WikiDer > Волновой вектор

Wave vector

В физика, а волновой вектор (также пишется волновой вектор) это вектор что помогает описать волна. Как и любой вектор, он имеет величина и направление, оба из которых важны. Его величина либо волновое число или угловое волновое число волны (обратно пропорционально длина волны), и его направление обычно является направлением распространение волн (но не всегда, см. ниже).

В контексте специальная теория относительности волновой вектор также можно определить как четырехвекторный.

Определения

Длина волны синусоидальная волна, λ, можно измерить между любыми двумя последовательными точками с одинаковым фаза, например, между соседними гребнями, впадинами или соседними нулевые переходы с тем же направлением транзита, как показано.

Есть два общих определения волнового вектора, различающиеся по величине в 2π раза. Одно определение предпочтительнее в физика и связанных полей, в то время как другое определение предпочтительнее в кристаллография и связанные области.^[1] В этой статье они будут называться «физическим определением» и «определением кристаллографии» соответственно.

В обоих определениях ниже величина волнового вектора представлена как ${ displaystyle k}$ ; направление волнового вектора обсуждается в следующем разделе.

Определение физики

Идеальный одномерный бегущая волна следует уравнению:

{ Displaystyle пси (х, т) = А соз (кх- омега т + varphi)}

где:

Икс это позиция,
т время,
${ displaystyle psi}$ (функция Икс и т) - возмущение, описывающее волну (например, для океанская волна, ${ displaystyle psi}$ будет избыточной высотой воды, или для звуковая волна, ${ displaystyle psi}$ было бы избытком давление воздуха).
А это амплитуда волны (максимальная амплитуда колебаний),
${ displaystyle varphi}$ это фазовый сдвиг описывая, как две волны могут быть не синхронизированы друг с другом,
${ displaystyle omega}$ временный угловая частота волны, описывающей, сколько колебаний она совершает за единицу времени, и связанных с период ${ displaystyle T}$ по уравнению ${ displaystyle omega = 2 pi / T}$ ,
${ displaystyle k}$ - пространственная угловая частота (волновое число) волны, описывающей, сколько колебаний она совершает на единицу пространства, и связанной с длина волны по уравнению ${ Displaystyle к = 2 пи / лямбда}$ .

${ displaystyle k}$ - величина волнового вектора. В этом одномерном примере направление волнового вектора тривиально: эта волна распространяется в направлении + x со скоростью (точнее, фазовая скорость) ${ displaystyle omega / k}$ . В многомерная система, скаляр ${ displaystyle kx}$ будет заменен векторным скалярным произведением ${ Displaystyle { mathbf {k}} cdot { mathbf {r}}}$ , представляющие волновой вектор и вектор положения соответственно.

Определение кристаллографии

В кристаллография, одни и те же волны описываются немного разными уравнениями.^[2] В одном и трех измерениях соответственно:

{ Displaystyle psi (х, t) = A соз (2 пи (kx- nu t) + varphi)}

{ displaystyle psi left ({ mathbf {r}}, t right) = A cos left (2 pi ({ mathbf {k}} cdot { mathbf {r}} - nu t) + varphi right)}

Различия между двумя приведенными выше определениями заключаются в следующем:

Угловая частота ${ displaystyle omega}$ используется в определении физики, а частота ${ displaystyle nu}$ используется в определении кристаллографии. Они связаны ${ Displaystyle 2 пи ню = омега}$ . Эта замена не важна для данной статьи, но отражает общепринятую практику кристаллографии.
Волновое число ${ displaystyle k}$ и волновой вектор k определяются по-другому: в приведенном выше определении физики ${ Displaystyle к = | { mathbf {k}} | = 2 пи / лямбда}$ , а в приведенном ниже определении кристаллографии ${ Displaystyle к = | { mathbf {k}} | = 1 / лямбда}$ .

Направление k обсуждается в следующий раздел.

Направление волнового вектора

Направление, в котором указывает волновой вектор, необходимо отличать от "направления" распространение волн"." Направление распространения волны "- это направление потока энергии волны, а направление, по которому волновой пакет будет двигаться, т.е. в направлении групповая скорость. Для световых волн это также направление Вектор Пойнтинга. С другой стороны, волновой вектор указывает в направлении фазовая скорость. Другими словами, волновой вектор указывает на нормальное направление к поверхности постоянной фазы, также называется волновые фронты.

В без потерь изотропная среда например воздух, любой газ, любая жидкость, аморфные твердые тела (такие как стекло), и кубические кристаллы направление волнового вектора точно такое же, как направление распространения волны. Если среда анизотропна, волновой вектор в целом указывает в направлениях, отличных от направления распространения волны. Условие для того, чтобы волновой вектор указывал в том же направлении, в котором распространяется волна, состоит в том, что волна должна быть однородной, что не обязательно выполняется, когда среда анизотропна. В однородный волны поверхности постоянной фазы также являются поверхностями постоянной амплитуды. В случае неоднородных волн эти два вида поверхностей различаются по ориентации. Волновой вектор всегда перпендикулярен поверхности постоянной фазы.

Например, когда волна проходит через анизотропная среда, такие как световые волны через асимметричный кристалл или звуковые волны через осадочная породаволновой вектор может не указывать точно в направлении распространения волны.^[3]^[4]

В физике твердого тела

В физика твердого тела, "волновой вектор" (также называемый k-вектор) из электрон или дыра в кристалл волновой вектор его квантово-механический волновая функция. Эти электронные волны необычны. синусоидальный волны, но у них есть своего рода функция конверта которая является синусоидальной, а волновой вектор определяется через эту огибающую волну, обычно с использованием "физического определения". Увидеть Теорема Блоха для получения дополнительной информации.^[5]

В специальной теории относительности

Движущуюся волновую поверхность в специальной теории относительности можно рассматривать как гиперповерхность (трехмерное подпространство) в пространстве-времени, образованную всеми событиями, прошедшими через волновую поверхность. Цепь волн (обозначаемая некоторой переменной X) можно рассматривать как однопараметрическое семейство таких гиперповерхностей в пространстве-времени. Эта переменная X является скалярной функцией положения в пространстве-времени. Производная этого скаляра - это вектор, который характеризует волну, четырехволновой вектор.^[6]

Четырехволновой вектор - это волна четырехвекторный что определено в Координаты Минковского, так как:

{ displaystyle K ^ { mu} = left ({ frac { omega} {c}}, { vec {k}} right) = left ({ frac { omega} {c}} , { frac { omega} {v_ {p}}} { hat {n}} right) = left ({ frac {2 pi} {cT}}, { frac {2 pi { hat {n}}} { lambda}} right) ,}

где угловая частота ${ displaystyle { frac { omega} {c}}}$ - временная составляющая, а вектор волнового числа ${ displaystyle { vec {k}}}$ - пространственная составляющая.

Или же волновое число ${ displaystyle k}$ можно записать как угловую частоту ${ displaystyle omega}$ разделенный на фазовая скорость ${ displaystyle v_ {p}}$ , или через обратный период ${ displaystyle T}$ и обратная длина волны ${ displaystyle lambda}$ .

Если указано явно, его контравариантный и ковариантный формы:

{ displaystyle K ^ { mu} = left ({ frac { omega} {c}}, k_ {x}, k_ {y}, k_ {z} right) ,}

{ displaystyle K _ { mu} = left ({ frac { omega} {c}}, - k_ {x}, - k_ {y}, - k_ {z} right) ,}

В общем, скалярная величина Лоренца волнового четырехвектора равна:

{ displaystyle K ^ { mu} K _ { mu} = left ({ frac { omega} {c}} right) ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} = left ({ frac { omega _ {o}} {c}} right) ^ {2} = left ({ frac {m_ { o} c} { hbar}} right) ^ {2}}

Четырехволновой вектор значение NULL для безмассовый (фотонные) частицы, где масса покоя ${ displaystyle m_ {o} = 0}$

Примером нулевого четырехволнового вектора может быть пучок когерентных, монохромный свет, имеющий фазовую скорость ${ displaystyle v_ {p} = c}$

{ displaystyle K ^ { mu} = left ({ frac { omega} {c}}, { vec {k}} right) = left ({ frac { omega} {c}} , { frac { omega} {c}} { hat {n}} right) = { frac { omega} {c}} left (1, { hat {n}} right) ,}

{для светового типа / null}

который имел бы следующее соотношение между частотой и величиной пространственной части четырехволнового вектора:

{ displaystyle K ^ { mu} K _ { mu} = left ({ frac { omega} {c}} right) ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} = 0}

{для светового типа / null}

Четырехволновой вектор связан с четырехимпульсный следующим образом:

{ displaystyle P ^ { mu} = left ({ frac {E} {c}}, { vec {p}} right) = hbar K ^ { mu} = hbar left ({ frac { omega} {c}}, { vec {k}} right)}

Четырехволновой вектор связан с четырехчастотный следующим образом:

{ displaystyle K ^ { mu} = left ({ frac { omega} {c}}, { vec {k}} right) = left ({ frac {2 pi} {c} } right) N ^ { mu} = left ({ frac {2 pi} {c}} right) ( nu, nu { vec {n}})}

Четырехволновой вектор связан с четырехскоростной следующим образом:

{ displaystyle K ^ { mu} = left ({ frac { omega} {c}}, { vec {k}} right) = left ({ frac { omega _ {o}} {c ^ {2}}} right) U ^ { mu} = left ({ frac { omega _ {o}} {c ^ {2}}} right) gamma (c, { vec {u}})}

Преобразование Лоренца

Принимая Преобразование Лоренца четырехволнового вектора - один из способов получить релятивистский эффект Доплера. Матрица Лоренца определяется как

{ displaystyle Lambda = { begin {pmatrix} gamma & - beta gamma & 0 & 0 - beta gamma & gamma & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}

В ситуации, когда свет излучается быстро движущимся источником, и кто-то хотел бы знать частоту света, обнаруженного в земной (лабораторной) системе отсчета, мы применили бы преобразование Лоренца следующим образом. Обратите внимание, что источник находится в кадре S^s и земля в кадре наблюдения, S^{Наблюдения}Применяя преобразование Лоренца к волновому вектору

{ displaystyle k_ {s} ^ { mu} = Lambda _ { nu} ^ { mu} k _ { mathrm {obs}} ^ { nu} ,}

и выбирая просто посмотреть на ${ displaystyle mu = 0}$ компонент приводит к

{ displaystyle k_ {s} ^ {0} = Lambda _ {0} ^ {0} k _ { mathrm {obs}} ^ {0} + Lambda _ {1} ^ {0} k _ { mathrm { obs}} ^ {1} + Lambda _ {2} ^ {0} k _ { mathrm {obs}} ^ {2} + Lambda _ {3} ^ {0} k _ { mathrm {obs}} ^ {3} ,}

${ displaystyle { frac { omega _ {s}} {c}} ,}$	${ displaystyle = gamma { frac { omega _ { mathrm {obs}}} {c}} - beta gamma k _ { mathrm {obs}} ^ {1} ,}$
	${ displaystyle quad = gamma { frac { omega _ { mathrm {obs}}} {c}} - beta gamma { frac { omega _ { mathrm {obs}}} {c} } cos theta. ,}$ где ${ Displaystyle соз тета ,}$ это направляющий косинус ${ displaystyle k ^ {1}}$ wrt ${ displaystyle k ^ {0}, k ^ {1} = k ^ {0} cos theta.}$

Так

{ displaystyle { frac { omega _ { mathrm {obs}}} { omega _ {s}}} = { frac {1} { gamma (1- beta cos theta)}} ,}

Источник удаляется (красное смещение)

В качестве примера, чтобы применить это к ситуации, когда источник движется прямо от наблюдателя ( ${ displaystyle theta = pi}$ ), это становится:

{ displaystyle { frac { omega _ { mathrm {obs}}} { omega _ {s}}} = { frac {1} { gamma (1+ beta)}} = { frac { sqrt {1- beta ^ {2}}} {1+ beta}} = { frac { sqrt {(1+ beta) (1- beta)}} {1+ beta}} = { frac { sqrt {1- beta}} { sqrt {1+ beta}}} ,}

Источник движется навстречу (синее смещение)

Чтобы применить это к ситуации, когда источник движется прямо к наблюдателю ( ${ displaystyle theta = 0}$ ), это становится:

{ displaystyle { frac { omega _ { mathrm {obs}}} { omega _ {s}}} = { frac {1} { gamma (1- beta)}} = { frac { sqrt {1- beta ^ {2}}} {1- beta}} = { frac { sqrt {(1+ beta) (1- beta)}} {1- beta}} = { frac { sqrt {1+ beta}} { sqrt {1- beta}}} ,}

Источник движется по касательной (поперечный эффект Доплера)

Чтобы применить это к ситуации, когда источник движется поперечно относительно наблюдателя ( ${ displaystyle theta = pi / 2}$ ), это становится:

{ displaystyle { frac { omega _ { mathrm {obs}}} { omega _ {s}}} = { frac {1} { gamma (1-0)}} = { frac {1 } { gamma}} ,}

Смотрите также

использованная литература

^ Пример определения физики:Харрис, Бененсон, Стёкер (2002). Справочник по физике. п. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт). Пример определения кристаллографии: Вынштейн (1994). Современная кристаллография. п. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.
^ Вынштейн, Борис Константинович (1994). Современная кристаллография. п. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.
^ Фаулз, Грант (1968). Введение в современную оптику. Холт, Райнхарт и Уинстон. п. 177.
^ «Этот эффект был объяснен Масгрейвом (1959), который показал, что энергия упругой волны в анизотропной среде, как правило, не будет распространяться по тому же пути, что и нормаль к плоскому волновому фронту ...», Звуковые волны в твердых телах Полларда, 1977. ссылка на сайт
^ Дональд Х. Мензель (1960). "§10.5 волна Блоха". Основные формулы физики, Том 2 (Перепечатка Prentice-Hall 1955, 2-е изд.). Курьер-Дувр. п. 624. ISBN 978-0486605968.
^ Вольфганг Риндлер (1991). «§24 Волновое движение». Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. стр.60–65. ISBN 978-0-19-853952-0.

дальнейшее чтение

Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-514665-3.

[1] Пример определения физики:Харрис, Бененсон, Стёкер (2002). Справочник по физике. п. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт). Пример определения кристаллографии: Вынштейн (1994). Современная кристаллография. п. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.

[2] Вынштейн, Борис Константинович (1994). Современная кристаллография. п. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.

[fowles-3] Фаулз, Грант (1968). Введение в современную оптику. Холт, Райнхарт и Уинстон. п. 177.

[pollard-4] «Этот эффект был объяснен Масгрейвом (1959), который показал, что энергия упругой волны в анизотропной среде, как правило, не будет распространяться по тому же пути, что и нормаль к плоскому волновому фронту ...», Звуковые волны в твердых телах Полларда, 1977. ссылка на сайт

[5] Дональд Х. Мензель (1960). "§10.5 волна Блоха". Основные формулы физики, Том 2 (Перепечатка Prentice-Hall 1955, 2-е изд.). Курьер-Дувр. п. 624. ISBN 978-0486605968.

[6] Вольфганг Риндлер (1991). «§24 Волновое движение». Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. стр.60–65. ISBN 978-0-19-853952-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Navigation