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Spezielle Relativitätstheorie
${displaystyle {E},=m,c^{2}}$
(das Masse-Energie-Beziehung)
Hintergrund Lichtgeschwindigkeit Trägheitsrahmen Maxwells Gesetze
Grundsätzliche Konzepte Freizeit vier vektor · Minkowski-Raum Minkowski-Diagramm Gleichzeitigkeit Lorentz-Transformation · Lorentz-Varianz Längenkontraktion · Zeitdilatation
Fortgeschrittene Themen Masse-Energie-Beziehung Zwillingsparadoxon EPR-Paradoxon
Experimente Michelson-Morley-Experiment Fizeau-Experiment Energieerzeugung bei Kernreaktionen
Wissenschaftler Einstein · Maxwell · Minkowski Lorentz · poincare

EIN vier vektor ist ein elementares mathematisches Objekt im (speziellen) Relativitätstheorie. Es ist eine Erweiterung des Konzepts Vektor in dem klassische Physik. So wie ein gewöhnlicher physikalischer Vektor eine physikalische Größe ist, die unabhängig von der Koordinatensystem Bedeutung hat und je nach Koordinatensystem durch drei Koordinaten gegeben ist, also ist ein Vierervektor eine physikalische Größe, die auch unabhängig vom Koordinatensystem Bedeutung hat und abhängig von der Trägheitsrahmen ist gegeben durch a Skalar und ein Vektor, die zusammen durch vier dargestellt werden Koordinaten.

Vorwort

Die Grundidee der spezielle Relativitätstheorie ist die Gleichbehandlung von Platz und Zeit. Dies folgt aus der Einsicht, dass Raum und Zeit keine getrennten Größen sind, sondern zusammen ein Ganzes bilden, Freizeit namens. Diese Einsicht ist eine notwendige Konsequenz der experimentellen Beobachtung, dass die Lichtgeschwindigkeit hat für alle Beobachter, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, den gleichen Wert (Inertialrahmen).

Ein ähnliches Phänomen tritt in der klassischen Mechanik auf. Es ist klar, dass man ein System in verschiedenen Koordinatensystemen beschreiben kann. Der sogenannten x-, y- und z-Koordinate kann also keine absolute Bedeutung beigemessen werden. In der Mechanik wird häufig von Vektoren: viele Größen wie Geschwindigkeit, Position, Kraft usw., die natürlich aus drei Komponenten bestehen. Unabhängig davon haben die Komponenten keine physikalische Bedeutung, da eine andere Wahl des Koordinatensystems die Werte der Komponenten des Vektors ändert. Als Ganzes ist ein Vektor sinnvoll und wird daher tatsächlich teilweise dadurch definiert, wie sich die Komponenten bei einem Wechsel des Koordinatensystems ändern.

Das Konzept der vier Vektoren verallgemeinert dieses Konzept, grob gesagt, indem es auch Vektoren eine Zeitkomponente hinzufügt. Das einfachste Beispiel ist die Bezeichnung eines Ortes. In der klassischen Mechanik geschieht dies durch drei Koordinaten ${Anzeigestil x,y}$ und ${Anzeigestil z}$ aufgeben. Das beschreibt eine bestimmte Position im Raum, ohne eine Zeitangabe zu machen. EIN Position-Vier-Vektor (Raumzeitposition) sieht so aus:

${displaystyle(ct,x,y,z)}$

und bestimmt damit eine Position ${Anzeigestil(x,y,z)}$ zu einer bestimmten Zeit ${displaystyle t}$. Mit anderen Worten: Dieser Vektor beschreibt die Position von a Veranstaltung in der Raumzeit. Im obigen Ausdruck ist ${Anzeigestil c}$ das Lichtgeschwindigkeit, die als Faktor garantiert, dass die verschiedenen Komponenten der vier Vektoren alle die gleiche Einheitslänge haben. Für eine prägnante Notation ist es üblich, einen Vektor zu verwenden ${Anzeigestil(x,y,z)}$ schreiben als ${Displaystil x^{i}}$, mit ${Displaystil i=1,2,3}$. Analog wird ein Positions-4-Vektor notiert als

${displaystyle {vec {X}}^{mu}=(X^{0},X^{1},X^{2},X^{3})}$

mit ${Anzeigestil mu =0.1,2.3.}$

Es wird auch vermerkt

${displaystyle {vec {X}}=links(ct,x,y,zight)}$

In ähnlicher Weise kann man die Differenz zwischen zwei Positionen in der Raumzeit wie folgt darstellen:

${Anzeigestil Delta {vec {X}}=links(Delta ct,Delta x,Delta y,Delta zight)}$

Minkowskitensor

Das Minkowski-Tensor${displaystyle eta _{mu u }}$ = diag (1,-1,-1,-1) ist der metrischer Tensor für die spezielle Relativitätstheorie. Dies definiert a symmetrische bilineare Form für vier Vektoren:

${displaystyle {vec {U}}cdot {vec {V}}=eta_{mu u}U^{mu}V^{u}=links(U^{0},U^{1},U^{ 2},U^{3}ight)left({ egin{matrix}1&0&0&0/0&-1&0&0/0&0&-1&0/0&0&0&-1end{matrix}}ight){ egin{bmatrix}V^{0}/V^{ 1}/V^{2}/V^{3}Ende{bmatrix}}=U^{0}V^{0}-U^{1}V^{1}-U^{2}V^{ 2}-U^{3}V^{3}}$

mit begleitendem quadratische Form:

${displaystyle {vec {U}}cdot {vec {U}}=eta _{mu u }U^{mu}U^{u}=(U^{0})^{2}-(U^{1 })^{2}-(U^{2})^{2}-(U^{3})^{2}}$

Manchmal ein anderer Zeichnungskonvention verwendet, wo die Matrix ${displaystyle eta _{mu u }}$ hat entgegengesetzte Vorzeichen auf der Diagonale: ${Anzeigestil (-1,1,1,1)}$

Lorentz-Transformationen

sehen Lorentz-Transformation für den Hauptartikel zu diesem Thema.

In der speziellen Relativitätstheorie, theiviteit Galileo-Transformationen wird ersetzt durch Lorentz-Transformationen. Diese beschreiben, wie sich die Koordinaten ändern, wenn man sich von Trägheitsrahmen ändert, d. h. auf ein System umschaltet, das sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zum ersten bewegt. Wenn diese Geschwindigkeit im (positiven oder negativen) X-Richtung, dann gilt:

${displaystyle { egin{cases}ct'&=gamma links(ct-{frac {v}{c}}xight)/x'&=gamma links(x-vtight)=gamma links(x-{frac {v} {c}}ctight)/y'&=y/z'&=senden{cases}}}$

mit ${displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ das Lorentzfaktor.Sie können dies auch tun in Matrixform schreiben:

${displaystyle { egin{bmatrix}ct'/x'/y'/z'end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}gamma &- eta gamma &0&0/- eta gamma &gamma &0&0/0&0&1&0/0&0&0&1/end{bmatrix} }{ egin{bmatrix}c,t/x/y/senden{bmatrix}} }$

mit ${displaystyle eta ={frac {v}{c}}}$ und ${displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-eta ^{2}}}}}}$

Wenn die relative Geschwindigkeit v der Systeme in eine beliebige Richtung verläuft, dann erhalten wir in Blockmatrixnotation:

${displaystyle { egin{bmatrix}ct'/mathbf {r'} end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}gamma &-gamma { oldsymbol { eta }}^{ mathrm {T} }/-gamma { oldsymbol { eta }}&mathbf {I} (gamma -1){ oldsymbol { eta }}{ oldsymbol { eta }}^{ mathrm {T} }/eta ^{2}/end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}ct/mathbf {r} Ende{bmatrix}},}$

bei welchem ich die 3×3 Einheitenmatrix ist, β = v/c und T Umsetzung zeigt an.

Dieses symmetrische Matrix gilt für einen Wechsel des Inertialsystems ohne Drehung und mit konstantem Ursprung auch für alle anderen Arten von vier Vektoren.

Einstein-Notation

Im Einstein-Notation mit Unterscheidung zwischen Kovariante vier Vektoren (wie die vier Positionen) und Kontravariante vier Vektoren, wie oben bereits angewendet, gilt für a mit kontravarianten vier Vektoren ${Displaystil U^{mu}}$ assoziieren Kovariante Vektor ${Displaystil U_{u}}$:

${displaystyle U_{u}=eta_{mu u}U^{mu}}$

und umgekehrt:

${displaystyle U^{mu}=eta ^{mu u}U_{u}}$

hier ist ${displaystyle eta ^{mu u }}$ das invers vom Minkowski-Tensor ${displaystyle eta _{mu u }}$, die die gleichen Elemente hat, ist die Matrix wieder diag(1,-1,-1,-1).

Das lorentinische Varianz bedeutet wie gesagt ${displaystyle eta _{mu u}U^{mu}U^{u}=U^{mu}U_{mu}}$ hängt nicht vom Inertialsystem ab.

Beispiele

Position vier Vektor

Die bereits erwähnte Position-Vier-Vektor/Raumzeit-Position hat die Form ${displaystyle { egin{bmatrix}ct/mathbf {r} end{bmatrix}}}$. Für ein Objekt erhält man als Funktion der eigene Zeit${Displaystil autsch ,}$ So ${displaystyle { egin{bmatrix}ct(au)/mathbf {r} (au)end{bmatrix}}}$.

unten Raumzeitintervall ist verstanden ${displaystyle c^{2}(Delta t)^{2}-||Delta mathbf {r} ||^{2}}$, die nicht vom Inertialsystem abhängt.

vier Geschwindigkeiten

Die vier Geschwindigkeiten V eines Objekts ist die Ableitung der Raumzeitposition als Funktion der Eigenzeit, ${displaystyle gamma { egin{bmatrix}c/mathbf {v} end{bmatrix}}}$, mit ${displaystyle mathbf {v} }$ der gewöhnliche Geschwindigkeit.

Es gibt ${displaystyle g_{mu u }mathbf {V} ^{mu }mathbf {V} ^{u }=mathbf {V} ^{mu }mathbf {V} _{u }=c^{2}}$.

Vier Impulse

Der Viererimpuls ist der Vierervektor, der dem . entspricht Impuls. Es ist der Restmenge ich₀ mal die vier Geschwindigkeiten:

${displaystyle mathbf {P} =m_{0}mathbf {V} =m_{0}gamma { egin{bmatrix}c/mathbf {v} end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}E/c/mathbf {p } Ende{bmatrix}}}$

${displaystyle mathbf {p} = m_{0}gamma mathbf {v} }$ ist hiermit die relativistischer Impuls.

Es gibt ${displaystyle eta _{mu u }mathbf {P} ^{mu }mathbf {P} ^{u }=mathbf {P} ^{mu }mathbf {P} _{u }=m_{0}^{2} c^{2}=E^{2}/c^{2}-||mathbf {p} ||^{2}}$ (EnergieImpulsbeziehung).

vier Macht

Die Viererkraft ist der Vierervektor entsprechend Leistung. Es ist die Ableitung der vier Impulse nach der Eigenzeit:

${displaystyle {vec {F}}={d{vec {P}} über d au }}$

Wir können jetzt verallgemeinern Newtons zweites Gesetz schreibe in Form von vier Vektoren:

${displaystyle {vec {F}}=m{vec {A}}=left(gamma {dgamma über dt}mc,gamma {vec {f}}ight)}$

mit

${displaystyle {vec {f}}=mlft({dgamma über dt}{vec {v}} gamma {d{vec {v}} über dt}ight)}$

Siehe auch

• vier aktuelle
• vier Potenzial (die vier Vektoren, die mit dem elektrischen und magnetischen Potenzial verbunden sind)
• vier Gradienten
• Spezielle Relativitätstheorie
• Tensoren in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Verweise

• Charles W. Misner, Huhn S. Thorne & John A. Wheeler, Gravitation, ISBN 0716703440
• Rindler, W. Einführung in die Spezielle Relativitätstheorie (2. Aufl.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5
• R. d'Inverno, Einführung in Einsteins Relativität, Oxford University Press, ISBN 0198596863