WikiDer > Простой набор из k

В теория чисел, а основной kпара конечный набор значений, представляющий повторяющийся образец различий между простые числа. Для k-температура (а, б, ...), позиции, в которых k-tuple соответствует шаблону в простых числах, заданных набором целых чисел п такие, что все значения (п + а, п + б, ...) простые. Обычно первое значение в k-набор равен 0, а остальные различные положительные четные числа.^[1]

Именованные шаблоны

Несколько самых коротких k-кортежи известны под другими общими именами:

OEIS последовательность OEIS: A257124 покрывает семерки (первоклассные семерки) и содержит обзор связанных последовательностей, например три последовательности, соответствующие трем допустимый 8-кортежи (простые восьмерки) и объединение всех 8-кортежей. Первый член в этих последовательностях соответствует первому простому числу в наименьшем главное созвездие показано ниже.

Допустимость

Для того, чтобы k-набор, чтобы иметь бесконечно много позиций, в которых все его значения простые, не может быть простого п так что кортеж включает в себя все возможные значения по модулю п. Ведь если такое простое п существовало, то независимо от того, какое значение п было выбрано одно из значений, образованное добавлением п в кортеж делится нап, поэтому простых мест размещения может быть только конечное число (только те, которые включают п сам). Например, числа в k-tuple не может принимать все три значения 0, 1 и 2 по модулю 3; в противном случае результирующие числа всегда будут включать число, кратное 3, и поэтому не все могут быть простыми, если одно из чисел само не равно 3. А k-набор, удовлетворяющий этому условию (т.е. не имеющий п для которого он охватывает все различные значения по модулюп) называется допустимый.

Предполагается, что каждое допустимое k-tuple соответствует бесконечному количеству позиций в последовательности простых чисел. Однако не существует допустимого набора, для которого это доказано, кроме 1-набор (0). Тем не менее, по Итан Чжан из известного доказательства 2013 года следует, что существует хотя бы один 2-кортеж, который соответствует бесконечному количеству позиций; последующая работа показала, что существует некоторый кортеж из 2-х элементов, значения которого отличаются на 246 или меньше, что соответствует бесконечному количеству позиций.^[2]

Позиции, соответствующие недопустимым шаблонам

Хотя (0, 2, 4) недопустимо, он дает единственный набор простых чисел (3, 5, 7).

Некоторые недопустимые k-элементы имеют более одного решения, состоящего из простых чисел. Этого не может произойти k-tuple, который включает в себя все значения по модулю 3, поэтому для этого свойства a k-tuple должен охватывать все значения по модулю большего простого числа, что означает, что в кортеже есть как минимум пять чисел. Кратчайший недопустимый набор с более чем одним решением - это набор из 5 (0, 2, 8, 14, 26), который имеет два решения: (3, 5, 11, 17, 29) и (5, 7, 13, 19, 31), где все сравнения (mod 5) включены в обоих случаях.

Основные созвездия

В диаметр из k-tuple - это разница между наибольшим и наименьшим его элементами. Допустимое простое число k-пара с минимально возможным диаметром d (среди всех допустимых k-tuples) является главное созвездие. Для всех п ≥ k это всегда будет давать последовательные простые числа.^[3] (Помните, что все п - целые числа, для которых значения (п + а, п + б, ...) простые.)

Это означает, что для больших п:

п_{п + к-1} − п_п ≥ d

куда п_п это пй премьер.

Первые несколько основных созвездий:

Диаметр d как функция k является последовательность A008407 в OEIS.

Первое созвездие иногда называют основной k-тюплет, но некоторые авторы резервируют этот термин для случаев, которые не входят в k-корочки.

В первая гипотеза Харди – Литтлвуда предсказывает, что может быть вычислена асимптотическая частота любого простого созвездия. Хотя это предположение не доказано, оно считается правдой. Если это так, это означает, что Вторая гипотеза Харди – Литтлвуда, напротив, ложно.

Простые арифметические прогрессии

Премьер k-набор вида (0, п, 2п, 3п, ..., (k−1)п) называется простая арифметическая прогрессия. Для того, чтобы такой k-набор, чтобы соответствовать критерию допустимости, n должно быть кратным первобытный из k.^[5]

Числа Skewes

В Наклоняет числа для простых k-кортежей являются расширением определения Число Скьюза к простые k-кортежи на основе первая гипотеза Харди-Литтлвуда (Тот (2019)). Позволять ${displaystyle P = (p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k})}$ обозначим простой набор из k, ${displaystyle pi _ {P} (x)}$ количество простых чисел ${displaystyle p}$ ниже ${displaystyle x}$ такой, что ${displaystyle p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k}}$ все простые, пусть ${displaystyle operatorname {li_ {P}} (x) = int _ {2} ^ {x} {frac {dt} {(ln t) ^ {k + 1}}}}$ и разреши ${displaystyle C_ {P}}$ обозначим ее постоянную Харди-Литтлвуда (см. первая гипотеза Харди-Литтлвуда). Тогда первое простое число ${displaystyle p}$ что нарушает неравенство Харди-Литтлвуда для k-набора ${displaystyle P}$, т.е. такие, что

${displaystyle pi _ {P} (p)> C_ {P} имя оператора {li} _ {P} (p),}$

(если такое простое число существует) является Число перекосов для ${displaystyle P}$.

В таблице ниже показаны известные на данный момент числа Скьюза для простых k-кортежей:

Число Skewes (если есть) для сексуальные простые ${displaystyle (p, p + 6)}$ пока неизвестно.

Рекомендации