WikiDer > Полная производная

Total derivative

В математика, то полная производная функции ж в какой-то момент лучший линейное приближение около этой точки функции по отношению к ее аргументам. В отличие от частные производные, полная производная приближает функцию по всем ее аргументам, а не только по одному. Во многих ситуациях это то же самое, что рассматривать все частные производные одновременно. Термин «полная производная» в основном используется, когда ж является функцией нескольких переменных, потому что когда ж является функцией одной переменной, полная производная такая же, как производная функции.[1]:198–203

«Полная производная» иногда также используется как синоним для материальная производная в механика жидкости.

Полная производная как линейное отображение

Позволять быть открытое подмножество. Тогда функция называется (полностью) дифференцируемый в какой-то момент если существует линейное преобразование такой, что

В линейная карта называется (Всего) производная или же (Всего) дифференциал из в . Другие обозначения для полной производной включают: и . Функция (полностью) дифференцируемый если его полная производная существует в каждой точке его области определения.

Концептуально определение полной производной выражает идею, что наилучшее линейное приближение к в момент . Это может быть уточнено путем количественной оценки ошибки линейного приближения, определяемой . Для этого напишите

куда равна ошибке аппроксимации. Сказать, что производная от в является эквивалентно утверждению

куда является маленькая нотация и указывает, что намного меньше, чем так как . Полная производная это уникальный линейное преобразование, для которого погрешность так мала, и в этом смысле это наилучшее линейное приближение к .

Функция дифференцируема тогда и только тогда, когда каждая ее составляющая является дифференцируемым, поэтому при изучении полных производных часто можно работать по одной координате за раз в кодомене. Однако то же самое нельзя сказать о координатах в области. Это правда, что если дифференцируема в , то каждая частная производная существует в . Обратное неверно: может случиться так, что все частные производные от в существуют, но не дифференцируема в . Это означает, что функция очень "грубая" на , до такой степени, что его поведение не может быть адекватно описано его поведением в координатных направлениях. Когда не так уж и грубо, этого не может быть. Точнее, если все частные производные от в существуют и непрерывны в окрестности , тогда дифференцируема в . Когда это происходит, то, кроме того, полная производная от - линейное преобразование, соответствующее Матрица якобиана частных производных в этой точке.[2]

Полная производная как дифференциальная форма

Когда рассматриваемая функция является действительной, полная производная может быть преобразована с использованием дифференциальные формы. Например, предположим, что дифференцируемая функция переменных . Полная производная от в можно записать в терминах его матрицы Якоби, которая в данном случае является матрицей-строкой ( транспонировать из градиент):

Из свойства линейной аппроксимации полной производной следует, что если

- небольшой вектор (где обозначает транспонирование, так что этот вектор является вектором-столбцом), то

Эвристически это предполагает, что если находятся бесконечно малый увеличивается в направлениях координат, затем

Фактически, понятие бесконечно малого, которое здесь является просто символическим, может быть дополнено обширной математической структурой. Такие методы, как теория дифференциальные формы, эффективно давать аналитические и алгебраические описания объектов, например бесконечно малые приращения, . Например, может быть вписан как линейный функционал в векторном пространстве . Оценка в векторе в измеряет, сколько точки в -ое координатное направление. Полная производная представляет собой линейную комбинацию линейных функционалов и, следовательно, сам является линейным функционалом. Оценка измеряет, сколько указывает в направлении, определяемом в , и это направление - градиент. Эта точка зрения делает полную производную экземпляром внешняя производная.

Предположим теперь, что является векторнозначной функцией, т. е. . В этом случае компоненты из являются действительными функциями, поэтому им соответствуют дифференциальные формы . Полная производная объединяет эти формы в один объект и, следовательно, является экземпляром векторнозначная дифференциальная форма.

Цепное правило для полных производных

Цепное правило имеет особенно элегантную формулировку в терминах полных производных. В нем говорится, что для двух функций и , полная производная композитного в удовлетворяет

Если полные производные от и отождествляются со своими матрицами Якоби, то композиция в правой части является простым умножением матриц. Это чрезвычайно полезно в приложениях, поскольку позволяет учитывать по существу произвольные зависимости между аргументами составной функции.

Пример: дифференциация с прямыми зависимостями

Предположим, что ж является функцией двух переменных, Икс и у. Если эти две переменные независимы, так что область определения ж является , то поведение ж можно понимать в терминах его частных производных в Икс и у направления. Однако в некоторых ситуациях Икс и у может быть зависимым. Например, может случиться так, что ж ограничен кривой . В данном случае нас действительно интересует поведение составной функции . Частная производная от ж относительно Икс не дает истинной скорости изменения ж в отношении изменения Икс потому что изменение Икс обязательно меняет у. Однако цепное правило для полной производной учитывает такие зависимости. Написать . Тогда цепное правило гласит

Выражая полную производную с помощью якобианских матриц, получаем:

Подавление оценки на для наглядности мы также можем написать это как

Это дает простую формулу для производной от в терминах частных производных от и производная от .

Например, предположим

Скорость изменения ж относительно Икс обычно является частной производной от ж относительно Икс; в таком случае,

Однако если у зависит от Икс, частная производная не дает истинной скорости изменения ж так как Икс изменяется, потому что частная производная предполагает, что у фиксированный. Предположим, мы ограничены линией

потом

и полная производная от ж относительно Икс является

которая, как мы видим, не равна частной производной . Вместо немедленной замены у с точки зрения Иксоднако мы также можем использовать цепное правило, как указано выше:

Пример: дифференциация с косвенными зависимостями

Хотя часто можно выполнять замены для устранения косвенных зависимостей, Правило цепи обеспечивает более эффективную и общую технику. Предполагать это функция времени и переменные которые сами зависят от времени. Тогда производная по времени от является

Цепное правило выражает эту производную через частные производные от и производные по времени функций :

Это выражение часто используется в физика для калибровочное преобразование из Лагранжиан, как два лагранжиана, которые отличаются только полной производной по времени от функции времени и обобщенные координаты приводят к одним и тем же уравнениям движения. Интересный пример касается разрешения причинно-следственной связи Симметричная по времени теория Уиллера – Фейнмана. Оператор в скобках (в последнем выражении выше) также называется оператором полной производной (по отношению к ).

Например, полная производная от является

Здесь нет срок с сам по себе не зависит от независимой переменной прямо.

Полное дифференциальное уравнение

А полное дифференциальное уравнение это дифференциальное уравнение выражается в виде общих производных финансовых инструментов. Поскольку внешняя производная безкоординатный, в том смысле, который может иметь технический смысл, такие уравнения являются внутренними и геометрический.

Приложение к системам уравнений

В экономика, полная производная обычно возникает в контексте системы уравнений.[1]:стр. 217–220 Например, простой система спроса и предложения может указать количество q продукта, востребованного как функция D его цены п и доход потребителей я, последний экзогенная переменная, и может указывать количество, поставляемое производителями, как функцию S его цены и двух экзогенных переменных стоимости ресурсов р и ш. Полученная система уравнений

определяет рыночные равновесные значения переменных п и q. Полная производная из п относительно р, например, дает знак и величину реакции рыночной цены на экзогенную переменную р. В указанной системе всего шесть возможных полных производных, также известных в этом контексте как сравнительные статические производные: дп / доктор, дп / dw, дп / dI, dq / доктор, dq / dw, и dq / dI. Полные производные находятся путем полного дифференцирования системы уравнений с делением, скажем, на доктор, лечение dq / доктор и дп / доктор как неизвестные, устанавливая dI = dw = 0, и решение двух полностью дифференцированных уравнений одновременно, обычно с использованием Правило Крамера.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-010813-7.
  2. ^ Авраам, Ральф; Марсден, Дж. Э.; Ратиу, Тюдор (2012). Многообразия, тензорный анализ и приложения. Springer Science & Business Media. п. 78.
  • Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание), Чепмен и Холл / CRC Press, Бока-Ратон, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • Из thesaurus.maths.org полная производная

внешняя ссылка