WikiDer > Список релятивистских уравнений

Ниже приводится список часто встречающихся уравнений в теории специальная теория относительности.

Постулаты специальной теории относительности

Чтобы вывести уравнения специальной теории относительности, нужно начать с двух постулатов:

1. Законы физики инвариантны относительно преобразований между инерциальными системами отсчета. Другими словами, законы физики будут одинаковыми независимо от того, проверяете ли вы их в кадре «в состоянии покоя» или в кадре, движущемся с постоянной скоростью относительно системы «покоя».
2. Скорость света в вакууме измеряется всеми наблюдателями в инерциальных системах отсчета.

Из этих двух постулатов следует вся специальная теория относительности.

В дальнейшем относительная скорость v между двумя инерциальные системы отсчета полностью ограничивается Икс-направление, Декартова система координат.

Кинематика

Преобразование Лоренца

В специальной теории относительности очень часто используются следующие обозначения:

Фактор Лоренца

${ displaystyle gamma = { frac {1} { sqrt {1- beta ^ {2}}}}}$

где β = ${ displaystyle { frac {v} {c}}}$ и v относительная скорость между двумя инерциальные системы отсчета.

Для двух неподвижных систем отсчета γ = 1 и увеличивается с относительной скоростью между двумя инерциальными системами отсчета. Когда относительная скорость приближается к скорости света, γ → ∞.

Замедление времени (разные времена т и т ' на той же позиции Икс в той же инерциальной системе отсчета)

${ displaystyle t '= gamma t}$

Вывод замедления времени

Применяя вышеприведенные постулаты, рассмотрите внутреннюю часть любого транспортного средства (обычно представленного поездом), движущегося со скоростью v в отношении человека, стоящего на земле во время проезда автомобиля. Внутри свет направлен вверх, в зеркало на потолке, где свет отражается обратно вниз. Если высота зеркала час, и скорость света c, то время, необходимое для того, чтобы свет поднялся и снова погас, составляет: ${ displaystyle t = { frac {2h} {c}}}$ Однако для наблюдателя на местах ситуация совсем иная. Поскольку поезд движется наблюдателем по земле, кажется, что луч света движется по диагонали, а не прямо вверх и вниз. Чтобы визуализировать это, представьте, что свет излучается в одной точке, затем автомобиль движется, пока свет не попадет в зеркало в верхней части автомобиля, а затем поезд движется еще дальше, пока луч света не вернется в нижнюю часть автомобиля. . Световой луч будет двигаться по диагонали вверх вместе с поездом, а затем по диагонали вниз. Этот путь поможет сформировать двухсторонние треугольники с высотой в качестве одной из сторон, а две прямые части пути будут соответствующими гипотенусами: ${ displaystyle c ^ {2} left ({ frac {t '} {2}} right) ^ {2} = h ^ {2} + v ^ {2} left ({ frac {t' } {2}} right) ^ {2}}$ Переставляем, чтобы получить ${ displaystyle t '}$: ${ displaystyle left ({ frac {t '} {2}} right) ^ {2} = { frac {h ^ {2}} {c ^ {2} -v ^ {2}}}}$ ${ displaystyle { frac {t '} {2}} = { frac {h} { sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}}}$ ${ displaystyle t '= { frac {2h} { sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}}}$ Принимая фактор c, а затем подключиться к т, можно найти: ${ displaystyle t '= { frac {2h} {c}} { frac {1} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = { frac {t} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$ Это формула замедления времени: ${ displaystyle t '= gamma t}$

В этом примере время, измеренное в кадре на транспортном средстве, т, известен как подходящее время. Правильное время между двумя событиями - например, событием, излучаемым на транспортном средстве, и событием, полученным светом на транспортном средстве, - это время между двумя событиями в кадре, где события происходят в одном и том же месте. Итак, выше излучение и прием света происходили в кадре транспортного средства, поэтому время, которое наблюдатель в кадре транспортного средства мог бы измерить, правильное.

Уменьшение длины (разные позиции Икс и Икс' в то же время т в той же инерциальной системе отсчета)

${ displaystyle ell '= { frac { ell} { gamma}}}$

Вывод сокращения длины

Рассмотрим длинный поезд, движущийся со скоростью v относительно земли, и один наблюдатель в поезде и один на земле, стоящие рядом с постом. Наблюдатель в поезде видит, как передняя часть поезда проезжает мимо столба, а затем через некоторое время t ′ позже видит, что конец поезда проходит через тот же столб. Затем он рассчитывает длину поезда следующим образом: ${ Displaystyle ell = vt ',}$ Однако наблюдатель на земле, производя то же измерение, приходит к другому выводу. Этот наблюдатель считает, что время т проходил между передней частью поезда, проходящего мимо столба, и задней частью поезда, проходящего мимо столба. Поскольку два события - прохождение каждого конца поезда мимо столба - произошли в одном и том же месте в кадре наземного наблюдателя, время, измеренное этим наблюдателем, является правильным временем. Так: ${ displaystyle ell '= vt = v left ({ frac {t'} { gamma}} right) = { frac { ell} { gamma}}}$

Это формула сокращения длины. Поскольку существовало собственное время для замедления времени, существует подходящая длина для сокращения длины, которая в данном случае ℓ. Правильная длина объекта - это длина объекта в кадре, в котором объект находится в состоянии покоя. Кроме того, это сжатие влияет только на размеры объекта, которые параллельны относительной скорости между объектом и наблюдателем. Таким образом, длины, перпендикулярные направлению движения, не подвержены сокращению длины.

Преобразование Лоренца

${ Displaystyle х '= гамма влево (х-vt вправо)}$

${ Displaystyle у '= у ,}$

${ Displaystyle г '= г ,}$

${ displaystyle t '= gamma left (t - { frac {vx} {c ^ {2}}} right)}$

Вывод преобразования Лоренца с использованием замедления времени и сокращения длины

Теперь подставив результат сокращения длины в преобразование Галилея (т.е. Икс = ℓ), у нас есть: ${ displaystyle { frac {x '} { gamma}} = x-vt}$ это: ${ Displaystyle х '= гамма влево (х-vt вправо)}$ и переходим от загрунтованного фрейма к незагравированному фрейму: ${ Displaystyle х = гамма влево (х '+ vt' вправо)}$ Переход от загрунтованной рамы к незагрунтованной был осуществлен путем выполнения v в первом уравнении отрицательное значение, а затем замена переменных со штрихом на переменные без штриха, и наоборот. Кроме того, поскольку сокращение длины не влияет на перпендикулярные размеры объекта, следующее остается таким же, как в преобразовании Галилея: ${ Displaystyle у '= у ,}$ ${ Displaystyle г '= г ,}$ Наконец, чтобы определить, как т и t ′ преобразовать, заменив Икс↔Икс' преобразование в обратное: ${ Displaystyle х = гамма влево ( гамма влево (х-vt вправо) + vt ' вправо)}$ ${ Displaystyle х = гамма влево ( гамма х- гамма vt + vt ' справа)}$ ${ Displaystyle х = гамма ^ {2} х- гамма ^ {2} vt + gamma vt ',}$ ${ Displaystyle gamma vt '= gamma ^ {2} vt- gamma ^ {2} х + х ,}$ ${ displaystyle gamma vt '= gamma ^ {2} vt + x left (1- gamma ^ {2} right)}$ Подставляя значение для γ: ${ displaystyle gamma vt '= gamma ^ {2} vt + x left (1 - { frac {1} {1- beta ^ {2}}} right)}$ ${ displaystyle gamma vt '= gamma ^ {2} vt + x left ({ frac {1- beta ^ {2}} {1- beta ^ {2}}} - { frac {1) } {1- beta ^ {2}}} right)}$ ${ displaystyle gamma vt '= gamma ^ {2} vt-x left ({ frac { beta ^ {2}} {1- beta ^ {2}}} right)}$ ${ displaystyle gamma vt '= gamma ^ {2} vt- gamma ^ {2} beta ^ {2} x ,}$ Наконец, деля на γv: ${ displaystyle t '= gamma left (t- beta { frac {x} {c}} right)}$ Или чаще: ${ displaystyle t '= gamma left (t - { frac {vx} {c ^ {2}}} right)}$ И обратное снова можно получить, изменив знак vи заменяя переменные без штриха на их переменные со штрихом, и наоборот. Эти преобразования вместе составляют преобразование Лоренца: ${ Displaystyle х '= гамма влево (х-vt вправо)}$ ${ Displaystyle у '= у ,}$ ${ Displaystyle г '= г ,}$ ${ displaystyle t '= gamma left (t - { frac {vx} {c ^ {2}}} right)}$

Сложение скорости

${ displaystyle V '_ {x} = { frac {V_ {x} -v} {1 - { frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}}}}}$

${ displaystyle V '_ {y} = { frac {V_ {y}} { gamma left (1 - { frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}} right)}} }$

${ displaystyle V '_ {z} = { frac {V_ {z}} { gamma left (1 - { frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}} right)}} }$

Вывод сложения скорости

Преобразования Лоренца также применимы к дифференциалы, так: ${ Displaystyle dx '= гамма влево (dx-vdt right)}$ ${ displaystyle dy '= dy ,}$ ${ displaystyle dz '= dz ,}$ ${ displaystyle dt '= gamma left (dt - { frac {vdx} {c ^ {2}}} right)}$ Скорость dx / dt, так ${ displaystyle { frac {dx '} {dt'}} = { frac { gamma left (dx-vdt right)} { gamma left (dt - { frac {vdx} {c ^ { 2}}} right)}}}$ ${ displaystyle { frac {dx '} {dt'}} = { frac {dx-vdt} {dt - { frac {vdx} {c ^ {2}}}}}}$ ${ displaystyle { frac {dx '} {dt'}} = { frac {{ frac {dx} {dt}} - v} {1 - { frac {dx} {dt}} { frac { v} {c ^ {2}}}}}}$ Теперь подставляем: ${ displaystyle V_ {x} = { frac {dx} {dt}} , quad V '_ {x} = { frac {dx'} {dt '}}}$ дает сложение скорости (на самом деле ниже вычитание, сложение просто меняет знаки VИкс, Vy, и Vz около): ${ displaystyle V '_ {x} = { frac {V_ {x} -v} {1 - { frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}}}}}$ ${ displaystyle V '_ {y} = { frac {V_ {y}} { gamma left (1 - { frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}} right)}} }$ ${ displaystyle V '_ {z} = { frac {V_ {z}} { gamma left (1 - { frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}} right)}} }$ Кроме того, изменяются скорости в направлениях, перпендикулярных смене кадра, как показано выше. Это связано с замедлением времени, как заключено в dt/dt ′ трансформация. В V ′y и V ′z оба уравнения были получены путем деления соответствующего пространственного дифференциала (например, dy ′ или dz ′) по разнице во времени.

Метрика и четырехвекторы

В дальнейшем полужирный шрифт без засечек используется для 4-векторы в то время как обычный жирный шрифт используется для обычных 3-векторов.

Внутренний продукт (т.е. понятие длина)

${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {a}}} cdot { boldsymbol { mathsf {b}}} = eta ({ boldsymbol { mathsf {a}}}, { boldsymbol { mathsf { б}}})}$

где ${ displaystyle eta}$ известен как метрический тензор. В специальной теории относительности метрический тензор - это Метрика Минковского:

${ displaystyle eta = { begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}$

Пространственно-временной интервал

${ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2} = { begin {pmatrix} cdt & dx & dy & dz end {pmatrix} } { begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} cdt dx dy dz end {pmatrix}}}$

В приведенном выше описании ds² известен как интервал пространства-времени. Этот внутренний продукт инвариантен относительно преобразования Лоренца, т. Е.

${ displaystyle eta ({ boldsymbol { mathsf {a}}} ', { boldsymbol { mathsf {b}}}') = eta left ( Lambda { boldsymbol { mathsf {a}}) }, Lambda { boldsymbol { mathsf {b}}} right) = eta ({ boldsymbol { mathsf {a}}}, { boldsymbol { mathsf {b}}})}$

Знак метрики и размещение ct, ct ', cdt, и cdt ′ сроки могут варьироваться в зависимости от выбора автора. Например, часто временные термины помещаются первыми в четырехвекторах, а затем пространственные термины. Также иногда η заменяется на -η, заставляя пространственные члены давать отрицательные вклады в скалярное произведение или пространственно-временной интервал, тогда как временные члены вносят положительный вклад. Эти различия могут использоваться в любой комбинации при условии, что выбор стандартов полностью соблюдается при выполнении вычислений.

Преобразования Лоренца

Вышеупомянутое преобразование координат можно выразить через матрицу. Чтобы упростить задачу, лучше всего заменить т, t ′, dt, и dt ′ с участием ct, ct ', cdt, и cdt ′, который имеет размерность расстояния. Так:

${ Displaystyle х '= гамма х- гамма бета кт ,}$

${ Displaystyle у '= у ,}$

${ Displaystyle г '= г ,}$

${ Displaystyle ct '= гамма кт- гамма бета х ,}$

затем в матричной форме:

${ displaystyle { begin {pmatrix} ct ' x' y ' z' end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} gamma & - gamma beta & 0 & 0 - gamma beta & gamma & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} ct x y z end {pmatrix}}}$

Векторы в приведенном выше уравнении преобразования известны как четырехвекторы, в данном случае это, в частности, четырехвекторы положения. В общем, в специальной теории относительности четырехвекторы можно преобразовать из одной системы отсчета в другую следующим образом:

${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {a}}} '= Lambda { boldsymbol { mathsf {a}}}}$

В приведенном выше описании ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {a}}} '}$ и ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {a}}}}$ - четырехвекторный и преобразованный четырехвекторный соответственно, а Λ - матрица преобразования, которая для данного преобразования одинакова для всех четырехвекторов, которые можно преобразовать. Так ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {a}}} '}$ может быть четырехмерным вектором, представляющим положение, скорость или импульс, и тот же Λ может использоваться при преобразовании между теми же двумя кадрами. Наиболее общее преобразование Лоренца включает ускорения и вращения; компоненты сложные, и преобразование требует спиноры.

4-векторы и инвариантные результаты

И инвариантность, и унификация физических величин возникают из четырехвекторный.^[1] Внутреннее произведение 4-вектора на себя равно скаляру (по определению внутреннего произведения), и поскольку 4-векторы являются физическими величинами, их величины также соответствуют физическим величинам.

Свойство / эффект	3-вектор	4-вектор	Инвариантный результат
Пространство-время События	3 позиции: р = (Икс1, Икс2, Икс3) ${ Displaystyle mathbf {r} cdot mathbf {r} Equiv r ^ {2} Equiv x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} , !}$	4 позиции: Икс = (ct, Икс1, Икс2, Икс3)	${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {X}}} cdot { boldsymbol { mathsf {X}}} = left (c tau right) ^ {2} , !}$ ${ displaystyle { begin {align} & left (ct right) ^ {2} - left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2 } right) & = left (ct right) ^ {2} -r ^ {2} & = - chi ^ {2} = left (c tau right) ^ {2} конец {выровнено}} , !}$ τ = подходящее время χ = правильное расстояние
Импульсно-энергетическая инвариантность	${ Displaystyle mathbf {п} = гамма м mathbf {и} , !}$ 3-импульс: п = (п1, п2, п3) ${ Displaystyle mathbf {p} cdot mathbf {p} Equiv p ^ {2} Equiv p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} , !}$	4-импульс: п = (E / c, п1, п2, п3) ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {P}}} = m { boldsymbol { mathsf {U}}} , !}$	${ Displaystyle { boldsymbol { mathsf {P}}} cdot { boldsymbol { mathsf {P}}} = left (mc right) ^ {2} , !}$ ${ displaystyle { begin {align} & left ({ frac {E} {c}} right) ^ {2} - left (p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2 } + p_ {3} ^ {2} right) & = left ({ frac {E} {c}} right) ^ {2} -p ^ {2} & = left ( mc right) ^ {2} end {align}} , !}$ что приводит к: ${ displaystyle E ^ {2} = left (pc right) ^ {2} + left (mc ^ {2} right) ^ {2} , !}$ E = полная энергия м = инвариантная масса
Скорость	3-скоростная: ты = (ты1, ты2, ты3) ${ displaystyle mathbf {u} = { frac { mathrm {d} mathbf {r}} { mathrm {d} t}} , !}$	4-скоростная: U = (U0, U1, U2, U3) ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {U}}} = { frac { mathrm {d} { boldsymbol { mathsf {X}}}} { mathrm {d} tau}} = gamma left (c, mathbf {u} right)}$	${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {U}}} cdot { boldsymbol { mathsf {U}}} = c ^ {2} , !}$
Ускорение	3-разгон: а = (а1, а2, а3) ${ displaystyle mathbf {a} = { frac { mathrm {d} mathbf {u}} { mathrm {d} t}} , !}$	4-разгон: А = (А0, А1, А2, А3) ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {A}}} = { frac { mathrm {d} { boldsymbol { mathsf {U}}}} { mathrm {d} tau}} = gamma слева (c { frac { mathrm {d} gamma} { mathrm {d} t}}, { frac { mathrm {d} gamma} { mathrm {d} t}} mathbf {u } + gamma mathbf {a} right)}$	${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {A}}} cdot { boldsymbol { mathsf {U}}} = 0 , !}$
Сила	3-сила: ж = (ж1, ж2, ж3) ${ displaystyle mathbf {f} = { frac { mathrm {d} mathbf {p}} { mathrm {d} t}} , !}$	4-сила: F = (F0, F1, F2, F3) ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {F}}} = { frac { mathrm {d} { boldsymbol { mathsf {P}}}} { mathrm {d} tau}} = gamma m left (c { frac { mathrm {d} gamma} { mathrm {d} t}}, { frac { mathrm {d} gamma} { mathrm {d} t}} mathbf { u} + gamma mathbf {a} right)}$	${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {F}}} cdot { boldsymbol { mathsf {U}}} = 0 , !}$

Доплеровский сдвиг

Общий доплеровский сдвиг:

${ Displaystyle Nu '= гамма ню влево (1- бета соз тета вправо)}$

Доплеровский сдвиг для излучателя и наблюдателя, движущихся навстречу друг другу (или прямо в сторону):

${ displaystyle nu '= nu { frac { sqrt {1- beta}} { sqrt {1+ beta}}}}$

Доплеровский сдвиг для излучателя и наблюдателя, движущихся в направлении, перпендикулярном линии, соединяющей их:

${ Displaystyle Nu '= гамма ню}$

Вывод релятивистского доплеровского сдвига.

Если объект испускает луч света или излучения, частота, длина волны и энергия этого света или излучения будут отличаться для движущегося наблюдателя, чем для покоящегося относительно излучателя. Если предположить, что наблюдатель движется относительно излучателя вдоль оси x, то стандартное преобразование Лоренца четырех импульсов, которое включает энергию, принимает следующий вид: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {E '} {c}} p' _ {x} p '_ {y} p' _ {z} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} gamma & - gamma beta & 0 & 0 - gamma beta & gamma & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} { frac {E } {c}} p_ {x} p_ {y} p_ {z} end {pmatrix}}}$ ${ displaystyle { frac {E '} {c}} = gamma { frac {E} {c}} - gamma beta p_ {x}}$ Сейчас если ${ Displaystyle р_ {х} = | р | соз тета}$ где θ - угол между пИкс и ${ displaystyle { vec {p}}}$, и подставив формулы для зависимости частоты от импульса и энергии: ${ displaystyle { frac {h nu '} {c}} = gamma { frac {h nu} {c}} - gamma beta left Vert p right | cos theta = gamma { frac {h nu} {c}} - gamma beta { frac {h nu} {c}} cos theta}$ ${ Displaystyle Nu '= гамма ню - гамма бета ню соз тета = гамма ню влево (1- бета соз тета справа)}$ Это формула для релятивистского доплеровского сдвига, где разница в скорости между излучателем и наблюдателем не находится на оси абсцисс. У этого уравнения есть два частных случая. Первый случай - это случай, когда скорость между излучателем и наблюдателем идет по оси x. В этом случае θ = 0 и cos θ = 1, что дает: ${ Displaystyle { begin {align} nu '& = gamma nu left (1- beta right) & = nu { frac {1} { sqrt {1- beta ^ { 2}}}} left (1- beta right) & = nu { frac {1} { sqrt { left (1- beta right) left (1+ beta right) )}}} left (1- beta right) & = nu { frac { sqrt {1- beta}} { sqrt {1+ beta}}} end {выровнено}} }$ Это уравнение для доплеровского сдвига в случае, когда скорость между излучателем и наблюдателем идет вдоль оси x. Второй частный случай - это когда относительная скорость перпендикулярна оси x, и, следовательно, θ = π / 2, и cos θ = 0, что дает: ${ Displaystyle Nu '= гамма ню}$ На самом деле это полностью аналогично замедлению времени, поскольку частота обратно пропорциональна времени. Таким образом, доплеровский сдвиг для излучателей и наблюдателей, движущихся перпендикулярно линии, соединяющей их, полностью связан с эффектами замедления времени.

Смотрите также

использованная литература

Источники

• Энциклопедия физики (2-е издание), R.G. Лернер, Г.Л. Тригг, издательство VHC, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Динамика и относительность, Дж. Р. Форшоу, А. Г. Смит, Wiley, 2009 г., ISBN 978-0-470-01460-8
• Демистифицированная теория относительности, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006 г., ISBN 0-07-145545-0
• Кембриджский справочник по физическим формулам, Дж. Воан, Издательство Кембриджского университета, 2010 г. ISBN 978-0-521-57507-2.
• Введение в механику, Д. Клеппнер, Р.Дж. Коленков, Cambridge University Press, 2010 г., ISBN 978-0-521-19821-9