WikiDer > Формализм Келдыша

Эта статья требует внимания специалиста по физике. Увидеть страница обсуждения для подробностей. ВикиПроект Физика может помочь нанять эксперта. (Июнь 2011 г.)

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Физика конденсированного состояния
Фазы · Фаза перехода · QCP
состояния вещества Твердый · Жидкость · Газ · Плазма · Конденсат Бозе – Эйнштейна · Бозе-газ · Фермионный конденсат · Ферми газ · Ферми жидкость · Сверхтвердый · Сверхтекучесть · Жидкость Латтинжера  · Кристалл времени
Фазовые явления Параметр заказа · Фаза перехода · QCP
Электронные фазы Электронная зонная структура · Плазма · Изолятор · Изолятор Мотта · Полупроводник · Полуметалл · Дирижер · Сверхпроводник · Термоэлектрический · Пьезоэлектрический · Сегнетоэлектрик · Топологический изолятор · Спиновый бесщелевой полупроводник
Электронные явления Квантовый эффект Холла · Эффект спин-холла · Кондо эффект
Магнитные фазы Диамагнетик · Супердиамагнетик Парамагнетик · Суперпарамагнетик Ферромагнетик · Антиферромагнетик Метамагнетик · Спин-стакан
Квазичастицы Фонон · Экситон · Плазмон Поляритон · Полярон · Магнон
Мягкая материя Аморфное твердое тело · Коллоидный · Гранулированный материал · Жидкокристаллический · Полимер
Ученые Ван дер Ваальс · Оннес · фон Лауэ · Брэгг · Дебай · Блох · Онсагер · Мотт · Пайерлс · Ландо · Латтинджер · Андерсон · Ван Влек · Хаббард · Шокли · Бардин · Купер · Шриффер · Джозефсон · Луи Неэль · Esaki · Giaever · Кон · Каданов · Фишер · Уилсон · фон Клитцинг · Binnig · Рорер · Беднорз · Мюллер · Лафлин · Störmer · Ян · Цуй · Абрикосов · Гинзбург · Леггетт
v т е

В неравновесная физика, то Формализм Келдыша это общая основа для описания квантово-механический эволюция системы в неравновесном состоянии или систем под действием изменяющихся во времени внешних полей (электрическое поле, магнитное поле так далее.). Исторически это было предвестником работы Швингер и предложены почти одновременно Келдыш^[1] и отдельно Каданов и Байм.^[2] Он был развит более поздними участниками, такими как Константинов О.В. и Перель В. И..^[3]

Распространение на открытые квантовые системы с управляемой диссипацией дано в ^[4]

Формализм Келдыша обеспечивает систематический способ изучения неравновесных систем, обычно основанный на двухточечных функциях, соответствующих возбуждениям в системе. Главный математический объект в формализме Келдыша - неравновесная Функция Грина (NEGF), который является двухточечной функцией полей частиц. Таким образом, он напоминает Формализм мацубары, который основан на равновесных функциях Грина в мнимом времени и рассматривает только равновесные системы.

Временная эволюция квантовой системы

Рассмотрим общую квантово-механическую систему. Эта система имеет Гамильтониан ${displaystyle H_ {0}}$. Пусть начальное состояние системы будет ${displaystyle | nangle}$, которое может быть как чистым, так и смешанным. Если мы теперь добавим к этому гамильтониану возмущение, зависящее от времени, скажем ${displaystyle H '(t)}$, полный гамильтониан равен ${displaystyle H (t) = H_ {0} + H '(t)}$ и, следовательно, система будет развиваться во времени под полным гамильтонианом. В этом разделе мы увидим, как эволюция времени на самом деле работает в квантовой механике.

Рассмотрим Эрмитский оператор ${displaystyle {mathcal {O}}}$. в Изображение Гейзенберга квантовой механики этот оператор зависит от времени, а состояние - нет. Математическое ожидание оператора ${displaystyle {mathcal {O}} (t)}$ дан кем-то

${displaystyle {egin {align} langle {mathcal {O}} (t) angle & = langle n | {U} ^ {dagger} (t, 0), {mathcal {O}} (0), U (t, 0) | угол конец {выровнено}}}$

Где из-за временной эволюции операторов в картине Гейзенберга ${displaystyle {mathcal {O}} (t) = U ^ {dagger} (t, 0) {mathcal {O}} (0) U (t, 0)}$. В унитарный оператор эволюции во времени ${displaystyle U (t_ {2}, t_ {1})}$это по расписанию экспонента интеграла ${displaystyle U (t_ {2}, t_ {1}) = T (e ^ {- iint _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} H (t ') dt'})}$ (Обратите внимание, что если гамильтониан в один момент времени коммутирует с гамильтонианом в разное время, то это можно упростить до ${displaystyle U (t_ {2}, t_ {1}) = e ^ {- iint _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} H (t ') dt'}}$)

Для пертурбативной квантовой механики и квантовая теория поля, часто удобнее использовать картинка взаимодействия. Оператор интерактивного изображения

${displaystyle {egin {align} {mathcal {O_ {I}}} (t) & = {U_ {0}} ^ {dagger} (t, 0), {mathcal {O}} (0), U_ {0) } (t, 0) конец {выровнено}}}$

Где ${displaystyle U_ {0} (t_ {1}, t_ {2}) = e ^ {- iH_ {0} (t_ {1} -t_ {2})}}$. Затем определяя ${displaystyle S (t_ {1}, t_ {2}) = U_ {0} ^ {dagger} (t_ {1}, t_ {2}) U (t_ {1}, t_ {2})}$ у нас есть

${displaystyle {egin {align} langle {mathcal {O}} (t) angle & = langle n | {S} ^ {dagger} (t, 0) {mathcal {O_ {I}}} (t) S (t , 0) | угол конец {выровнено}}}$

Поскольку унитарные операторы эволюции во времени удовлетворяют ${displaystyle U (t_ {3}, t_ {2}) U (t_ {2}, t_ {1}) = U (t_ {3}, t_ {1})}$, приведенное выше выражение можно переписать как

${displaystyle {egin {align} langle {mathcal {O}} (t) angle & = langle n | {S} ^ {dagger} (infty, 0) S (infty, t) {mathcal {O_ {I}}} (t), S (t, 0) | nangle end {align}}}$

или с ${displaystyle infty}$ заменяется любым значением времени больше, чем ${displaystyle t}$.

Упорядочивание дорожек на контуре Келдыша

Мы можем записать приведенное выше выражение более кратко, чисто формально, заменяя каждый оператор ${displaystyle X (t)}$ с оператором упорядоченного контура ${displaystyle X (c)}$ , так что ${displaystyle c}$ параметризует путь контура по оси времени, начиная с ${displaystyle t = 0}$, переходя к ${displaystyle t = infty}$, а затем вернуться к ${displaystyle t = 0}$. Этот путь известен как контур Келдыша. ${displaystyle X (c)}$ имеет то же действие оператора, что и ${displaystyle X (t)}$ (куда ${displaystyle t}$ время, соответствующее ${displaystyle c}$), но также содержит дополнительную информацию о ${displaystyle c}$ (то есть строго говоря ${displaystyle X (c_ {1}) eq X (c_ {2})}$ если ${displaystyle c_ {1} eq c_ {2}}$, даже если для соответствующих времен ${displaystyle X (t_ {1}) = X (t_ {2})}$).

Тогда мы можем ввести обозначения порядок путей на этом контуре, определяя ${displaystyle {mathcal {T_ {c}}} (X ^ {(1)} (c_ {1}) X ^ {(2)} (c_ {2}) ldots X ^ {(n)} (c_ {n) })) = (pm 1) ^ {sigma} X ^ {(sigma (1))} (c_ {sigma (1)}) X ^ {(sigma (2))} (c_ {sigma (2)}) ldots X ^ {(сигма (п))} (c_ {сигма (п)})}$, куда ${displaystyle sigma}$ перестановка такая, что ${displaystyle c_ {sigma (1)}$, а знаки плюс и минус - для бозонный и фермионный операторы соответственно. Обратите внимание, что это обобщение заказ времени.

В этих обозначениях указанная выше эволюция во времени записывается как

${displaystyle {egin {align} langle {mathcal {O}} (t) angle & = langle n | {mathcal {T_ {c}}} ({mathcal {O (c)}} e ^ {- iint dc'H '(c')}) | конец nangle {выровнен}}}$

Где ${displaystyle c}$ соответствует времени ${displaystyle t}$ на передней ветви контура Келдыша, а интеграл по ${displaystyle c '}$ проходит по всему контуру Келдыша. В остальной части этой статьи, как обычно, мы будем просто использовать обозначения ${displaystyle X (t)}$ за ${displaystyle X (c)}$ куда ${displaystyle t}$ время, соответствующее ${displaystyle c}$, и будет ли ${displaystyle c}$ находится на прямой или обратной ветви, выводится из контекста.

Диаграммная техника Келдыша для функций Грина

Неравновесная функция Грина определяется как ${displaystyle {egin {align} iG (x_ {1}, t_ {1}, x_ {2}, t_ {2}) = langle n | Tpsi (x_ {1}, t_ {1}) psi (x_ {2}) }, t_ {2}) | конец nangle {выровнен}}}$.

Или в картинке взаимодействия ${displaystyle {egin {align} iG (x_ {1}, t_ {1}, x_ {2}, t_ {2}) = langle n | {mathcal {T_ {c}}} (e ^ {- iint _ { c} H '(t') dt '} psi (x_ {1}, t_ {1}) psi (x_ {2}, t_ {2})) | конец nangle {выровнен}}}$ . Мы можем разложить экспоненту в ряд Тейлора, чтобы получить ряд возмущений ${displaystyle sum _ {j = 0} ^ {infty} langle n | {mathcal {T_ {c}}} ((- iint _ {t} (H '(t', +) + H '(t', - )) dt ') ^ {j} psi (x_ {1}, t_ {1}) psi (x_ {2}, t_ {2})) | nangle / j!}$. Это та же процедура, что и в диаграммной теории возмущений равновесия, но с той важной разницей, что учитываются как прямые, так и обратные ветви контура.

Если, как это часто бывает, ${displaystyle H '}$ является полиномом или рядом как функция элементарных полей ${displaystyle psi}$, мы можем организовать этот ряд возмущений в мономиальные члены и применить все возможные Фитиль пары к полям в каждом одночлене, получая суммирование Диаграммы Фейнмана. Однако края диаграммы Фейнмана соответствуют разным пропагаторам в зависимости от того, исходят ли парные операторы из прямых или обратных ветвей. А именно,

${displaystyle langle n | {mathcal {T_ {c}}} psi (x_ {1}, t_ {1}, +) psi (x_ {2}, t_ {2}, +) | nangle экв. G_ {0} ^ {++} (x_ {1}, t_ {1}, x_ {2}, t_ {2}) = langle n | {mathcal {T}} psi (x_ {1}, t_ {1}) psi (x_ {2}, t_ {2}) | угол}$

${displaystyle langle n | {mathcal {T_ {c}}} psi (x_ {1}, t_ {1}, +) psi (x_ {2}, t_ {2}, -) | nangle экв. G_ {0} ^ {+ -} (x_ {1}, t_ {1}, x_ {2}, t_ {2}) = langle n | psi (x_ {1}, t_ {1}) psi (x_ {2}, t_ { 2}) | nangle}$

${displaystyle langle n | {mathcal {T_ {c}}} psi (x_ {1}, t_ {1}, -) psi (x_ {2}, t_ {2}, +) | nangle экв. G_ {0} ^ {- +} (x_ {1}, t_ {1}, x_ {2}, t_ {2}) = pm langle n | psi (x_ {2}, t_ {2}) psi (x_ {1}, t_ {1}) | круг}$

${displaystyle langle n | {mathcal {T_ {c}}} psi (x_ {1}, t_ {1}, -) psi (x_ {2}, t_ {2}, -) | nangle экв. G_ {0} ^ {-} (x_ {1}, t_ {1}, x_ {2}, t_ {2}) = langle n | {mathcal {overline {T}}} psi (x_ {1}, t_ {1}) фунт / кв. дюйм (x_ {2}, t_ {2}) | nangle}$

где антивременной заказ ${displaystyle {mathcal {overline {T}}}}$ упорядочивает операторов в обратном порядке, как временное и ${displaystyle pm}$ войти ${displaystyle G_ {0} ^ {- +}}$ для бозонных или фермионных полей. Обратите внимание, что ${displaystyle G_ {0} ^ {-}}$ - пропагатор, используемый в обычной теории основного состояния.

Таким образом, диаграммы Фейнмана для корреляционных функций могут быть построены и их значения вычислены так же, как в теории основного состояния, за исключением следующих модификаций правил Фейнмана: каждая внутренняя вершина диаграммы помечена либо ${displaystyle +}$ или же ${displaystyle -}$, а внешние вершины помечены ${displaystyle -}$. Тогда каждое (неперенормированное) ребро, направленное из вершины ${displaystyle a}$ (с положением ${displaystyle x_ {a}}$, время ${displaystyle t_ {a}}$ и подписать ${displaystyle s_ {a}}$) в вершину ${displaystyle b}$ (с положением ${displaystyle x_ {b}}$, время ${displaystyle t_ {b}}$ и подписать ${displaystyle s_ {b}}$) соответствует пропагатору ${displaystyle G_ {0} ^ {s_ {a} s_ {b}} (x_ {a}, t_ {a}, x_ {b}, t_ {b})}$. Тогда значения диаграммы для каждого выбора ${displaystyle pm}$ знаки (есть ${displaystyle 2 ^ {v}}$ такой выбор, где ${displaystyle v}$ - количество внутренних вершин) все складываются, чтобы найти общее значение диаграммы.

Формализм Ландауэра – Бюттикера – Келдыша.

Этот раздел пуст. Вы можете помочь добавляя к этому. (Июль 2010 г.)

Смотрите также

• Эффект спин-холла
• Кондо эффект

Рекомендации

Другой

1. Лифшиц, Евгений Михайлович; Питаевский, Лев Петрович (1979). "Физическая кинетика". Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры. 10.
2. Джаухо, А.П. (5 октября 2006 г.). «Введение в технику неравновесной функции Грина Келдыша» (PDF). nanoHUB. Получено 18 июн 2018.
3. Лейк, Роджер (13 января 2018 г.). «Применение формализма Келдыша к моделированию и анализу квантовых устройств» (PDF). nanoHUB. Получено 18 июн 2018.
4. Каменев, Алексей (11 декабря 2004 г.). «Многотельная теория неравновесных систем»: cond – mat / 0412296. arXiv:cond-mat / 0412296. Bibcode:2004 второй мат. 12296K. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
5. Кита, Такафуми (2010). «Введение в неравновесную статистическую механику с квантовым полем». Успехи теоретической физики. 123 (4): 581–658. arXiv:1005.0393. Bibcode:2010PThPh.123..581K. Дои:10.1143 / PTP.123.581.
6. Рындык, Д. А .; Gutiérrez, R .; Песня, B .; Куниберти, Г. (2009). "Методы зеленой функции в лечении квантового транспорта на молекулярном уровне". Динамика переноса энергии в системах биоматериалов. Springer Verlag Серия Springer по химической физике. Серия Спрингера по химической физике. 93. С. 213–335. arXiv:0805.0628. Bibcode:2009SSCP ... 93..213R. Дои:10.1007/978-3-642-02306-4_9. ISBN 9783642023057.
7. Ген, Татара; Коно, Хироши; Шибата, Джунья (2008). «Микроскопический подход к динамике доменных стенок с током». Отчеты по физике. 468 (6): 213–301. arXiv:0807.2894. Bibcode:2008ФР ... 468..213Т. Дои:10.1016 / j.physrep.2008.07.003.