WikiDer > Главный разрыв

Главный разрыв Распределение частоты для простых чисел до 1,6 миллиарда. Пики кратны 6.^[1]

А основной разрыв разница между двумя последовательными простые числа. В п-й простой пробел, обозначенный грамм_п или же грамм(п_п) - разница между (п + 1) -го ип-е простые числа, т.е.

${displaystyle g_ {n} = p_ {n + 1} -p_ {n}. }$

У нас есть грамм₁ = 1, грамм₂ = грамм₃ = 2 и грамм₄ = 4. Значение последовательность (грамм_п) промежутков между простыми числами широко изучены; однако многие вопросы и домыслы остаются без ответа.

Первые 60 простых промежутков:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (последовательность A001223 в OEIS).

По определению грамм_п каждое простое число можно записать как

${displaystyle p_ {n + 1} = 2 + sum _ {i = 1} ^ {n} g_ {i}.}$

Простые наблюдения

Первое, наименьшее и единственное нечетное простое число - это промежуток размера 1 между 2, единственным четным простым числом, и 3, первым нечетным простым числом. Все остальные простые промежутки равны. Есть только одна пара последовательных промежутков длиной 2: промежутки грамм₂ и грамм₃ между простыми числами 3, 5 и 7.

Для любого целого числа п, то факториал п! это товар всех положительных целых чисел до п. Тогда в последовательности

${displaystyle n! + 2, n! + 3, ldots, n! + n}$

первый член делится на 2, второй член делится на 3 и так далее. Таким образом, это последовательность п − 1 последовательные составные целые числа, и он должен принадлежать промежутку между простыми числами, имеющими длину не менее п. Отсюда следует, что между простыми числами есть промежутки, которые являются сколь угодно большими, то есть для любого целого числа N, есть целое число м с грамм_м ≥ N.

Однако основные пробелы п числа могут встречаться в числах намного меньших, чем п!. Например, первый пробел между простыми числами 523 и 541, а размер 15! - это значительно большее число 1307674368000.

Средний разрыв между простыми числами увеличивается по мере увеличения натуральный логарифм целого числа, и поэтому отношение промежутка между простыми числами и задействованными целыми числами уменьшается (и асимптотически равно нулю). Это следствие теорема о простых числах. С эвристической точки зрения мы ожидаем, что вероятность того, что отношение длины промежутка к натуральному логарифму больше или равно фиксированному положительному числу. k быть е^−k; следовательно, отношение может быть сколь угодно большим. Действительно, отношение промежутка к количеству цифр целых чисел неограниченно увеличивается. Это следствие результата Вестзинтиуса.^[2]

В обратном направлении гипотеза о простых близнецах утверждает, что грамм_п = 2 для бесконечного числа целых чисел п.

Численные результаты

Обычно соотношение из грамм_п / ln (п_п) называется цена разрыва грамм_п . По состоянию на сентябрь 2017 г.^{[Обновить]}, самый большой известный разрыв между простыми числами вероятный прайм Разрывные концы имеют длину 6582144, с 216841-значным вероятным простым числом, найденным Мартином Раабом.^[3] У этого пробела есть достоинства M = 13,1829. Самый большой известный пробел с идентифицированными проверенными простыми числами в качестве концов пробела имеет длину 1113106 и критерий 25,90, при этом 18662-значные простые числа найдены П. Ками, М. Янсеном и Дж. К. Андерсеном.^[4][5]

По состоянию на декабрь 2017 г.^{[Обновить]}, самая большая из известных заслуг и первая с заслугой более 40, как было обнаружено Gapcoin сеть составляет 41,93878373 с 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Промежуток между ним и следующим простым числом составляет 8350.^[6]

Отношение Крамера – Шанкса – Гранвилля - это отношение грамм_п / (ln (п_п))².^[6] Если отбросить аномально высокие значения отношения для простых чисел 2, 3, 7, то наибольшее известное значение этого отношения будет 0,9206386 для простого числа 1693182318746371. Другие условия записи можно найти на OEIS: A111943.

Мы говорим что грамм_п это максимальный разрыв, если грамм_м < грамм_п для всех м < пПо состоянию на август 2018 г.^{[Обновить]} самый большой известный максимальный промежуток между простыми числами имеет длину 1550, найденную Бертилом Найманом. Это 80-й максимальный промежуток, который находится после простого числа 18361375334787046697.^[10] Другие рекордные (максимальные) размеры зазора можно найти в OEIS: A005250, с соответствующими простыми числами п_п в OEIS: A002386, а значения п в OEIS: A005669.

Дальнейшие результаты

Верхняя граница

Постулат Бертрана, доказанный в 1852 году, утверждает, что всегда есть простое число между k и 2k, так в частности п_п+1 < 2п_п, что значит грамм_п < п_п.

В теорема о простых числах, доказанный в 1896 году, гласит, что средняя длина промежутка между простым числом п и следующее простое число будет асимптотически приближаться к ln (п) для достаточно больших простых чисел. Фактическая длина промежутка может быть намного больше или меньше этой. Однако из теоремы о простых числах можно вывести верхнюю оценку длины промежутков между простыми числами:

Для каждого ${displaystyle epsilon> 0}$, есть номер ${displaystyle N}$ такой, что для всех ${displaystyle n> N}$

${displaystyle g_ {n}$.

Можно также сделать вывод, что промежутки становятся сколь угодно меньше пропорционально простым числам: частное

${displaystyle lim _ {n o infty} {frac {g_ {n}} {p_ {n}}} = 0.}$

Hoheisel (1930) был первым, кто показал^[11] что существует постоянная θ <1 такая, что

${displaystyle pi (x + x ^ {heta}) - pi (x) sim {frac {x ^ {heta}} {log (x)}} {ext {as}} x o infty,}$

таким образом показывая, что

${displaystyle g_ {n}$

за достаточно большой п.

Хохейзель получил возможное значение 32999/33000 для θ. Это было улучшено до 249/250 Хайльбронн,^[12] и к θ = 3/4 + ε для любого ε> 0 по формуле Чудаков.^[13]

Значительное улучшение связано с Ingham,^[14] кто показал это для некоторой положительной константы c, если

${displaystyle zeta (1/2 + it) = O (t ^ {c}),}$ тогда ${displaystyle pi (x + x ^ {heta}) - pi (x) sim {frac {x ^ {heta}} {log (x)}}}$ для любого ${displaystyle heta> (1 + 4c) / (2 + 4c).}$

Здесь, О относится к нотация большой O, ζ обозначает Дзета-функция Римана и π функция подсчета простых чисел. Зная, что любой c > 1/6 допустима, получается, что θ может быть любым числом больше 5/8.

Непосредственным следствием результата Ингама является то, что всегда есть простое число между п³ и (п + 1)³, если п достаточно большой.^[15] В Гипотеза Линделёфа означало бы, что формула Ингама верна для c любое положительное число: но даже этого недостаточно, чтобы подразумевать, что между п² и (п + 1)² за п достаточно большой (см. Гипотеза Лежандра). Чтобы проверить это, более сильный результат, такой как Гипотеза Крамера будет необходимо.

Хаксли в 1972 г. показал, что можно выбрать θ = 7/12 = 0,58 (3).^[16]

Результат, благодаря Бейкеру, Харман и Пинц в 2001 г. показывает, что θ можно принять равным 0,525.^[17]

В 2005 году, Дэниел Голдстон, Янош Пинц и Джем Йылдырым доказал, что

${displaystyle liminf _ {n o infty} {frac {g_ {n}} {log p_ {n}}} = 0}$

и 2 года спустя улучшили это^[18] к

${displaystyle liminf _ {n o infty} {frac {g_ {n}} {{sqrt {log p_ {n}}} (log log p_ {n}) ^ {2}}}$

В 2013, Итан Чжан доказал, что

${displaystyle liminf _ {n o infty} g_ {n} <7cdot 10 ^ {7},}$

Это означает, что существует бесконечно много пробелов, не превышающих 70 миллионов.^[19] А Polymath Project Совместными усилиями по оптимизации предела Чжана 20 июля 2013 года предел снизился до 4680.^[20] В ноябре 2013 г. Джеймс Мэйнард представил новое усовершенствование сита GPY, что позволило ему снизить границу до 600 и показать, что для любого м существует ограниченный интервал с бесконечным числом переводов, каждый из которых содержит м простые числа.^[21] Используя идеи Мейнарда, проект Polymath улучшил границу до 246;^[20][22] предполагая Гипотеза Эллиотта – Хальберштама и его обобщенная форма, N уменьшено до 12 и 6 соответственно.^[20]

Нижние границы

В 1931 году Эрик Вестзинтиус доказал, что максимальные промежутки между простыми числами растут более чем логарифмически. То есть,^[2]

${displaystyle limsup _ {n o infty} {frac {g_ {n}} {log p_ {n}}} = infty.}$

В 1938 г. Роберт Рэнкин доказал существование постоянной c > 0 такое, что неравенство

${displaystyle g_ {n}> {frac {clog nlog log nlog log log log n} {(log log log n) ^ {2}}}}$

выполняется для бесконечно многих значений п, улучшая результаты Westzynthius и Пол Эрдёш. Позже он показал, что можно взять любую постоянную c < е^γ, где γ - Константа Эйлера – Маскерони. Значение постоянной c был улучшен в 1997 году до любого значения менее 2е^γ.^[23]

Пол Эрдеш предложил приз в размере 10 000 долларов за доказательство или опровержение того, что постоянная c в указанном неравенстве можно взять сколь угодно большим.^[24] Правильность этого утверждения была доказана в 2014 г. Форд-Грин-Конягин-Тао и, независимо, Джеймс Мэйнард.^[25][26]

Результат был улучшен до

${displaystyle g_ {n}> {frac {clog nlog log nlog log log log n} {log log log n}}}$

для бесконечного множества значений п Форд – Грин – Конягин – Мейнард – Тао.^[27]

В духе оригинального приза Эрдёша, Теренс Тао предложил 10 000 долларов США за доказательство того, что c в этом неравенстве можно взять сколь угодно большим.^[28]

Также определены нижние оценки цепочек простых чисел.^[29]

Домыслы о промежутках между простыми числами

Функция основного зазора

Еще лучшие результаты возможны под Гипотеза Римана. Харальд Крамер доказано^[30] что гипотеза Римана влечет разрыв грамм_п удовлетворяет

${displaystyle g_ {n} = O ({sqrt {p_ {n}}} журнал p_ {n}),}$

с использованием нотация большой O. (На самом деле для этого результата нужны только более слабые Гипотеза Линделёфа, если вы можете терпеть бесконечно меньшую экспоненту.^[31]) Позже он предположил, что зазоры еще меньше. Грубо говоря, Гипотеза Крамера утверждает, что

${displaystyle g_ {n} = Oleft ((log p_ {n}) ^ {2} ight).}$

Гипотеза Фирозбахта утверждает, что ${displaystyle p_ {n} ^ {1 / n}}$ (куда ${displaystyle p_ {n}}$ это п-е простое число) является строго убывающей функцией от п, т.е.

${displaystyle p_ {n + 1} ^ {1 / (n + 1)}$

Если эта гипотеза верна, то функция ${displaystyle g_ {n} = p_ {n + 1} -p_ {n}}$ удовлетворяет ${displaystyle g_ {n} <(log p_ {n}) ^ {2} -log p_ {n} {ext {for all}} n> 4.}$^[32] Это подразумевает сильную форму гипотезы Крамера, но несовместимо с эвристикой Granville и Пинц^[33][34][35] которые предполагают, что ${displaystyle g_ {n}> {frac {2-varepsilon} {e ^ {gamma}}} (log p_ {n}) ^ {2}}$ бесконечно часто для любого ${displaystyle varepsilon> 0,}$ куда ${displaystyle gamma}$ обозначает Константа Эйлера – Маскерони.

Тем временем, Гипотеза Оппермана слабее гипотезы Крамера. Ожидаемый размер разрыва с гипотезой Оппермана порядка

${displaystyle g_ {n} <{sqrt {p_ {n}}}.}$

В результате по гипотезе Оппермана - существует ${displaystyle m}$ (наверное ${displaystyle m = 30}$), для которого каждое естественное ${displaystyle n> m}$ удовлетворяет ${displaystyle g_ {n} <{sqrt {p_ {n}}}.}$

Гипотеза Андрицы, которая является более слабой гипотезой, чем гипотеза Оппермана, утверждает, что^[36]

${displaystyle g_ {n} <2 {sqrt {p_ {n}}} + 1.}$

Это небольшое усиление Гипотеза Лежандра что между последовательными квадратными числами всегда стоит штрих.

Гипотеза Полиньяка утверждает, что каждое положительное четное число k возникает как простой разрыв бесконечно часто. Дело k = 2 - это гипотеза о простых близнецах. Гипотеза еще не была доказана или опровергнута для какого-либо конкретного значенияk, но Чжан Итангрезультат доказывает, что это верно как минимум для одного (пока неизвестного) значения k что меньше 70 000 000; как обсуждалось выше, эта верхняя граница была улучшена до 246.

Как арифметическая функция

Разрыв грамм_п между пth и (п +1) -е простое число является примером арифметическая функция. В этом контексте обычно обозначают d_п и называется функцией простых разностей.^[36] Функция не является ни мультипликативный ни добавка.

Смотрите также

• Неравенство Бонса
• Гауссов ров
• Твин премьер

Рекомендации

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

дальнейшее чтение

• Саундарараджан, Каннан (2007). «Небольшие промежутки между простыми числами: работа Голдстона-Пинца-Йылдырыма». Бык. Являюсь. Математика. Soc. Новая серия. 44 (1): 1–18. arXiv:математика / 0605696. Дои:10.1090 / s0273-0979-06-01142-6. S2CID 119611838. Zbl 1193.11086.
• Михэилеску, Преда (Июнь 2014 г.). «О некоторых гипотезах аддитивной теории чисел» (PDF). Информационный бюллетень Европейского математического общества (92): 13–16. Дои:10.4171 / НОВОСТИ. HDL:2117/17085. ISSN 1027-488X.

внешняя ссылка

• Томас Р. Красиво, Некоторые результаты вычислительных исследований простых чисел - вычислительная теория чисел. Этот справочный веб-сайт включает список всех первых известных пробелов.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция простой разности». MathWorld.
• «Функция простой разности». PlanetMath.
• Армин Шамс, Повторное расширение теоремы Чебышева о гипотезе Бертрана, не содержит «произвольно большой» константы, как некоторые другие результаты.
• Крис Колдуэлл, Разрывы между простыми числами; элементарное введение
• Эндрю Гранвиль, Простые числа в интервалах ограниченной длины; обзор результатов, полученных до сих пор, вплоть до работы Джеймса Мейнарда в ноябре 2013 г.