WikiDer > Лифт (математика)

Lift (mathematics)

В теория категорий, филиал математика, учитывая морфизм ж: Икс → Y и морфизм г: Z → Y, а лифт или подъем из ж к Z это морфизм час: Икс → Z такой, что ж = г∘час. Мы говорим что ж факторы через час.

Базовый пример в топология поднимает дорожка в одном топологическое пространство на путь в покрывающее пространство. Например, рассмотрим отображение противоположных точек на сфера к тому же непрерывный карта из сферы, покрывающей проективная плоскость. Путь в проективной плоскости - это непрерывное отображение из единичный интервал [0,1]. Мы можем поднять такой путь к сфере, выбрав одну из двух точек сферы, соответствующих первой точке на пути, а затем сохраним непрерывность. В этом случае каждая из двух начальных точек создает уникальный путь на сфере, подъем пути в проективной плоскости. Таким образом, в категория топологических пространств с непрерывными отображениями как морфизмы, имеем

{displaystyle {egin {выравнивается} fcolon, & [0,1] o mathbb {RP} ^ {2} & quad & {ext {(путь проективной плоскости)}} gcolon, & S ^ {2} o mathbb {RP} ^ {2} & quad & {ext {(покрывающая карта)}} hcolon, & [0,1] o S ^ {2} & quad & {ext {(сферический путь)}} конец {выровнено}}}

Лифты повсеместны; например, определение расслоения (увидеть свойство гомотопического подъема) и оценочные критерии отделенный и правильные карты из схемы сформулированы в терминах существования и (в последнем случае) уникальность некоторых лифтов.

В алгебраическая топология и гомологическая алгебра, тензорное произведение и Hom функтор находятся прилегающий; однако они не всегда могут подняться до точная последовательность. Это приводит к определению Ext функтор и Функтор Tor.

Алгебраическая логика

Обозначения логика предикатов первого порядка упрощаются, когда кванторы относятся к установленным доменам и диапазонам бинарные отношения. Гюнтер Шмидт и Майкл Винтер проиллюстрировали метод устранения традиционных логических выражений топология к исчислению отношений в своей книге Реляционная топология.^[1]Они стремятся «поднять концепции до реляционного уровня, делая их свободными от точек и кванторов, тем самым освобождая их от стиля логики предикатов первого порядка и приближаясь к ясности алгебраических рассуждений».

Например, частичная функция M соответствует включению ${displaystyle M ^ {T}; Msubseteq I}$ где ${displaystyle I}$ обозначает отношение тождества на диапазоне M. «Обозначения для количественной оценки скрыты и остаются глубоко включенными в типизацию реляционных операций (здесь транспонирование и композиция) и их правил».