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Additieve identiteit

In einem Sammlung die mit dem ausgestattet ist Operation Zusatz, ist der additive Identität es Element dass, wenn es zu einem Element hinzugefügt wird X aus dieser Sammlung, das gleiche Element X kehrt zurück. Die Leute sprechen auch von neutrales Element des Zusatzes. Eine der bekanntesten additiven Identitäten ist die Nummer 0 von dem elementare mathematik, aber auch bei anderen Mathematikern kommen additive Identitäten vor Strukturen, wie Gruppen und Ringe, für die die Additionsoperation definiert ist.

Elementare Beispiele

Die aus dem bekannte additive Identität elementare mathematik ist null, bezeichnet mit 0. Beispielsweise,

{Anzeigestil 5 0=5=0 5,}

In dem natürliche Zahlen ${displaystyle mathbb {N} }$ und alle sind Supersätze (das ganze Zahlen ${displaystyle mathbb {Z} }$ , das Rationale Zahlen ${displaystyle mathbb {Q} }$ , das reale Nummern ${displaystyle mathbb {R} }$ , oder der komplexe Zahlen ${displaystyle mathbb {C} }$ ) ist die additive Identität 0. Für alle Zahlen nein gilt,

{Anzeigestil n 0=n=0 n,}

Formale Definition

spät Nein eine Sammlung sein, die ist Geschlossen unter dem Operation von Zusatz, bezeichnet durch . Eine additive Identität für Nein ist dann ein beliebiges Element e, so dass für jedes gegebene Element nein im Nein zählt das,

{Anzeigestil e n = n = n e,}

Weitere Beispiele

In einem Gruppe ist die additive Identität it Identitätselement aus der Gruppe. Dieses neutrale Element wird oft mit 0 bezeichnet und ist eindeutig (Beweis siehe unten).
EIN Ring oder ein Feld ist eine Gruppe unter der Additionsoperation und hat somit eine eindeutige additive Identität 0. Sie ist definiert als verschieden von der multiplikative Identität 1, wenn der Ring (oder das Feld) mehr als ein Element hat. Wenn die additive Identität und die multiplikative Identität gleich sind, dann ist die Ring So trivial (unten bewiesen).
Im Ring M_ich×nein(R) von ich Biene neinMatrizen über einen Ring R, wird die additive Identität bezeichnet durch 0 und ist diese additive Identität de ich Biene nein Matrix, von der alle Elemente mit dem Identitätselement 0 in . gefüllt sind R. In den 2 mal 2 Matrizen über die ganzen Zahlen M₂(z) sieht die additive Identität beispielsweise so aus:
${displaystyle 0={ egin{pmatrix}0&0/0&0end{pmatrix}}}$ .
In dem Quaternionen, 0 ist die additive Identität.
Im Ring von Funktionen von R zu R, die Funktion Kartierung jede Zahl bis 0 ist die additive Identität.
In dem Additivgruppe von a Vektoren im R^nein, ist der Ursprung oder Nullvektor eine additive Identität.

Beweisen

Die additive Identität ist einzigartig in einer Gruppe

Lassen (G, ) sei eine Gruppe und lasse 0 und 0' in G bezeichnen beide additive Identitäten, so dass für alle G im G zählt das,

{Anzeigestil 0 g=g=g 0,}

und

{Anzeigestil 0' g=g=g 0',}

Es folgt aus obigem

{Anzeigestil 0 (0')=(0')=(0') 0,}

und

{Anzeigestil 0' (0)=(0)=(0) 0',}

welche Shows

{Anzeigestil 0=0',}

Die additive und die multiplikative Identität sind in einem nichttrivialen Ring verschieden

spät R sei ein Ring und nehme an, dass die additive Identität 0 und die multiplikative Identität 1 gleich sind, oder 0 = 1. Sei r irgendein zufälliges Element von R sein. Dann gilt

{Anzeigestil r = Zeit 1 = Zeit 0 = 0,}

was beweist das? R ist trivial, das heißt R = {0}. Das kontrapositiv, dass wenn R nicht trivial ist, dass dann 0 ungleich 1 ist, wurde also gezeigt.

Die additive Identität zerstört Ringelemente

In einem System mit einer definierten Multiplikationsoperation, die distributiv über die Addition ist, ist die additive Identität ein Multiplikativ absorbierendes Element, was bedeutet, dass für jede beliebige so im so zählt das :

{displaystyle scdot 0=0,}

Dies kann gezeigt werden, weil

{displaystyle scdot 0 = scdot (0 0) = scdot 0 scdot 0,}

Durch das Eliminieren von Elementen bleiben uns:

{displaystyle scdot 0=0,}

Siehe auch

Verweise

(und) David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstrakte Algebra, Wiley (3. Aufl.): 2003, ISBN 0-471-43334-9 .

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