WikiDer > Уникальный прайм

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья слишком полагается на Рекомендации к основные источники. Пожалуйста, улучшите это, добавив вторичные или третичные источники. (Апрель 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Тема этой статьи может не соответствовать Википедии общее руководство по известности. Пожалуйста, помогите установить известность, указав надежные вторичные источники которые независимый темы и обеспечить ее подробное освещение, помимо банального упоминания. Если известность не может быть установлена, статья, вероятно, будет слился, перенаправлен, или же удалено. Найдите источники: «Уникальный прайм» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Апрель 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В развлекательный теория чисел, а уникальный прайм или же уникальный период это определенный вид простое число. Премьер п ≠ 2, 5 называется уникальный если нет другого прайма q так что продолжительность периода десятичного разложения его взаимный, 1 / п, равна длине периода обратной величины q, 1 / q.^[1] Например, 3 - единственное простое число с периодом 1, 11 - единственное простое число с периодом 2, 37 - единственное простое число с периодом 3, 101 - единственное простое число с периодом 4, поэтому они являются уникальными простыми числами. Напротив, у 41 и 271 период 5; 7 и 13 имеют период 6; 239 и 4649 имеют период 7; 73 и 137 имеют период 8; 21649 и 513239 имеют период 11; 53, 79 и 265371653 имеют период 13; 31 и 2906161 имеют период 15; 17 и 5882353 имеют период 16; 2071723 и 5363222357 имеют период 17; 19 и 52579 имеют период 18; 3541 и 27961 имеют период 20. Следовательно, ни одно из них не является уникальным простым числом. Уникальные простые числа впервые были описаны Сэмюэл Йейтс в 1980 г.

Приведенное выше определение относится к десятичный представление целые числа. Уникальные простые числа могут быть определены и изучены в любом цифровая база.

Период простого числа в базе б

Представление взаимный из простое число (или, в более общем смысле, целое число) п в цифровая база б является периодический периода п если

${ displaystyle { frac {1} {p}} = sum _ {i = 1} ^ { infty} { frac {q} {(b ^ {n}) ^ {i}}},}$

куда q положительное целое число меньше, чем ${ displaystyle b ^ {n}.}$ Согласно формуле суммирования геометрическая серия, это можно переписать как

${ displaystyle { frac {1} {p}} = { frac {q} {b ^ {n} -1}}.}$

Другими словами, п период представления 1/п если и только если п является делителем ${ displaystyle b ^ {n} -1.}$Теорема Эйлера утверждает, что если целое число б является совмещать с п, тогда п является делителем ${ displaystyle p ^ { varphi (n)} - 1}$ куда ${ displaystyle varphi}$ является Функция Эйлера. Это доказывает, что для любого целого числа п совмещать с б, представление обратной величины п периодичен по базе б.

Все периоды периодической функции равны кратные кратчайшего периода, обычно называемого основным периодом. В этой статье мы называем период из п в базе б кратчайший срок представления 1/п в базе б. Следовательно, период п в базе б наименьшее положительное целое число п так что п является делителем ${ displaystyle b ^ {n} -1.}$Другими словами, период простого числа п в базе б это мультипликативный порядок из б по модулю п.

В соответствии с Теорема Жигмонди, каждое натуральное число является периодом некоторого простого в базе б кроме следующих случаев:

• б = 2 и п = 1 или же 6
• п = 2 и б= 2^k − 1 для некоторого целого числа k > 1

В качестве

${ displaystyle x ^ {n} -1 = prod _ {i mid n} Phi _ {n} (x),}$

куда ${ displaystyle Phi _ {n}}$ это пth круговой полином, простые числа периода п в базе б находятся простые делители из ${ displaystyle Phi _ {n} (b).}$ Точнее, простые числа периода п в точности простые делители числа ${ Displaystyle Phi _ {п} (б)}$ которые не разделяют п (см. ниже доказательство этого и следующих результатов).

Если б является четным (включая двоичный и десятичный регистры), простые делители числа ${ Displaystyle Phi _ {п} (б)}$ которые не разделяют п в точности простые делители числа^{[нужна цитата]}

${ Displaystyle R_ {n} (b) = { frac { Phi _ {n} (b)} { gcd ( Phi _ {n} (b), n)}}.}$

Это неправильно, если б нечетно: если п = 2 и б = 4k − 1, куда k положительное целое число, то

${ Displaystyle R_ {2} (b) = { frac { Phi _ {2} (b)} { gcd ( Phi _ {2} (b), 2)}} = { frac {b + 1} {2}} = 2k,}$

хотя 2 делит оба п = 2 и ${ displaystyle Phi _ {n} (b).}$

Если б нечетно, простые числа периода п точно, если п = 1, простые делители ${ Displaystyle R_ {1} (б) = б-1}$, или если п > 1, нечетные простые делители числа р_п(б).

Премьер п это уникальный прайм в базе б, тогда и только тогда, когда для некоторых п, это единственный простой делитель числа ${ Displaystyle Phi _ {п} (б)}$ что не разделяет п. Если б является четным (включая двоичный и десятичный регистры), это означает, что

${ Displaystyle R_ {n} (b) = { frac { Phi _ {n} (b)} { gcd ( Phi _ {n} (b), n)}} = p ^ {c}. }$

для некоторого положительного целого числа c .

Если б странно, это означает, что

${ Displaystyle R_ {n} (b) = { frac { Phi _ {n} (b)} { gcd ( Phi _ {n} (b), n)}} = p ^ {c} 2 ^ {d}.}$

для некоторых целых чисел c > 0 и d ≥ 0. Это обеспечивает эффективный метод вычисления уникальных простых и простых чисел заданного периода.

Обратите внимание, что простой делитель числа б взаимно прост с ${ displaystyle b ^ {n} -1}$, а значит, и его делитель ${ displaystyle Phi _ {n} (b).}$ Такое простое число не имеет длины периода, так как представление в базе б его обратная величина конечна, а не периодична. Таким образом, такое простое число никогда не рассматривается как уникальное простое число, даже если это единственное простое число, имеющее конечную обратную величину по основанию. б. Например, 2 не рассматривается как уникальное простое число в двоичной системе, хотя это единственное простое число с конечной обратной величиной в двоичной системе.

Есть четыре ситуации уникального простого числа в базе б:

1. ${ displaystyle Phi _ {n} (b) = p}$ и п простое.
2. ${ displaystyle { frac { Phi _ {n} (b)} { gcd ( Phi _ {n} (b), n)}} = p}$ и п прост и ${ displaystyle gcd ( Phi _ {n} (b), n)> 1}$.
3. ${ Displaystyle Phi _ {n} (Ь) = p ^ {c}}$ и п прост и ${ displaystyle c> 1}$.
4. ${ displaystyle { frac { Phi _ {n} (b)} { gcd ( Phi _ {n} (b), n)}} = p ^ {c}}$ и п прост и ${ displaystyle gcd ( Phi _ {n} (b), n)> 1}$ и ${ displaystyle c> 1}$.

Предположения:

• Для всех положительных целых чисел п, существует бесконечно много баз б такое, что существует единственное простое число с длиной периода п. (эта гипотеза верна, если Гипотеза Буняковского верно, поскольку циклотомические многочлены неприводимы)

• Для всех баз б, уникальных простых чисел бесконечно много.

• Для всех положительных целых чисел п, существует бесконечно много баз б такое, что существует единственное простое число с длиной периода п что является 1-й ситуацией. (т.е. для всех п≥1 бесконечно много б≥2 такие, что ${ Displaystyle Phi _ {п} (б)}$ простое, где ${ displaystyle Phi}$ это круговой полином) (эта гипотеза верна, если Гипотеза Буняковского верно, поскольку циклотомические многочлены неприводимы)

• Для всех баз б, существует бесконечно много уникальных простых чисел, которые являются первой ситуацией. (т.е. для всех б≥2 бесконечно много п≥1 такое, что ${ Displaystyle Phi _ {п} (б)}$ простое, где ${ displaystyle Phi}$ это круговой полином)

• Для всех положительных целых чисел п не в (последовательность A253235 в OEIS) существует бесконечно много баз б такое, что существует единственное простое число с длиной периода п это вторая ситуация. (длины периодов п в последовательности A253235 в OEIS) не может иметь оснований, что является 2-й или 4-й ситуацией) (эта гипотеза верна, если Гипотеза Буняковского верно, поскольку циклотомические многочлены неприводимы)

• Для всех баз б, существует только конечное количество уникальных простых чисел (или нет уникальных простых чисел), которые являются второй ситуацией, особенно в базе 2, единственными известными периодами, которые являются второй ситуацией, являются 18, 20, 21, 54, 147, 342, 602, 889, 258121, а в базе 10 единственными известными периодами, которые являются второй ситуацией, являются 3, 9, 294.

• Все (период п, основание б) комбо, которая является третьей ситуацией,

• • п = 1, б = п^c+1 с п премьер и c ≥ 2
  • п = 2, б = п^c−1 с п нечетное простое число и c ≥ 2
  • п = 3, б = 18
  • п = 5, б = 3
  • п = 6, б = 19

• Все (период п, основание б) комбо, которая является 4-й ситуацией,

• • п = 2, б = 2^рп^c−1 с п нечетное простое число и р ≥ 1 и c ≥ 2
  • п = 3, б в последовательности A028231 в OEIS) в случае (б²+б+1) / 3 является квадратом простого числа (предполагается, что степени с показателем> 2 не могут существовать) (первые такие основания б равны 22, 313, 4366, 847078, ...) (соответствующие простые числа находятся в (последовательность A001570 в OEIS))
  • п = 4, б в последовательности A002315 в OEIS) в случае (б²+1) / 2 квадрат простого или 28561 = 13⁴ (предполагается, что степени с показателем> 2 не могут существовать, кроме (239²+1)/2 = 28561 = 13⁴) (кулак таких баз б равны 7, 41, 239, 8119, 47321, ...) (соответствующие простые числа находятся в (последовательность A001563 в OEIS))
  • п = 6, б−1 дюйм (последовательность A028231 в OEIS) в случае (б²−б+1) / 3 является квадратом простого числа (предполагается, что степени с показателем> 2 не могут существовать) (первые такие основания б 23, 314, 4367, 847079, ...) (соответствующие простые числа находятся в (последовательность A001570 в OEIS))

• Специально нет (точка п, основание б) комбо, которое является третьей или четвертой ситуацией, существует для п > 6

• «Почти все» (точка п, основание б) комбо - это первая ситуация

(Для всех (период п, основание б) комбо, которое является 3-й или 4-й ситуацией, соответствующее простое число п необходимо обобщить Виферих прайм основать б)

Десятичные уникальные простые числа

В настоящее время более пятидесяти уникальных простых чисел или вероятные простые числа известны. Однако есть только двадцать три уникальных простых числа меньше 10.¹⁰⁰. В следующей таблице перечислены все 23 уникальных простых числа меньше 10.¹⁰⁰ (последовательность A040017 (отсортировано) и A007615 (упорядочено по длине периода) в OEIS) и их периоды (последовательность A051627 (упорядочены соответствующими простыми числами) и A007498 (отсортировано) в OEIS)

Простое число с длиной периода 294 аналогично^{[требуется разъяснение]} к взаимный из 7 (0,142857142857142857 ...)

Сразу после таблицы двадцать четвертое уникальное простое число состоит из 128 цифр и длины периода 320. Его можно записать как (9₃₂0₃₂)₂ + 1, где нижний индекс п указывает п последовательные копии цифры или группы цифр перед нижним индексом.

Хотя они редки, из-за появления объединить простые и вероятные простые числа, это предполагаемый сильно, что уникальных простых чисел бесконечно много. (Любое простое число повторного объединения уникально.)

По состоянию на 2010 г.^{[Обновить]} репутация (10²⁷⁰³⁴³ - 1) / 9 - наибольшее известное вероятное уникальное простое число.^[2]

В 1996 году крупнейшая доказано уникальное простое число было (10¹¹³² + 1) / 10001 или, используя обозначения выше, (99990000)₁₄₁ + 1. Он состоит из 1128 цифр. С тех пор рекорд многократно улучшался. По состоянию на 2017 год^{[Обновить]} наибольшее доказанное уникальное простое число ${ displaystyle Phi _ {47498} (10)}$, он состоит из 20160 цифр.^[3]

Бинарные уникальные простые числа

Первые уникальные простые числа в двоичный (основание 2):

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, ... (последовательность A144755 (отсортировано) и A161509 (упорядочено по длине периода) в OEIS)

Длина периода у них составляет:

2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, ... (последовательность A247071 (упорядочены соответствующими простыми числами) и A161508 (отсортировано) в OEIS)

Они включают Простые числа Ферма (длина периода равна степень 2), Простые числа Мерсенна (длина периода равна основной) и Простые числа Вагстаффа (длина периода вдвое больше нечетное простое число).

Кроме того, если п натуральное число, которое не равно 1 или 6, хотя хотя бы одно простое число имеет точку п в базе 2 из-за Теорема Жигмонди. Кроме того, если п является конгруэнтный до 4 (мод. 8) и п > 20, то хотя бы два простых числа имеют период п в базе 2, (Таким образом, п не является уникальным периодом в базе 2) из-за Aurifeuillean факторизация, Например, 113 (${ displaystyle = Phi _ {28L} (2)}$) и 29 (${ displaystyle = Phi _ {28M} (2)}$) оба имеют период 28 по основанию 2, 37 (${ displaystyle = Phi _ {36L} (2)}$) и 109 (${ displaystyle = Phi _ {36M} (2)}$) оба имеют период 36 по основанию 2, и что 397 (${ displaystyle = Phi _ {44L} (2)}$) и 2113 (${ displaystyle = Phi _ {44M} (2)}$) оба имеют период 44 по основанию 2,

Как показано выше, простое число п уникальный период п в базе 2 если и только если существует натуральное число c такой, что

${ displaystyle { frac { Phi _ {n} (2)} { gcd ( Phi _ {n} (2), n)}} = p ^ {c}.}$

Опытным путем оказывается, что большинство случаев соответствует знаменателю ${ displaystyle gcd ( Phi _ {n} (2), n)}$ равно 1, поэтому у нас есть простое число (или степень простого числа) вида ${ displaystyle Phi _ {n} (2)}$. Однако для п равно 18, 20, 21, 54, 147, ... (последовательность A333973 в OEIS), мы получаем двоичное уникальное простое число, хотя ${ displaystyle Phi _ {n} (2)}$ имеет малый делитель (общий с п).

Фактически, нет простого числа с c > 1 (то есть ${ Displaystyle Phi _ {n} (2) / gcd ( Phi _ {n} (2), n)}$ это истинная сила из п) были открыты, и все известные уникальные простые числа п имеют c = 1. Предполагается, что все уникальные простые числа имеют c = 1 (то есть все уникальные простые числа с основанием 2 не являются Простые числа Вифериха).

По состоянию на сентябрь 2019 года наибольшее известное уникальное простое число по основанию 2 равно 2.^82589933-1, это также самое большое известное простое число. За исключением простых чисел Мерсенна, наибольшее известное вероятное уникальное простое число с основанием 2 является ${ displaystyle { frac {2 ^ {13372531} +1} {3}}}$,^[4] и самый большой доказано основание 2 уникальное простое число ${ displaystyle { frac {2 ^ {83339} +1} {3}}}$. Кроме того, наибольшее известное вероятное уникальное простое число с основанием 2, которое не является простым числом Мерсенна или простым числом Вагстаффа, является ${ displaystyle { frac {2 ^ {4101572} +1} {17}}}$.

Подобно основанию 10, хотя они редки (но чаще, чем случай с основанием 10), предполагается, что существует бесконечно много уникальных простых чисел с основанием 2, потому что все простые числа Мерсенна уникальны в базе 2, и предполагается, что они существуют. бесконечно много простых чисел Мерсенна.^{[нужна цитата]}

Они не делят ничего из сверхпсевдопреступления с основанием 2, но каждое другое нечетное простое число делит одно сверхпростое число на основание 2, поскольку если и только если составное число можно записать как ${ Displaystyle { frac { Phi _ {n} (2)} { gcd ( Phi _ {n} (2), n)}}}$, это сверхпрсвдопросто по отношению к основанию 2.^{[требуется разъяснение]}

В основании 2 ниже 2 52 уникальных простых числа⁶⁴, они есть:

После таблицы следующие 10 двоичных уникальных простых чисел имеют длину периода 170, 234, 158, 165, 147, 129, 184, 89, 208 и 312. Кроме того, их биты (цифры в двоичном формате) равны 65, 73, 78, 81, 82, 84, 88, 89, 96 и 97.

Би-уникальные простые числа

Би-уникальные простые числа - это пары простых чисел, которые имеют общую длину периода, но не имеют других простых чисел. Например, в двоичном формате двууникальные простые числа с хотя бы одним простым числом меньше 10000:

Хотя существует 1228 нечетных простых чисел меньше 10000, только 21 из них уникальны, а 76 из них двуединственны в двоичной системе.

Классическим примером двоичных двухуникальных простых чисел являются

46817226351072265620777670675006972301618979214252832875068976303839400413682313921168154465151768472420980044715745858522803980473207943564433 (143 цифры)

и

527739642811233917558838216073534609312522896254707972010583175760467054896492872702786549764052643493511382273226052631979775533936351462037464331880467187714179307326707

они два основных фактора Число Мерсенна 2¹⁰⁶¹−1. ^[5] Таким образом, период
длина из них 1061.

По состоянию на октябрь 2016 года наибольшее известное возможное двоичное двуединственное простое число ${ displaystyle { frac {2 ^ {5240707} -1} {75392810903}}}$, ^[6] у него есть период
длиной 5240707 долей, из которых только простое число составляет 75392810903.

Точно так же мы можем определить «трехуникальные простые числа» как тройку простых чисел, имеющих период
длина не разделяется никакими другими простыми числами. В двоичном формате первые несколько трехуникальных простых чисел:

В двоичном формате наименьший п-уникальные простые

3, 23, 53, 149, 269, 461, 619, 389, ...

В двоичном формате длина периода нечетных простых чисел равна: (последовательность A014664 в OEIS)

В двоичном формате простые числа с заданной длиной периода: (последовательность A108974 в OEIS)

Продолжительность периода

Уникальный прайм в различных базах

Библиография

• Крис К. Колдуэлл, Харви Дубнер, «Простые числа с уникальным периодом», Журнал развлекательной математики 29:1:43-48 (1998) препринт

Рекомендации

• Йетс, Сэмюэл (1980). «Периоды уникальных простых чисел». Математика. Mag. 53: 314. Zbl 0445.10009.

внешняя ссылка

• Prime Top Tens
• Уникальные простые числа периода
• Факторизация чисел повторных единиц