}$

Интегральное уравнение Абеля

Сферическая функция φ_λ дан кем-то

${displaystyle varphi _ {lambda} (g) = int _ {K} alpha ^ {prime} (kg), dk,}$

так что

${displaystyle {ilde {f}} (лямбда) = int _ {S} f (s) alpha ^ {prime} (s), ds,}$

Таким образом

${displaystyle {ilde {f}} (lambda) = int _ {- infty} ^ {infty} int _ {0} ^ {infty} f ((a ^ {2} + a ^ {- 2} + b ^ { 2}) / 2) a ^ {- ilambda / 2}, da, db,}$

так что определение F к

${displaystyle F (u) = int _ {- infty} ^ {infty} f (u + {t ^ {2} over 2}), dt,}$

сферическое преобразование можно записать

${displaystyle {ilde {f}} (lambda) = int _ {0} ^ {infty} F ({a ^ {2} + a ^ {- 2} over 2}) a ^ {- ilambda}, da = int _ {0} ^ {infty} F (cosh t) e ^ {- itlambda}, dt.}$

Связь между F и ж классически инвертируется Интегральное уравнение Абеля:

${displaystyle f (x) = {- 1 over 2pi} int _ {- infty} ^ {infty} F ^ {prime} (x + {t ^ {2} over 2}), dt.}$

Фактически^[18]

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} F ^ {prime} (x + {t ^ {2} over 2}), dt = int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ { infty} f ^ {prime} (x + {t ^ {2} + u ^ {2} over 2}), dt, du = {2pi} int _ {0} ^ {infty} f ^ {prime} (x + { r ^ {2} над 2}) r, dr = 2pi f (x).}$

Связь между F и ${displaystyle {ilde {f}}}$ инвертируется Формула обращения Фурье:

${displaystyle F (cosh t) = {2 over pi} int _ {0} ^ {infty} {ilde {f}} (ilambda) cos (lambda t), dlambda.}$

Следовательно

${displaystyle f (i) = {1 больше 2pi ^ {2}} int _ {0} ^ {infty} {ilde {f}} (lambda) lambda, dlambda int _ {- infty} ^ {infty} {sin lambda t / 2 over sinh t} cosh {t over 2}, dt = {1 over 2pi ^ {2}} int _ {- infty} ^ {infty} {ilde {f}} (lambda) {лямбда пи больше 2} anh ({лямбда пи больше 2}), лямбда.}$

Это дает сферическую инверсию для точки я. Теперь для исправленного грамм в SL (2,р) определять^[19]

${displaystyle f_ {1} (w) = int _ {K} f (gkw), dk,}$

другая инвариантная функция вращения на ${displaystyle {mathfrak {H}} ^ {2}}$ с ж₁(i) =ж(грамм(я)). С другой стороны, для биинвариантных функций ж,

${displaystyle pi _ {lambda} (f) xi _ {0} = {ilde {f}} (lambda) xi _ {0}}$

так что

${displaystyle {ilde {f}} _ {1} (lambda) = {ilde {f}} (lambda) cdot varphi _ {lambda} (w),}$

куда ш = грамм(я). В сочетании с приведенной выше формулой обращения для ж₁ дает общую формулу сферического обращения:

${displaystyle f (w) = {1 over pi ^ {2}} int _ {0} ^ {infty} {ilde {f}} (lambda) varphi _ {lambda} (w) {lambda pi over 2} anh ( {лямбда пи больше 2}), лямбда.}$

Другие особые случаи

Все комплексные полупростые группы Ли или Группы Лоренца ТАК⁰(N, 1) с N odd можно обработать непосредственно путем сведения к обычному преобразованию Фурье.^[15][20] Остальные действительные группы Лоренца могут быть выведены методом спуска Фленстеда-Йенсена, как и другие полупростые группы Ли вещественного ранга один.^[21] Метод спуска Фленстеда-Йенсена также применим к рассмотрению вещественных полупростых групп Ли, для которых алгебры Ли нормальные реальные формы комплексных полупростых алгебр Ли.^[15] Частный случай SL (N,р) подробно рассматривается в Йоргенсон и Лэнг (2001); эта группа также является нормальной вещественной формой SL (N,C).

Подход Фленстед-Йенсен (1978) применяется к широкому классу вещественных полупростых групп Ли произвольного вещественного ранга и дает явную форму произведения меры Планшереля на ${displaystyle {mathfrak {a}}}$* без использования разложения Хариш-Чандры сферических функций φ_λв терминах его c-функции, обсуждаемой ниже. Хотя он менее общий, он дает более простой подход к теореме Планшереля для этого класса групп.

Комплексные полупростые группы Ли

Если грамм комплексная полупростая группа Ли, это комплексирование своей максимальной компактной подгруппы U, компактная полупростая группа Ли. Если ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {u}}}$ их алгебры Ли, то ${displaystyle {mathfrak {g}} = {mathfrak {u}} oplus i {mathfrak {u}}.}$ Позволять Т быть максимальный тор в U с алгеброй Ли ${displaystyle {mathfrak {t}}.}$ Затем установка

${displaystyle A = exp i {mathfrak {t}}, qquad P = exp i {mathfrak {u}},}$

Здесь Картановское разложение:

${displaystyle G = Pcdot U = UAU.}$

Конечномерные неприводимые представления π_λ из U индексируются некоторым λ в ${displaystyle {mathfrak {t}} ^ {*}}$.^[22] Соответствующая формула символа и формула размера Герман Вейль дать явные формулы для

${displaystyle chi _ {lambda} (e ^ {X}) = {m {Tr}}, pi _ {lambda} (e ^ {X}), (Xin {mathfrak {t}})), qquad d (лямбда ) = dim pi _ {лямбда}.}$

Эти формулы, изначально определенные на ${displaystyle {mathfrak {t}} ^ {*} imes {mathfrak {t}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {t}} ^ {*}}$, продолжаются голоморфно на их комплексификацию. Более того,

${displaystyle chi _ {lambda} (e ^ {X}) = {sum _ {sigma in W} {m {sign}} (sigma) e ^ {ilambda (sigma X)} по дельте (e ^ {X}) },}$

куда W это Группа Вейля ${displaystyle W = N_ {U} (T) / T}$ и δ (е^Икс) задается формулой произведения (формула знаменателя Вейля), которая голоморфно продолжается до комплексификации ${displaystyle {mathfrak {t}}}$. Существует аналогичная формула продукта для d(λ) - многочлен от λ.

О сложной группе грамм, интеграл от U-биинвариантная функция F можно оценить как

${displaystyle int _ {G} F (g), dg = {1 over | W |} int _ {mathfrak {a}} F (e ^ {X}), | delta (e ^ {X}) | ^ { 2}, dX.}$

куда ${displaystyle {mathfrak {a}} = я {mathfrak {t}}}$.

Сферические функции грамм помечены λ в ${displaystyle {mathfrak {a}} = я {mathfrak {t}} ^ {*}}$ и задается формулой Хариш-Чандра-Березина^[23]

${displaystyle Phi _ {lambda} (e ^ {X}) = {chi _ {lambda} (e ^ {X}) over d (lambda)}.}$

Они являются матричными коэффициентами неприводимого сферического главного ряда грамм вызванный характером Подгруппа Бореля из грамм соответствующий λ; эти представления неприводимы и все могут быть реализованы на L²(U/Т).

Сферическое преобразование U-биинвариантная функция F дан кем-то

${displaystyle {ilde {F}} (лямбда) = int _ {G} F (g) Phi _ {- лямбда} (g), dg}$

а формулу сферического обращения -

${displaystyle F (g) = {1 over | W |} int _ {{mathfrak {a}} ^ {*}} {ilde {F}} (lambda) Phi _ {lambda} (g) | d (лямбда) | ^ {2}, d, lambda = int _ {{mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}} {ilde {F}} (lambda) Phi _ {lambda} (g) | d (лямбда) | ^ {2}, d, лямбда,}$

куда ${displaystyle {mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}}$ это Камера Вейля. Фактически результат следует из Формула обращения Фурье на ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ поскольку^[24]

${displaystyle d (lambda) delta (e ^ {X}) Phi _ {lambda} (e ^ {X}) = sum _ {sigma in W} {m {sign}} (sigma) e ^ {ilambda (X) },}$

так что ${displaystyle displaystyle {overline {d (лямбда)}} {ilde {F}} (лямбда)}$ это просто преобразование Фурье из ${displaystyle displaystyle F (e ^ {X}) delta (e ^ {X})}$.

Обратите внимание, что симметричное пространство грамм/U имеет как компактный двойной^[25] компактное симметричное пространство U Икс U / U, куда U диагональная подгруппа. Сферические функции для последнего пространства, которые можно отождествить с U сам, являются нормированными характерами χ_λ/d(λ), индексированные точками решетки внутри ${displaystyle {mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}}$ и роль А играет Т. Сферическое преобразование ж из функция класса на U дан кем-то

${displaystyle {ilde {f}} (lambda) = int _ {U} f (u) {{overline {chi _ {lambda} (u)}} над d (лямбда)}, du}$

а формула сферического обращения теперь следует из теории Ряд Фурье на Т:

${displaystyle f (u) = sum _ {lambda} {ilde {f}} (lambda) {chi _ {lambda} (u) over d (lambda)} d (lambda) ^ {2}.}$

Между этими формулами и формулами для некомпактного двойственного уравнения существует очевидная двойственность.^[26]

Вещественные полупростые группы Ли

Позволять грамм₀ быть нормальная реальная форма комплексной полупростой группы Ли граммнеподвижные точки инволюции σ, линейно сопряженной на алгебре Ли грамм. Пусть τ - инволюция Картана грамм₀ расширен до инволюции грамм, комплексный линейный на своей алгебре Ли, выбранный для коммутации с σ. Подгруппа неподвижных точек группы τσ представляет собой компактную вещественную форму U из грамм, пересекающиеся грамм₀ в максимальной компактной подгруппе K₀. Подгруппа неподвижных точек группы τ равна K, усложнение K₀. Позволять грамм₀= K₀·п₀ - соответствующее разложение Картана грамм₀ и разреши А - максимальная абелева подгруппа в п₀. Фленстед-Йенсен (1978) доказал, что

${displaystyle displaystyle G = KA _ {+} U,}$

куда А₊ является изображением закрытия камеры Вейля в ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ под экспоненциальным отображением. Более того,

${displaystyle K ackslash G / U = A _ {+}.}$

С

${displaystyle K_ {0} ackslash G_ {0} / K_ {0} = A _ {+}}$

отсюда следует, что существует каноническая идентификация между K грамм / U, K₀ грамм₀ /K₀ и А₊. Таким образом K₀-биинвариантные функции на грамм₀ можно идентифицировать с функциями на А₊ как может функционировать на грамм которые остаются инвариантными относительно K и правый инвариант относительно U. Позволять ж быть функцией в ${displaystyle C_ {c} ^ {infty} (K_ {0} ackslash G_ {0} / K_ {0})}$ и определить Mf в${displaystyle C_ {c} ^ {infty} (U ackslash G / U)}$ к

${displaystyle displaystyle Mf (a) = int _ {U} f (ua ^ {2}), du.}$

Здесь третье разложение Картана грамм = UAU был использован для идентификации U грамм / U с А₊.

Пусть ∆ - лапласиан на грамм₀/K₀ и пусть Δ_c быть лапласианом на грамм/U. потом

${displaystyle displaystyle 4MDelta = Delta _ {c} M.}$

За F в ${displaystyle C_ {c} ^ {infty} (U ackslash G / U)}$, определять M*F в ${displaystyle C_ {c} ^ {infty} (K_ {0} ackslash G_ {0} / K_ {0})}$ к

${displaystyle displaystyle M ^ {*} F (a ^ {2}) = int _ {K} F (ga), dg.}$

потом M и M* удовлетворяют отношениям двойственности

${displaystyle displaystyle int _ {G / U} (Mf) cdot F = int _ {G_ {0} / K_ {0}} fcdot (M ^ {*} F).}$

Особенно

${displaystyle displaystyle M ^ {*} Delta _ {c} = 4Delta M ^ {*}.}$

Аналогичная совместимость для других операторов в центре универсальная обертывающая алгебра из грамм₀. Из характеризации сферических функций собственными функциями следует, что ${displaystyle M ^ {*} Phi _ {2lambda}}$ пропорциональна φ_λ на грамм₀, постоянная пропорциональности определяется выражением

${displaystyle b (lambda) = M ^ {*} Phi _ {2lambda} (1) = int _ {K} Phi _ {2lambda} (k), dk.}$

Более того, в этом случае^[27]

${displaystyle displaystyle (M ^ {*} F) ^ {sim} (лямбда) = {ilde {F}} (2 лямбда).}$

Если ж = M*F, то формула сферического обращения для F на грамм означает, что для ж на грамм₀:^[28][29]

${displaystyle f (g) = int _ {{mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}} {ilde {f}} (lambda) varphi _ {lambda} (g) ,, 2 ^ {{m { dim}}, A} cdot | b (лямбда) | cdot | d (2lambda) | ^ {2}, dlambda,}$

поскольку

${displaystyle f (g) = M ^ {*} F (g) = int _ {{mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}} {ilde {F}} (2lambda) M ^ {*} Phi _ {2lambda} (g) 2 ^ {{m {dim}}, A} | d (2lambda) | ^ {2}, dlambda = int _ {{mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}} {ilde {f}} (lambda) varphi _ {lambda} (g) ,, b (lambda) 2 ^ {{m {dim}}, A} | d (2lambda) | ^ {2}, dlambda.}$

Непосредственное вычисление интеграла для б(λ), обобщая вычисление Годеман (1957) для SL (2,р), была оставлена ​​открытой проблемой Фленстед-Йенсен (1978).^[30] Явная формула произведения для б(λ) была известна из предварительного определения меры Планшереля формулойХариш-Чандра (1966), давая^[31][32]

${displaystyle b (lambda) = Ccdot d (2lambda) ^ {- 1} cdot prod _ {alpha> 0} anh {pi (alpha, lambda) over (alpha, alpha)},}$

где α пробегает положительные корни корневая система в ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ и C нормализующая константа, заданная как частное от произведений Гамма-функции.

Теорема Планшереля Хариш-Чандры

Позволять грамм - некомпактная связная вещественная полупростая группа Ли с конечным центром. Позволять ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ обозначим его алгебру Ли. Позволять K - максимальная компактная подгруппа, заданная как подгруппа неподвижных точек инволюции Картана σ. Позволять ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {pm}}$ - собственные подпространства ± 1 оператора σ в ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, так что ${displaystyle {mathfrak {k}} = {mathfrak {g}} _ {+}}$ является алгеброй Ли K и ${displaystyle {mathfrak {p}} = {mathfrak {g}} _ {-}}$ дать разложение Картана

${displaystyle {mathfrak {g}} = {mathfrak {k}} + {mathfrak {p}} ,,, G = exp {mathfrak {p}} cdot K.}$

Позволять ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ - максимальная абелева подалгебра в ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ а для α в ${displaystyle {mathfrak {a}} ^ {*}}$ позволять

${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alpha} = {Xin {mathfrak {g}}: [H, X] = alpha (H) X ,, (Hin {mathfrak {a}})}.}.$

Если α ≠ 0 и ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alpha} eq (0)}$, то α называется ограниченный корень и м_α = тусклый ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alpha}}$ называется его множественность. Позволять А = exp ${displaystyle {mathfrak {a}}}$, так что грамм = КАК.Ограничение Форма убийства определяет внутренний продукт на ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ и, следовательно ${displaystyle {mathfrak {a}}}$, который позволяет ${displaystyle {mathfrak {a}} ^ {*}}$ быть идентифицированным с ${displaystyle {mathfrak {a}}}$. Относительно этого скалярного произведения ограниченные корни Σ дают корневая система. это Группа Вейля можно отождествить с${displaystyle W = N_ {K} (A) / C_ {K} (A)}$. Выбор положительных корней определяет камеру Вейля ${displaystyle {mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}}$. В пониженная корневая система Σ₀ состоит из таких корней α, что α / 2 не является корнем.

Задавая сферические функции φ _λ как и выше для λ в ${displaystyle {mathfrak {a}} ^ {*}}$, сферическое преобразование ж в C_c^∞(K грамм / K) определяется

${displaystyle {ilde {f}} (lambda) = int _ {G} f (g) varphi _ {- lambda} (g), dg.}$

В формула сферического обращения утверждает, что

${displaystyle f (g) = int _ {{mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}} {ilde {f}} (lambda) varphi _ {lambda} (g), | c (lambda) | ^ {-2}, лямбда,}$

куда С-функция Хариш-Чандры c(λ) определяется как^[33]

${displaystyle c (lambda) = c_ {0} cdot prod _ {alpha in Sigma _ {0} ^ {+}} {2 ^ {- i (lambda, alpha _ {0})} Gamma (i (lambda, alpha _ {0})) над гаммой ({1 больше 2} [{1 больше 2} m_ {alpha} + 1 + i (lambda, alpha _ {0})]) Гамма ({1 больше 2} [{1 больше 2} m_ {альфа} + m_ {2alpha} + i (лямбда, альфа _ {0})])}}$

с ${displaystyle alpha _ {0} = (альфа, альфа) ^ {- 1} альфа}$ и постоянная c₀ выбран так, чтобы c(–яρ) = 1, где

${displaystyle ho = {1 больше 2} sum _ {alpha in Sigma ^ {+}} m_ {alpha} alpha.}$