WikiDer > Уравнения мелкой воды - Википедия

Shallow water equations - Wikipedia

Выходные данные из модели уравнения мелкой воды для воды в ванне. Вода подвергается пяти брызгам, которые создают поверхностные гравитационные волны, которые распространяются вдали от мест брызг и отражаются от стен ванны.

В уравнения мелкой воды представляют собой набор гиперболические уравнения в частных производных (или параболические, если рассматривается вязкий сдвиг), которые описывают течение под поверхностью давления в жидкости (иногда, но не обязательно, свободная поверхность). Уравнения мелкой воды в однонаправленной форме также называют Уравнения Сен-Венана, после Адемар Жан Клод Барре де Сен-Венан (см. связанный раздел ниже).

Уравнения выводятся^[1] от глубинной интеграции Уравнения Навье – Стокса, в случае, когда горизонтальный масштаб намного больше, чем вертикальный масштаб. При этом условии сохранение массы означает, что масштаб вертикальной скорости жидкости мал по сравнению с масштабом горизонтальной скорости. Из уравнения импульса можно показать, что вертикальные градиенты давления почти равны гидростатический, и что горизонтальные градиенты давления возникают из-за смещения поверхности давления, что подразумевает, что поле горизонтальной скорости постоянно по всей глубине жидкости. Вертикальное интегрирование позволяет исключить вертикальную скорость из уравнений. Таким образом выводятся уравнения мелкой воды.

Хотя член вертикальной скорости не присутствует в уравнениях мелкой воды, обратите внимание, что эта скорость не обязательно равна нулю. Это важное различие, потому что, например, вертикальная скорость не может быть равна нулю, когда пол меняет глубину, и, таким образом, если бы она была равна нулю, с уравнениями мелкой воды можно было бы использовать только плоские полы. После того как решение (т.е. горизонтальные скорости и смещение свободной поверхности) найдено, вертикальная скорость может быть восстановлена с помощью уравнения неразрывности.

Ситуации в гидродинамике, где горизонтальный масштаб намного больше, чем вертикальный масштаб, являются обычными, поэтому уравнения мелкой воды широко применимы. Они используются с Силы Кориолиса в атмосферном и океаническом моделировании, как упрощение примитивные уравнения атмосферного потока.

Модели уравнения мелкой воды имеют только один вертикальный уровень, поэтому они не могут напрямую охватывать какой-либо фактор, который изменяется с высотой. Однако в случаях, когда среднее состояние достаточно простое, вертикальные вариации могут быть отделены от горизонтальных, и состояние может описываться несколькими наборами уравнений мелкой воды.

Уравнения

Консервативная форма

Уравнения мелкой воды выводятся из уравнений сохранение массы и сохранение количества движения (в Уравнения Навье – Стокса), которые остаются верными даже тогда, когда допущения о мелководье нарушаются, например, на гидравлический прыжок. В случае горизонтального кровать, нет Силы Кориолиса, фрикционный или же вязкие силы, уравнения мелкой воды:

{ displaystyle { begin {align} { frac { partial ( rho eta)} { partial t}} & + { frac { partial ( rho eta u)} { partial x}} + { frac { partial ( rho eta v)} { partial y}} = 0, [3pt] { frac { partial ( rho eta u)} { partial t}} & + { frac { partial} { partial x}} left ( rho eta u ^ {2} + { frac {1} {2}} rho g eta ^ {2} right) + { frac { partial ( rho eta uv)} { partial y}} = 0, [3pt] { frac { partial ( rho eta v)} { partial t}} & + { frac { partial ( rho eta uv)} { partial x}} + { frac { partial} { partial y}} left ( rho eta v ^ {2} + { frac {1} {2}} rho g eta ^ {2} right) = 0. End {align}}}

Здесь η - общая высота столба жидкости (мгновенная глубина жидкости как функция Икс, у и т) и 2D-вектор (ты,v) - горизонтальный скорость потока, усредненное по вертикальному столбцу. Дальше грамм - ускорение свободного падения, а ρ - жидкость. плотность. Первое уравнение выводится из сохранения массы, вторые два - из сохранения количества движения.^[2]

Неконсервативная форма

Расширяя производные в приведенном выше, используя правило продукта, получена неконсервативная форма уравнений мелкой воды. Поскольку скорости не подчиняются фундаментальному уравнению сохранения, неконсервативные формы не сохраняются через ударную волну или гидравлический прыжок. Также включены соответствующие термины для Кориолиса, сил трения и вязкости, чтобы получить (для постоянной плотности жидкости):

{ displaystyle { begin {align} { frac { partial h} { partial t}} & + { frac { partial} { partial x}} { Bigl (} (H + h) u { Bigr)} + ​​{ frac { partial} { partial y}} { Bigl (} (H + h) v { Bigr)} = 0, [3pt] { frac { partial u} { partial t}} & + u { frac { partial u} { partial x}} + v { frac { partial u} { partial y}} - fv = -g { frac { partial h} { partial x}} - bu + nu left ({ frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} u} { partial y ^ {2}}} right), [3pt] { frac { partial v} { partial t}} & + u { frac { partial v} { partial x}} + v { frac { partial v} { partial y}} + fu = -g { frac { partial h} { partial y}} - bv + nu left ({ frac { partial ^ { 2} v} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} v} { partial y ^ {2}}} right), end {align}}}

куда

ты	- скорость в Икс направление, или зональный скорость
v	- скорость в у направление, или меридиональный скорость
час	это отклонение по высоте от поверхности горизонтального давления от его средней высоты ЧАС: η = ЧАС + час
ЧАС	- средняя высота горизонтальной поверхности давления
грамм	это ускорение из-за сила тяжести
ж	это Коэффициент Кориолиса связанный с Сила Кориолиса. На земле, ж равно 2Ω грех (φ), куда Ω - угловая скорость вращения Земли (π / 12 радианы/ час), и φ это широта
б	это вязкое сопротивление коэффициент
$ν$	это кинематическая вязкость

Воспроизвести медиа

Анимация линеаризованных уравнений мелкой воды для прямоугольного бассейна без трения и силы Кориолиса. Вода подвергается брызгам, которые генерируют поверхностные гравитационные волны, которые распространяются от места брызг и отражаются от стенок бассейна. Анимация создается с помощью точное решение Кэрриера и Йе (2005) для осесимметричный волны.^[3]

Часто бывает так, что члены, квадратичные по ты и v, которые представляют собой эффект объемного адвекция, малы по сравнению с другими терминами. Это называется геострофический баланс, что эквивалентно утверждению, что Число Россби маленький. Предполагая также, что высота волны очень мала по сравнению со средней высотой (час ≪ ЧАС) имеем (без учета боковых вязких сил):

{ displaystyle { begin {align} { frac { partial h} { partial t}} & + H left ({ frac { partial u} { partial x}} + { frac { partial v} { partial y}} right) = 0, [3pt] { frac { partial u} { partial t}} & - fv = -g { frac { partial h} { partial x}} - bu, [3pt] { frac { partial v} { partial t}} & + fu = -g { frac { partial h} { partial y}} - bv. end {выровнено}}}

Одномерные уравнения Сен-Венана

В одномерные (1-D) уравнения Сен-Венана были получены Адемар Жан Клод Барре де Сен-Венан, и обычно используются для моделирования переходных процессов. открытый поток и поверхностный сток. Их можно рассматривать как сжатие двумерных (2-D) уравнений мелкой воды, которые также известны как двумерные уравнения Сен-Венана. Одномерные уравнения Сен-Венана содержат в той или иной мере основные характеристики канала. форма поперечного сечения.

Одномерные уравнения широко используются в компьютерные модели Такие как TUFLOW, Маскарет (EDF), НИЦ (Ирштя), HEC-RAS,^[4] SWMM5, ISIS,^[4] InfoWorks,^[4] Модельер паводков, SOBEK 1DFlow, МАЙК 11,^[4] и МАЙК ОНА потому что их значительно легче решить, чем полное уравнение мелкой воды. Общие приложения одномерных уравнений Сен-Венана включают: маршрутизация наводнения вдоль рек (включая оценку мер по снижению рисков наводнений), анализ прорыва плотин, штормовых импульсов в открытом русле, а также ливневого стока в сухопутном потоке.

Уравнения

Поперечный разрез открытого канала.

Система уравнения в частных производных которые описывают 1-D несжимаемый поток в открытый канал произвольных поперечное сечение - как выведено и сформулировано Сен-Венаном в его статье 1871 года (уравнения 19 и 20) - это:^[5]

{ displaystyle { frac { partial A} { partial t}} + { frac { partial left (Au right)} { partial x}} = 0}

и

(1)

{ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} + u , { frac { partial u} { partial x}} + g , { frac { partial zeta} { частичный x}} = - { frac {P} {A}} , { frac { tau} { rho}},}

(2)

куда Икс - пространственная координата вдоль оси канала, т обозначает время, А(Икс,т) - поперечное сечение площадь потока в месте Икс, ты(Икс,т) это скорость потока, ζ(Икс,т) это свободная поверхность возвышение и τ (Икс,т) это стена напряжение сдвига вдоль смоченный периметр п(Икс,т) сечения при Икс. Далее ρ - (постоянная) жидкость плотность и грамм это гравитационное ускорение.

Закрытие из гиперболическая система уравнений (1)–(2) получается из геометрии поперечных сечений - путем обеспечения функциональной зависимости между площадью поперечного сечения А и отметка поверхности ζ в каждой позиции Икс. Например, для прямоугольного сечения с постоянной шириной канала B и возвышение русла канала z_б, площадь поперечного сечения составляет: А = B (ζ - z_б) = B час. Мгновенная глубина воды составляет час(Икс,т) = ζ (Икс,т) − z_б(Икс), с z_б(Икс) уровня пласта (т. е. высота самой низкой точки пласта над датумсм. фигура поперечного сечения). Для неподвижных стенок канала площадь поперечного сечения А в уравнении (1) можно записать как:

{ displaystyle A (x, t) = int _ {0} ^ {h (x, t)} b (x, h ') ; { mbox {d}} h',}

с б(Икс,час) эффективная ширина поперечного сечения канала в месте расположения Икс когда глубина жидкости час - так б(Икс,час) = B(Икс) для прямоугольных каналов.^[6]

Напряжение сдвига стенки τ зависит от скорости потока. ты, их можно связать, используя, например, то Уравнение Дарси – Вайсбаха., Формула укомплектования или же Формула Шези.

Далее, уравнение (1) это уравнение неразрывности, выражающее сохранение объема воды для этой несжимаемой однородной жидкости. Уравнение (2) это импульс уравнение, дающее баланс между силами и скоростью изменения импульса.

Наклон грядки S(Икс), крутизна трения S_ж(Икс,т) и гидравлический радиус р(Икс,т) определяются как:

{ displaystyle S = - { frac { mathrm {d} z _ { mathrm {b}}} { mathrm {d} x}},}

{ displaystyle S _ { mathrm {f}} = { frac { tau} { rho gR}}}

и

{ displaystyle R = { frac {A} {P}}.}

Следовательно, уравнение импульса (2) можно записать как:^[6]

{ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} + u , { frac { partial u} { partial x}} + g , { frac { partial h} { partial x}} + g , left (S _ { mathrm {f}} -S right) = 0.}

(3)

Сохранение импульса

Уравнение импульса (3) также можно преобразовать в так называемые форма сохранения, посредством некоторых алгебраических манипуляций с уравнениями Сен-Венана, (1) и (3). Что касается увольнять Q = Au:^[7]

{ displaystyle { frac { partial Q} { partial t}} + { frac { partial} { partial x}} left ({ frac {Q ^ {2}} {A}} + g , I_ {1} right) + g , A , left (S_ {f} -S right) -g , I_ {2} = 0,}

(4)

куда А, я₁ и я₂ являются функциями геометрии канала, описываемой шириной канала B(σ,Икс). Здесь σ - высота над самой низкой точкой поперечного сечения в местоположении Икссм. фигура поперечного сечения. Итак, σ - высота над уровнем кровати. z_б(Икс) (самой нижней точки в сечении):

{ Displaystyle { begin {align} A ( sigma, x) & = int _ {0} ^ { sigma} B ( sigma ^ { prime}, x) ; mathrm {d} sigma ^ { prime}, I_ {1} ( sigma, x) & = int _ {0} ^ { sigma} ( sigma - sigma ^ { prime}) , B ( sigma ^ { prime}, x) ; mathrm {d} sigma ^ { prime} qquad { text {and}} I_ {2} ( sigma, x) & = int _ {0} ^ { sigma} ( sigma - sigma ^ { prime}) , { frac { partial B ( sigma ^ { prime}, x)} { partial x}} ; mathrm {d } sigma ^ { prime}. end {выравнивается}}}

Вверху - в уравнении импульса (4) в консервационной форме - А, я₁ и я₂ оцениваются в σ = час(Икс,т). Период, термин грамм я₁ описывает гидростатический сила в определенном сечении. И для непризматический канал, грамм я₂ дает эффекты изменения геометрии вдоль оси канала Икс.

В приложениях, в зависимости от рассматриваемой проблемы, часто предпочитают использовать либо уравнение импульса в форме, не содержащей сохранения, (2) или же (3) или форма сохранения (4). Например, в случае описания гидравлические прыжки, форма сохранения предпочтительна, поскольку поток импульса непрерывно через прыжок.

Характеристики

Характеристики, область зависимости и область влияния, связанная с местонахождением п = (Икс_п,т_п) в космосе Икс и время т.

Уравнения Сен-Венана (1)–(2) можно проанализировать с помощью метод характеристик.^[8]^[9]^[10]^[11] Два ловкость dИкс/ дт на характеристических кривых:^[7]

{ displaystyle { frac { mathrm {d} x} { mathrm {d} t}} = u pm c,}

с

{ displaystyle c = { sqrt { frac {gA} {B}}}.}

В Число Фруда F = |ты| / c определяет, является ли поток субкритический (F < 1) или же сверхкритический (F > 1).

Для прямоугольного и призматического канала постоянной ширины B, т.е. с А = B h и c = √gh, то Инварианты Римана находятся:^[8]

{ displaystyle r _ {+} = u + 2 { sqrt {gh}}}

и

{ displaystyle r _ {-} = u-2 { sqrt {gh}},}

так что уравнения в характеристической форме:^[8]

{ displaystyle { begin {align} & { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} left (u + 2 { sqrt {gh}} right) = g left ( S-S_ {f} right) && { text {along}} quad { frac { mathrm {d} x} { mathrm {d} t}} = u + { sqrt {gh}} quad { text {and}} & { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} left (u-2 { sqrt {gh}} right) = g left ( S-S_ {f} right) && { text {along}} quad { frac { mathrm {d} x} { mathrm {d} t}} = u - { sqrt {gh}}. конец {выровнено}}}

Инварианты Римана и метод характеристик для призматического канала произвольного поперечного сечения описаны Диденкуловой и Пелиновским (2011).^[11]

Характеристики и инварианты Римана предоставляют важную информацию о поведении потока, а также о том, что они могут использоваться в процессе получения (аналитических или численных) решений.^[12]^[13]^[14]^[15]

Производное моделирование

Динамическая волна

Динамическая волна представляет собой полное одномерное уравнение Сен-Венана. Численно решить эту задачу сложно, но она действительна для всех сценариев руслового потока. Динамическая волна используется для моделирования переходных штормов в программах моделирования, включая Маскарет (EDF), НИЦ (Ирштя), HEC-RAS,^[16] InfoWorks_ICM,^[17] МАЙК 11,^[18] Стирка 123d^[19] и SWMM5.

В порядке возрастающих упрощений, удаляя некоторые члены из полных одномерных уравнений Сен-Венана (также известных как динамическое волновое уравнение), мы получаем также классическое диффузионное волновое уравнение и кинематическое волновое уравнение.

Диффузная волна

Для диффузной волны предполагается, что инерционные члены меньше членов гравитации, трения и давления. Поэтому диффузную волну можно более точно описать как неинерционную волну, и ее можно записать как:

{ displaystyle g { frac { partial h} { partial x}} + g (S_ {f} -S) = 0.}

Диффузионная волна действительна, когда инерционное ускорение намного меньше, чем все другие формы ускорения, или, другими словами, когда существует преимущественно докритический поток с низкими значениями Фруда. Модели, в которых используется допущение диффузной волны, включают: МАЙК ОНА^[20] и LISFLOOD-FP.^[21]. в НИЦ (Ирштя) В программном обеспечении эта опция также доступна, так как 2 члена инерции (или любой из них) могут быть удалены в опции из интерфейса.

Кинематическая волна

Для кинематическая волна Предполагается, что поток однороден, а угол наклона трения приблизительно равен наклону канала. Это упрощает полное уравнение Сен-Венана до кинематической волны:

{ displaystyle S_ {f} -S = 0.}

Кинематическая волна действительна, когда изменение высоты волны на расстоянии и скорости на расстоянии и во времени незначительно по отношению к уклону пласта, например для мелководья на крутых склонах.^[22] Кинематическая волна используется в HEC-HMS.^[23]

Вывод из уравнений Навье – Стокса.

Одномерное уравнение импульса Сен-Венана может быть получено из Уравнения Навье – Стокса которые описывают движение жидкости. В Икс-компонент уравнений Навье – Стокса - когда выражается в Декартовы координаты в Икс-направление - можно записать как:

{ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} + u { frac { partial u} { partial x}} + v { frac { partial u} { partial y}} + w { frac { partial u} { partial z}} = - { frac { partial p} { partial x}} { frac {1} { rho}} + nu left ({ frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} u} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} u} { partial z ^ {2}}} right) + f_ {x},}

куда ты - скорость в Икс-направление, v - скорость в у-направление, ш - скорость в z-направление, т время, п - давление, ρ - плотность воды, ν - кинематическая вязкость, а ж_Икс это сила тела в Икс-направление.

1.	Если предположить, что трение учитывается как массовая сила, то ${ displaystyle nu}$ можно принять равным нулю, поэтому: ${ displaystyle nu left ({ frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} u} { partial y ^ {2 }}} + { frac { partial ^ {2} u} { partial z ^ {2}}} right) = 0.}$
2.	Предполагая одномерное течение в Икс-направление следует, что:^[24] ${ displaystyle v { frac { partial u} { partial y}} + w { frac { partial u} { partial z}} = 0}$
3.	Предполагая также, что распределение давления приблизительно гидростатическое, следует, что:^[24] ${ displaystyle p = rho gh}$ или в дифференциальной форме: ${ Displaystyle partial p = rho g ( partial h).}$ И когда эти предположения применяются к Икс-компонента уравнений Навье – Стокса: ${ displaystyle - { frac { partial p} { partial x}} { frac {1} { rho}} = - { frac {1} { rho}} { frac { rho g left ( partial h right)} { partial x}} = - g { frac { partial h} { partial x}}.}$
4.	На жидкость в канале действуют 2 массовые силы, а именно сила тяжести и трение: ${ displaystyle f_ {x} = f_ {x, g} + f_ {x, f}}$ куда ж_{х, г} это сила тяжести тела и ж_{х, е} - объемная сила из-за трения.
5.	ж_{Икс,грамм} можно рассчитать, используя основы физики и тригонометрию:^[25] ${ Displaystyle F_ {g} = ( sin theta) gM}$ куда F_грамм это сила тяжести в Икс-направление, θ угол, а M масса. Рисунок 1: Схема движения блока по наклонной плоскости. Выражение для sin θ можно упростить с помощью тригонометрии как: ${ displaystyle sin theta = { frac { text {opp}} { text {hyp}}}.}$ Для малых θ (разумно почти для всех потоков) можно предположить, что: ${ displaystyle sin theta = tan theta = { frac { text {opp}} { text {adj}}} = S}$ и учитывая, что ж_Икс представляет силу на единицу массы, выражение принимает следующий вид: ${ displaystyle f_ {x, g} = gS.}$
6.	Если предположить, что линия энергетической ценности не совпадает с наклоном канала, а для достижения постоянного наклона есть постоянные потери на трение, отсюда следует, что:^[26] ${ displaystyle f_ {x, f} = S_ {f} g.}$
7.	Все эти предположения вместе приводят к одномерному уравнению Сен-Венана в Икс-направление: ${ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} + u { frac { partial u} { partial x}} + g { frac { partial h} { partial x}} + g (S_ {f} -S) = 0,}$ ${ Displaystyle (а) четырехъядерный (б) четырехъядерный (с) qquad (d) четырехъядерный (е) }$ где (a) - член местного ускорения, (b) - член конвективного ускорения, (c) - член градиента давления, (d) - член трения, и (e) - член силы тяжести.

Условия

Локальное ускорение (а) также можно рассматривать как «нестационарный термин», поскольку он описывает некоторое изменение скорости во времени. Конвективное ускорение (b) - это ускорение, вызванное некоторым изменением скорости относительно положения, например ускорением или замедлением жидкости, попадающей в сужение или отверстие, соответственно. Оба эти условия составляют инерция члены одномерного уравнения Сен-Венана.

Член градиента давления (c) описывает, как давление изменяется в зависимости от положения, и поскольку давление предполагается гидростатическим, это изменение напора над положением. Член трения (d) учитывает потери энергии из-за трения, а член силы тяжести (e) представляет собой ускорение из-за уклона пласта.

Моделирование волн с помощью уравнений мелкой воды

Уравнения мелкой воды можно использовать для моделирования Россби и Кельвин волны в атмосфере, реках, озерах и океанах, а также гравитационные волны в меньшей области (например, поверхностные волны в ванне). Для того чтобы уравнения мелкой воды были справедливыми, длина волны явления, которые они должны моделировать, должна быть намного больше, чем глубина бассейна, в котором это явление имеет место. С немного меньшими длинами волн можно справиться, расширив уравнения мелкой воды с помощью Приближение Буссинеска включить разброс последствия.^[27] Уравнения мелкой воды особенно подходят для моделирования приливов с очень большими масштабами длины (более сотни километров). Для приливного движения даже очень глубокий океан может считаться мелким, поскольку его глубина всегда будет намного меньше длины волны приливов.

Цунами генерации и распространения, как вычислено с помощью уравнений мелкой воды (красная линия; без частотной дисперсии)), и с Модель типа Буссинеска (синяя линия; с частотной дисперсией). Обратите внимание, что модель типа Буссинеска (синяя линия) образует солитон с оставшимся колеблющимся хвостом. Уравнения мелкой воды (красная линия) образуют крутой фронт, который приведет к формирование ствола, позже. Глубина воды 100 метров.

Моделирование турбулентности с использованием нелинейных уравнений мелкой воды

Снимок из моделирования уравнений мелкой воды, в которых присутствуют ударные волны.

Уравнения мелкой воды в нелинейной форме - очевидный кандидат на моделирование. турбулентность в атмосфере и океанах, т.е. геофизические турбулентность. Преимущество этого перед Квазигеострофические уравнения, заключается в том, что он допускает такие решения, как гравитационные волны, при этом сохраняя энергия и потенциальная завихренность. Однако есть и некоторые недостатки в том, что касается геофизических приложений - оно имеет неквадратичное выражение для полной энергии и склонность волн становиться ударные волны.^[28] Было предложено несколько альтернативных моделей, предотвращающих образование толчков. Одна из альтернатив - изменить «член давления» в уравнении импульса, но это приводит к сложному выражению для кинетическая энергия^[29]. Другой вариант - изменить нелинейные члены во всех уравнениях, что дает квадратное выражение для кинетическая энергия, избегает образования скачка, но сохраняет только линеаризованные потенциальная завихренность.^[30]

Примечания

^ "Уравнения мелкой воды" (PDF). Получено 2010-01-22.
^ Клинт Доусон и Кристофер М. Мирабито (2008). "Уравнения мелкой воды" (PDF). Получено 2013-03-28.
^ Кэрриер, Г.Ф.; Йе, Х. (2005), "Распространение цунами из конечного источника", Компьютерное моделирование в инженерии и науке, 10 (2): 113–122, Дои:10.3970 / cmes.2005.010.113
^ ^а ^б ^c ^d С. Неелц; Дж. Пендер (2009). «Рабочий стол пакетов 2D гидравлического моделирования». Совместное агентство по окружающей среде / Программа исследований и разработок по управлению рисками наводнений и прибрежной эрозии Defra (Научный отчет: SC080035): 5. Получено 2 декабря 2016.
^ Сен-Венан, A.J.C. Барре де (1871 г.), "Теория непостоянного движения воды, с применением aux crues des rivières и l'introduction de marées dans leurs lits", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 73: 147–154 и 237–240
^ ^а ^б Чоу, Вен Те (1959), Открытая гидравлика, Макгроу-Хилл, OCLC 4010975, §18-1 & §18-2.
^ ^а ^б Кундж, Дж. А., Ф. М. Холли-младший и А. Вервей (1980), Практические аспекты вычислительной речной гидравлики, Pitman Publishing, ISBN 0 273 08442 9, §§2.1 & 2.2
^ ^а ^б ^c Уизем, Дж. Б. (1974) Линейные и нелинейные волны, §§5.2 и 13.10, Wiley, ISBN 0-471-94090-9
^ Лайтхилл, Дж. (2005), Волны в жидкостях, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-01045-0, §§2.8–2.14
^ Мейер, Р. Э. (1960), Теория характеристик динамики невязкого газа. В: Гидродинамика / Strömungsmechanik, Энциклопедия физики IX, Ред. С. Флюгге & К. Трусделл , Springer, Берлин, ISBN 978-3-642-45946-7, стр. 225–282
^ ^а ^б Диденкулова, И .; Пелиновский, Е. (2011). «Волны-убийцы в нелинейных гиперболических системах (мелководный каркас)». Нелинейность. 24 (3): R1 – R18. Дои:10.1088 / 0951-7715 / 24/3 / R01.
^ Харрис, М. У .; Никольский, Д. Дж .; Пелиновский, Э. Н .; Рыбкин, А.В. (2015-03-01). «Набег нелинейных длинных волн в бухты трапециевидной формы: одномерная аналитическая теория и двумерные численные расчеты». Чистая и прикладная геофизика. 172 (3–4): 885–899. Bibcode:2015PApGe.172..885H. Дои:10.1007 / s00024-014-1016-3. ISSN 0033-4553.
^ Харрис, М. У .; Никольский, Д. Дж .; Пелиновский, Э. Н .; Pender, J.M .; Рыбкин, А.В. (01.05.2016). «Накат нелинейных длинных волн в U-образных бухтах конечной длины: аналитическая теория и численные расчеты». Журнал океанической инженерии и морской энергетики. 2 (2): 113–127. Дои:10.1007 / s40722-015-0040-4. ISSN 2198-6444.
^ Гарайшин, В. В .; Харрис, М. У .; Никольский, Д. Дж .; Пелиновский, Э. Н .; Рыбкин, А.В. (2016-04-10). «Аналитическое и численное исследование наката длинных волн в U-образных и V-образных бухтах». Прикладная математика и вычисления. 279: 187–197. Дои:10.1016 / j.amc.2016.01.005.
^ Андерсон, Далтон; Харрис, Мэтью; Хартл, Харрисон; Никольский, Дмитрий; Пелиновский, Ефим; Раз, Амир; Рыбкин, Алексей (02.02.2017). «Накопление длинных волн в кусочно-наклонные U-образные бухты». Чистая и прикладная геофизика. 174 (8): 3185. Bibcode:2017ПапГе.174.3185А. Дои:10.1007 / s00024-017-1476-3. ISSN 0033-4553.
^ Бруннер, Г. В. (1995), Система анализа рек HEC-RAS. Справочное руководство по гидравлике. Версия 1.0 Rep., DTIC Document.
^ Searby, D .; Дин, А .; Маргеттс Дж. (1998), Моделирование гидротехнических сооружений гавани Крайстчерч, Материалы осенней встречи WAPUG, Блэкпул, Великобритания.
^ Хавно, К., М. Мадсен, Дж. Дёрге и В. Сингх (1995), MIKE 11 - обобщенный пакет моделирования рек, Компьютерные модели гидрологии водоразделов., 733–782.
^ Ага, G .; Cheng, J .; Lin, J .; Мартин, В. (1995), Численная модель, имитирующая водный поток и перенос загрязняющих веществ и наносов в водосборных системах одномерной сети ручьев и рек, двухмерного наземного режима и трехмерных подземных сред. . Компьютерные модели гидрологии водоразделов, 733–782.
^ DHI (Датский гидравлический институт) (2011), MIKE SHE User Manual Volume 2: Reference Guide, под редакцией.
^ Бейтс, П., Т. Фьютрелл, М. Тригг и Дж. Нил (2008), руководство пользователя и техническое примечание LISFLOOD-FP, выпуск кода 4.3. 6, Бристольский университет.
^ Новак П. и др. Гидравлическое моделирование - введение: принципы, методы и приложения. 2010: CRC Press.
^ Шарффенберг, В. А. и М. Дж. Флеминг (2006), Система гидрологического моделирования HEC-HMS: Руководство пользователя, Инженерный корпус армии США, Центр инженерной гидрологии.
^ ^а ^б Винсент., Фромион (2009). Моделирование и управление гидросистемами. Springer. ISBN 9781848826243. OCLC 401159458.
^ «Наклонные самолеты». www.physicsclassroom.com. Получено 2017-05-16.
^ Методы., Haestad (2007). Компьютерные приложения в гидротехнике: соединение теории с практикой. Издательство Института Бентли. ISBN 978-0971414167. OCLC 636350249.
^ Дингеманс, М.В. (1997), Распространение волны по неровному дну, Продвинутая серия по океанской инженерии 13, World Scientific, Сингапур, стр. 473 и 516, ISBN 978-981-02-0427-3
^ Ожье, Пьер; Моханан, Ашвин Вишну; Линдборг, Эрик (17.09.2019). «Волновая турбулентность на мелководье». Журнал гидромеханики. 874: 1169–1196. Дои:10.1017 / jfm.2019.375. ISSN 1469-7645.
^ Бюлер, Оливер (1 сентября 1998 г.). «Модель мелкой воды, предотвращающая нелинейное закручивание гравитационных волн». Журнал атмосферных наук. 55 (17): 2884–2891. Дои:10.1175 / 1520-0469 (1998) 055 <2884: ASWMTP> 2.0.CO; 2. ISSN 0022-4928.
^ Линдборг, Эрик; Моханан, Ашвин Вишну (2017-11-01). «Двумерная игрушечная модель геофизической турбулентности». Физика жидкостей. 29 (11): 111114. Дои:10.1063/1.4985990. ISSN 1070-6631.

дальнейшее чтение

Баттьес, Дж. А.; Лабер, Р. Дж. (2017), Неустойчивый поток в открытых каналах, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017/9781316576878, ISBN 978-1-107-15029-4
Vreugdenhil, CB (1994), Численные методы для мелководья., Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792331643

внешняя ссылка

Вывод уравнений мелкой воды из первых принципов (вместо упрощения Уравнения Навье – Стокса, некоторые аналитические решения)

[swe-derivation-1] "Уравнения мелкой воды" (PDF). Получено 2010-01-22.

[2] Клинт Доусон и Кристофер М. Мирабито (2008). "Уравнения мелкой воды" (PDF). Получено 2013-03-28.

[3] Кэрриер, Г.Ф.; Йе, Х. (2005), "Распространение цунами из конечного источника", Компьютерное моделирование в инженерии и науке, 10 (2): 113–122, Дои:10.3970 / cmes.2005.010.113

[EA-4] а ^б ^c ^d С. Неелц; Дж. Пендер (2009). «Рабочий стол пакетов 2D гидравлического моделирования». Совместное агентство по окружающей среде / Программа исследований и разработок по управлению рисками наводнений и прибрежной эрозии Defra (Научный отчет: SC080035): 5. Получено 2 декабря 2016.

[Saint-Venant-5] Сен-Венан, A.J.C. Барре де (1871 г.), "Теория непостоянного движения воды, с применением aux crues des rivières и l'introduction de marées dans leurs lits", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 73: 147–154 и 237–240

[Ven_Te_Chow-6] а ^б Чоу, Вен Те (1959), Открытая гидравлика, Макгроу-Хилл, OCLC 4010975, §18-1 & §18-2.

[Cunge-7] а ^б Кундж, Дж. А., Ф. М. Холли-младший и А. Вервей (1980), Практические аспекты вычислительной речной гидравлики, Pitman Publishing, ISBN 0 273 08442 9, §§2.1 & 2.2

[Whitham-8] а ^б ^c Уизем, Дж. Б. (1974) Линейные и нелинейные волны, §§5.2 и 13.10, Wiley, ISBN 0-471-94090-9

[9] Лайтхилл, Дж. (2005), Волны в жидкостях, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-01045-0, §§2.8–2.14

[10] Мейер, Р. Э. (1960), Теория характеристик динамики невязкого газа. В: Гидродинамика / Strömungsmechanik, Энциклопедия физики IX, Ред. С. Флюгге & К. Трусделл , Springer, Берлин, ISBN 978-3-642-45946-7, стр. 225–282

[Didenkulova-11] а ^б Диденкулова, И .; Пелиновский, Е. (2011). «Волны-убийцы в нелинейных гиперболических системах (мелководный каркас)». Нелинейность. 24 (3): R1 – R18. Дои:10.1088 / 0951-7715 / 24/3 / R01.

[12] Харрис, М. У .; Никольский, Д. Дж .; Пелиновский, Э. Н .; Рыбкин, А.В. (2015-03-01). «Набег нелинейных длинных волн в бухты трапециевидной формы: одномерная аналитическая теория и двумерные численные расчеты». Чистая и прикладная геофизика. 172 (3–4): 885–899. Bibcode:2015PApGe.172..885H. Дои:10.1007 / s00024-014-1016-3. ISSN 0033-4553.

[13] Харрис, М. У .; Никольский, Д. Дж .; Пелиновский, Э. Н .; Pender, J.M .; Рыбкин, А.В. (01.05.2016). «Накат нелинейных длинных волн в U-образных бухтах конечной длины: аналитическая теория и численные расчеты». Журнал океанической инженерии и морской энергетики. 2 (2): 113–127. Дои:10.1007 / s40722-015-0040-4. ISSN 2198-6444.

[14] Гарайшин, В. В .; Харрис, М. У .; Никольский, Д. Дж .; Пелиновский, Э. Н .; Рыбкин, А.В. (2016-04-10). «Аналитическое и численное исследование наката длинных волн в U-образных и V-образных бухтах». Прикладная математика и вычисления. 279: 187–197. Дои:10.1016 / j.amc.2016.01.005.

[15] Андерсон, Далтон; Харрис, Мэтью; Хартл, Харрисон; Никольский, Дмитрий; Пелиновский, Ефим; Раз, Амир; Рыбкин, Алексей (02.02.2017). «Накопление длинных волн в кусочно-наклонные U-образные бухты». Чистая и прикладная геофизика. 174 (8): 3185. Bibcode:2017ПапГе.174.3185А. Дои:10.1007 / s00024-017-1476-3. ISSN 0033-4553.

[16] Бруннер, Г. В. (1995), Система анализа рек HEC-RAS. Справочное руководство по гидравлике. Версия 1.0 Rep., DTIC Document.

[17] Searby, D .; Дин, А .; Маргеттс Дж. (1998), Моделирование гидротехнических сооружений гавани Крайстчерч, Материалы осенней встречи WAPUG, Блэкпул, Великобритания.

[18] Хавно, К., М. Мадсен, Дж. Дёрге и В. Сингх (1995), MIKE 11 - обобщенный пакет моделирования рек, Компьютерные модели гидрологии водоразделов., 733–782.

[19] Ага, G .; Cheng, J .; Lin, J .; Мартин, В. (1995), Численная модель, имитирующая водный поток и перенос загрязняющих веществ и наносов в водосборных системах одномерной сети ручьев и рек, двухмерного наземного режима и трехмерных подземных сред. . Компьютерные модели гидрологии водоразделов, 733–782.

[20] DHI (Датский гидравлический институт) (2011), MIKE SHE User Manual Volume 2: Reference Guide, под редакцией.

[21] Бейтс, П., Т. Фьютрелл, М. Тригг и Дж. Нил (2008), руководство пользователя и техническое примечание LISFLOOD-FP, выпуск кода 4.3. 6, Бристольский университет.

[22] Новак П. и др. Гидравлическое моделирование - введение: принципы, методы и приложения. 2010: CRC Press.

[23] Шарффенберг, В. А. и М. Дж. Флеминг (2006), Система гидрологического моделирования HEC-HMS: Руководство пользователя, Инженерный корпус армии США, Центр инженерной гидрологии.

[:0-24] а ^б Винсент., Фромион (2009). Моделирование и управление гидросистемами. Springer. ISBN 9781848826243. OCLC 401159458.

[25] «Наклонные самолеты». www.physicsclassroom.com. Получено 2017-05-16.

[26] Методы., Haestad (2007). Компьютерные приложения в гидротехнике: соединение теории с практикой. Издательство Института Бентли. ISBN 978-0971414167. OCLC 636350249.

[27] Дингеманс, М.В. (1997), Распространение волны по неровному дну, Продвинутая серия по океанской инженерии 13, World Scientific, Сингапур, стр. 473 и 516, ISBN 978-981-02-0427-3

[28] Ожье, Пьер; Моханан, Ашвин Вишну; Линдборг, Эрик (17.09.2019). «Волновая турбулентность на мелководье». Журнал гидромеханики. 874: 1169–1196. Дои:10.1017 / jfm.2019.375. ISSN 1469-7645.

[29] Бюлер, Оливер (1 сентября 1998 г.). «Модель мелкой воды, предотвращающая нелинейное закручивание гравитационных волн». Журнал атмосферных наук. 55 (17): 2884–2891. Дои:10.1175 / 1520-0469 (1998) 055 <2884: ASWMTP> 2.0.CO; 2. ISSN 0022-4928.

[30] Линдборг, Эрик; Моханан, Ашвин Вишну (2017-11-01). «Двумерная игрушечная модель геофизической турбулентности». Физика жидкостей. 29 (11): 111114. Дои:10.1063/1.4985990. ISSN 1070-6631.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

v т е Физическая океанография
Волны	Теория волн Эйри Шкала баллантина Неустойчивость Бенджамина – Фейра Приближение Буссинеска Разбивающаяся волна Клапотис Кноидальная волна Пересечь море Дисперсия Краевая волна Экваториальные волны Принести Гравитационная волна Закон Грина Инфрагравитационная волна Внутренняя волна Число Ирибаррена Волна Кельвина Кинематическая волна Береговой дрейф Вариационный принцип Люка Уравнение с умеренным наклоном Радиационный стресс Разбойная волна Волна Россби Россби-гравитационные волны Состояние моря Seiche Значительная высота волны Солитон Пограничный слой Стокса Стоксов дрейф Волна Стокса Опухать Трохоидальная волна Цунами Мегацунами Прилив Номер урселла Волновое действие Волновая база Высота волны Мощность волны Волновой радар Настройка волны Обмеление волн Волновая турбулентность Взаимодействие волна-ток Волны и мелководье одномерные уравнения Сен-Венана уравнения мелкой воды Ветровая волна модель
Тираж	Атмосферная циркуляция Бароклинность Граничный ток Сила Кориолиса Сила Кориолиса – Стокса Вихревая сила Крейка – Лейбовича Даунвеллинг Эдди Слой Экмана Спираль Экмана Экман транспорт Эль-Ниньо – Южное колебание Модель общей циркуляции Исследование геохимических разрезов океана Геострофическое течение Проект анализа глобальных океанических данных Гольфстрим Галотермальная циркуляция Гумбольдтовское течение Гидротермальная циркуляция Ленгмюровское кровообращение Береговой дрейф Контурный ток Модульная модель океана океаническое течение Динамика океана Круговорот океана Принстонская модель океана Ток разрыва Подземные течения Баланс Свердрупа Термохалинное кровообращение неисправность Апвеллинг Ток, генерируемый ветром Водоворот Эксперимент по циркуляции Мирового океана
Приливы	Амфидромная точка Земной прилив Глава прилива Внутренний прилив Лунный интервал Перигей весенний прилив Rip tide Правило двенадцатых Стоячая вода Приливная скважина Приливная сила Приливная сила Приливная гонка Приливный диапазон Приливный резонанс Датчик приливов и отливов Линия прилива Теория приливов
Формы рельефа	Глубинный веер Абиссальная равнина Атолл Батиметрическая карта Прибрежная география Холодное просачивание Континентальная окраина Континентальный подъем континентальный шельф Контурит Гайо Гидрография Океанический бассейн Плато океана Океанический желоб Пассивная маржа Морское дно Подводная гора Подводный каньон Подводный вулкан
Пластина тектоника	Сходящаяся граница Расходящаяся граница Зона перелома Гидротермальный источник Морская геология Срединно-океанский хребет Разрыв Мохоровича Гипотеза Вайна – Мэтьюза – Морли Океаническая кора Зыбь наружной траншеи Ридж-толчок Распространение морского дна Вытягивание плиты Всасывание плиты Плиточное окно Субдукция Преобразовать ошибку Вулканическая дуга
Океанские зоны	Бентосный Глубокая океанская вода Глубокое море Литораль Мезопелагический Океанический Пелагический Photic Серфинг Swash
Уровень моря	Глубоководная оценка цунами и представление сообщений о них Будущий уровень моря Глобальная система наблюдения за уровнем моря Оперативная океанографическая система Северо-Западного шельфа Кривая уровня моря Повышение уровня моря Мировая геодезическая система
Акустика	Глубокий рассеивающий слой Гидроакустика Акустическая томография океана Софар бомба ГНФАР канал Подводная акустика
Спутники	Джейсон-1 Джейсон-2 (Миссия по топографии поверхности океана) Джейсон-3
Связанный	Арго Бентический спускаемый аппарат Цвет воды DSV Элвин Окраинное море Морская энергия загрязнение морской среды Швартовка Национальный центр океанографических данных Океан Исследование океана Наблюдения за океаном Реанализ океана Топография поверхности океана Преобразование тепловой энергии океана Океанография Пелагический осадок Микрослой морской поверхности Температура поверхности моря Морская вода Наука о сфере Термоклин Подводный планер Толщина воды Атлас Мирового океана
Портал океанов Категория Commons

Navigation

Navigation

Themenportale

WikiDer > Уравнения мелкой воды - Википедия

Содержание

Уравнения

Консервативная форма

Неконсервативная форма

Одномерные уравнения Сен-Венана

Уравнения

Сохранение импульса

Характеристики

Производное моделирование

Динамическая волна

Диффузная волна

Кинематическая волна

Вывод из уравнений Навье – Стокса.

Моделирование волн с помощью уравнений мелкой воды

Моделирование турбулентности с использованием нелинейных уравнений мелкой воды

Примечания

дальнейшее чтение

внешняя ссылка